大一微積分復(fù)習(xí)資料.doc

大學(xué)的考試比較簡(jiǎn)單，主要以書(shū)本為主，下面的復(fù)習(xí)指導(dǎo)可作提引作用。1011學(xué)年第一學(xué)期“微積分”期末復(fù)習(xí)指導(dǎo) - 10 -第一章 函數(shù)一本章重點(diǎn)復(fù)合函數(shù)及分解，初等函數(shù)的概念。二復(fù)習(xí)要求1、 能熟練地求函數(shù)定義域；會(huì)求函數(shù)的值域。2、理解函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，知道它們的幾何特點(diǎn)。3、 牢記常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等六類(lèi)基本初等函數(shù)的表達(dá)式，知道它們的定義域、值域、性質(zhì)及圖形特點(diǎn)。其中. 對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)不僅要熟記它的運(yùn)算性質(zhì)，還能熟練應(yīng)用它與指數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)的關(guān)系，能熟練將冪指函數(shù)作如下代數(shù)運(yùn)算： .對(duì)于常用的四個(gè)反三角函數(shù)，不僅要熟習(xí)它們的定義域、值域及簡(jiǎn)單性質(zhì)，還要熟記它們?cè)谔厥恻c(diǎn)的函數(shù)值. 4、 掌握復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)的概念，能熟練地分解復(fù)合函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)的組合。5、 知道分段函數(shù)，隱函數(shù)的概念。. 三例題選解例1. 試分析下列函數(shù)為哪幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)（基本初等函或基本初等函數(shù)的線(xiàn)性函數(shù)）復(fù)合而成的？.分析：分解一個(gè)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程應(yīng)由外層向里層進(jìn)行，每一步的中間變量都必須是基本初等函數(shù)或其線(xiàn)性函數(shù)（即簡(jiǎn)單函數(shù)）。解：.例2. 的定義域、值域各是什么？答： 是的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域，可知的定義域是，值域?yàn)? 四練習(xí)題及參考答案1. 則f(x)定義域?yàn)?，值域?yàn)?f(1) = ； .2.則f(x)定義域?yàn)?，值域?yàn)?f(1) = ； .3.分解下列函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合：.答案：1.（- +）, ,2. .3. .自我復(fù)習(xí)：習(xí)題一.（A）55、； 習(xí)題一.（B）.11.第二章 極限與連續(xù)一本章重點(diǎn)極限的計(jì)算；函數(shù)的連續(xù)及間斷的判定；初等函數(shù)的連續(xù)性。二復(fù)習(xí)要求1了解變量極限的概念，掌握函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)有極限的充要條件是：函數(shù)在x0點(diǎn)的左右極限都存在且相等。2.理解無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念和關(guān)系，掌握無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，特別是無(wú)窮小量乘以有界變量仍為無(wú)窮小。例如：3.會(huì)比較無(wú)窮小的階。在求無(wú)窮小之比的極限時(shí)，利用等價(jià)無(wú)窮小代換可使運(yùn)算簡(jiǎn)化，常用的等價(jià)無(wú)窮小代換有：當(dāng)0時(shí),有：； ;.（參見(jiàn)教材P79）4.掌握兩個(gè)重要極限:().().記住它們的形式、特點(diǎn)、自變量的變化趨勢(shì)及擴(kuò)展形式(變形式).并能熟練應(yīng)用其求極限，特別是應(yīng)用重要極限()的如下擴(kuò)展形式求型未定式極限：5.掌握函數(shù)連續(xù)的概念， 知道結(jié)論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，分段函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)只可能是分段點(diǎn)。函數(shù)f(x)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條是：函數(shù)在x0點(diǎn)極限存在且等于，即：當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右兩邊表達(dá)式不相同時(shí)，函數(shù)f(x)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件則是：.6. 掌握函數(shù)間斷點(diǎn)及類(lèi)型的判定。函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱(chēng)為間斷點(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)間斷，必至少有下列三種情況之一發(fā)生： 、在點(diǎn)無(wú)定義； 、不存在； 、存在，但.若為的間斷點(diǎn)，當(dāng)及都存在時(shí)，稱(chēng)為的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，特別時(shí)（即存在時(shí)），稱(chēng)為的可去間斷點(diǎn)；時(shí)稱(chēng)為的跳躍間斷點(diǎn)。不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的都稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。7.