創(chuàng)新設(shè)計(jì)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12知識(shí)塊第1講歸納與類比課件 北師大

1 了解合情推理的含義 能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 2 了解演繹推理的重要性 掌握演繹推理的基本模式 并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理 3 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 考綱下載 第1講歸納與類比 第十二知識(shí)塊推理與證明 1 合情推理 1 定義 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理 全部對(duì)象 歸納推理 特點(diǎn) 是由到整體 由到一般的推理 2 定義 由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征 推出另一類對(duì)象也具有的推理 特點(diǎn) 類比推理是由的推理 個(gè)別 部分 類比推理 這些特征 特殊到特殊 提示 1 合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 未必可靠 例如費(fèi)馬猜想就被歐拉推翻了 2 在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比 不要被表面現(xiàn)象迷惑 否則只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比 就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤 1 模式 三段論 2 特點(diǎn) 演繹推理是由到的推理 一般原理 特殊情況 特殊情況 一般 特殊 2 演繹推理 1 數(shù)列1 2 4 8 16 32 的一個(gè)通項(xiàng)公式是 A an 2n 1B an 2n 1C an 2nD an 2n 1解析 可觀察1 2 4 8 16 32 即20 21 22 23 24 25 可得an 2n 1 也可用特殊值進(jìn)行篩選 答案 B 2 所有9的倍數(shù) M 都是3的倍數(shù) P 某奇數(shù) S 是9的倍數(shù) M 故此奇數(shù) S 是3的倍數(shù) P 上述推理是 A 小前提錯(cuò)B 結(jié)論錯(cuò)C 正確的D 大前提錯(cuò)答案 C 3 把1 3 6 10 15 21 這些數(shù)叫做三角形數(shù) 這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形 如圖 試求第七個(gè)三角形數(shù)是 A 27B 28C 29D 30解析 第七個(gè)三角形數(shù)為 1 2 3 4 5 6 7 28 答案 B 4 2009 江蘇 在平面上 若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1 2 則它們的面積比為1 4 類似地 在空間中 若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1 2 則它們的體積比為 解析 由類比推理得 若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1 2 則它們的體積比為1 8 歸納推理的一般步驟 1 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì) 2 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題 因?yàn)闅w納推理是由特殊得出的一般性結(jié)論 所以歸納應(yīng)立足于觀察 經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上 有時(shí)歸納推理的結(jié)論不一定可靠 需要對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn) 數(shù)學(xué)上的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是能否進(jìn)行嚴(yán)格證明 例1 在數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 n N 猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 思維點(diǎn)撥 根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系 先求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律 寫出其通項(xiàng)公式 變式1 設(shè)f n n2 n 41 n N 計(jì)算 f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同時(shí)作出歸納推理 并用n 40驗(yàn)證猜想是否正確 解 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151都為質(zhì)數(shù) 歸納猜想 當(dāng)x N 時(shí) f n n2 n 41的值都為質(zhì)數(shù) n 40時(shí) f 40 402 40 41 40 40 1 41 41 41 1681 f 40 是合數(shù) 因此 由上面歸納推理得到的猜想不正確 類比推理是由特殊到特殊的推理 推理的結(jié)果不一定準(zhǔn)確 但是可以通過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明來(lái)解決這類問(wèn)題 在類比時(shí)要注意已知問(wèn)題與類