了解連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),特別要知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值。8.能夠熟練地利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的關(guān)系與性質(zhì)；等價(jià)無(wú)窮小代換；教材P69公式（2.6）；兩個(gè)重要極限；初等函數(shù)的連續(xù)性及洛必達(dá)法則(第四章)求函數(shù)的極限。三.例題選解 例1.單項(xiàng)選擇題下列極限中正確的是（ ）A. B. C. D. 當(dāng)時(shí)，是的（ ）A.低階無(wú)窮??； B.高階無(wú)窮??；C.同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮??；D. 等價(jià)無(wú)窮小；分析與解：1 A與 C顯然都不對(duì)，對(duì)于D, 記，則即D也不對(duì)，剩下的B就是正確答案。2 由于 應(yīng)選擇D.例3.求極限：解: 此極限為型 當(dāng)時(shí)，有 , 此極限為型，可用重要極限。 . 例2判斷函數(shù) 的間斷點(diǎn)，并判斷其類(lèi)型。解：由于是函數(shù)y 無(wú)定義的點(diǎn)，因而是函數(shù)y 的間斷點(diǎn)。 為函數(shù) y 的可去間斷點(diǎn)； 為函數(shù) y 的第二類(lèi)（無(wú)窮型）間斷。 例3函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，求常數(shù)k .分析與解：由于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右兩邊表達(dá)式相同，因此在連續(xù)的充要條件是 四.練習(xí)題及參考答案1.填空.當(dāng)時(shí)，與相比，是_無(wú)窮??； . _；._.2.單項(xiàng)選擇題設(shè)，下面說(shuō)法正確的是_；A. 點(diǎn)都是可去間斷點(diǎn)；B. 點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn)，點(diǎn)是無(wú)窮間斷點(diǎn)；C. 點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)，點(diǎn)是無(wú)窮間斷點(diǎn)；D. 點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)，點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn)；下面正確的是_.A. ； B. ；C. 不存在； D. .答案:1. .同階而不等價(jià)的 ；. ；.2. .C; .B .自我復(fù)習(xí).習(xí)題二(A)11. (4).24. ,(4),.27. (4).28.,.30.37,.習(xí)題二(B).14.第三章 導(dǎo)數(shù)與微分一.本章重點(diǎn). 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)及微分的計(jì)算.二.復(fù)習(xí)要求1.掌握函數(shù)在處可導(dǎo)的定義，并能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義式求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐點(diǎn)概念，在處的導(dǎo)數(shù)的定義式常用的有如下三種形式： .2.知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求在處的切線(xiàn)方程。3.熟記基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)的運(yùn)算法則，熟練掌握下列求導(dǎo)方法,并能熟練應(yīng)用它們求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：運(yùn)用基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)； 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法； 隱函數(shù)求導(dǎo)法； 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。4.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，能熟練求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。5.理解微分的概念，能應(yīng)用微分基本公式及運(yùn)算法則求函數(shù)的微分。6.掌握函數(shù)可微,可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系。三.例題選解例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，求=, 求.設(shè)=，求. ,求解：、本題為抽象函數(shù)求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，得： . 本題為冪指函數(shù)求導(dǎo)，必須用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。原方程兩邊取對(duì)數(shù)： 上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，視為中間變量:= 注：本題除此方法外，也可以：3 . . 例2. 設(shè)在處可導(dǎo),且.求分析:將在處的導(dǎo)數(shù)的定義式理解為結(jié)構(gòu)式:=其中為或的函數(shù).且當(dāng)時(shí),即可.解: 例3求曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程。解：顯然，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，現(xiàn)求切線(xiàn)的斜率，即曲線(xiàn)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：解得 1切線(xiàn)方程為：即 例4、設(shè)試討論在處的連續(xù)性及可導(dǎo)性。分析與解：由已知，；（1）討論在處的連續(xù)性。 在處連續(xù)。（2）討論在處的可導(dǎo)性。分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須用定義求： 即存在 四.練習(xí)題及參考答案1.單項(xiàng)選擇題.設(shè)下面說(shuō)法正確的是（ ）.A.在不連續(xù)；B. .在連續(xù)，但不可導(dǎo)；C. 在可導(dǎo)，且；D. 在可導(dǎo)，且.2.填空題在處可導(dǎo)，且,則（1）3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：, 求 ,求，求.4.設(shè)確定是的函數(shù)，求，并求出函數(shù)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程。5、證明：（1）若是偶函數(shù)且可導(dǎo)，那么是奇函數(shù)，（2）若是奇函數(shù)且可導(dǎo)，那么是偶函數(shù)，答案：1.D. 2. 3. (2). ； .4.；切線(xiàn)方程：.自我復(fù)習(xí):習(xí)題三(A) 13； 21,，； 24.，； 25；26.,; 27.；29.，；47.，54.習(xí)題三(B) 1 ；3；11.第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.本章重點(diǎn)求未定式極限的洛必達(dá)法則；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)；對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題作邊際分析； 二.復(fù)習(xí)要求1知道羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論,會(huì)求定理中的，掌握拉格朗日定理推論的意義。2.熟練掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。注意:洛必達(dá)法則只能直接用于求“”型或“”型未定式的極限，對(duì)于其他類(lèi)型的未定式極限，必須將其轉(zhuǎn)化為“”型或“”型未定式才能使用法則。 洛必達(dá)法則可以連續(xù)使用,當(dāng)再次使用法則時(shí),一定要檢驗(yàn)法則的條件是否成立,當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)必須停止使用,改用其他求極限的方法計(jì)算.在求未定式極限時(shí)，將洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小代換等其它方法結(jié)合使用，可使運(yùn)算更簡(jiǎn)便。3.掌握用一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法,并能利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。4.掌握函數(shù)極值的概念及求函數(shù)極值方法.5.掌握最值的概念及其與極值的關(guān)系,能熟練求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值；會(huì)求經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題的最值.如求最大總收入,最大總利潤(rùn)等. 6.掌握函數(shù)的凹向,拐點(diǎn)的概念及求曲線(xiàn)凹向,拐點(diǎn)的方法.三.例題選解例1. 求下列極限(1). (2). (3). 解：(1) . (2) 原式為冪指型不定式（型），利用代數(shù)變換：，得： 其中 （代換） （） . 原式(3) = = （代換） （洛必達(dá)）.例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?。 令，得駐點(diǎn)，；無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)。兩駐點(diǎn)分定義域?yàn)槿齻€(gè)子區(qū)間，列表討論如下： x0極小極大令得 ，無(wú)不存在的點(diǎn)。曲線(xiàn)的凹向及拐點(diǎn)列表討論如下：x 0-0+0-0+拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)由上面的討論看出：函數(shù)的單減區(qū)間為 ；單增區(qū)間為。極小值是，極大值是。曲線(xiàn)的凸區(qū)間是凹區(qū)間是。曲線(xiàn)的拐點(diǎn)有三個(gè)：，。例3.證明不等式分析與證：證明不等式的方法很多，利用函數(shù)的單調(diào)性或最值證明不等式是常用的方法之一。這里用單調(diào)性來(lái)證明。即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證即證在時(shí)，單減。 時(shí)，單減，有也單減，有， 證畢。例4.證明：對(duì)任意，有 分析： 本題為恒等式的證明。我們?cè)O(shè)由拉格朗日定理的推論，若能證明 則，再確定即可。證：當(dāng)時(shí)， ，證畢！例5求出函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值。解：顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，因而必存在最大、最小值。由，解得區(qū)間內(nèi)的可疑點(diǎn)為：. 比較以下函數(shù)值，得 .例6.某食品加工廠(chǎng)生產(chǎn)單位的總成本為，得到的總收益是，求出生產(chǎn)該商品單位的邊際利潤(rùn)、生產(chǎn)300單位時(shí)的邊際利潤(rùn)，當(dāng)生產(chǎn)多少單位時(shí)利潤(rùn)最大。解：.利潤(rùn)函數(shù) 邊際利潤(rùn)函數(shù).當(dāng)時(shí)，.令解得：，產(chǎn)量單位時(shí)，可獲最大利潤(rùn)。注：設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)也稱(chēng)為邊際函數(shù)。四.練習(xí)題與參考答案1. 求極限(1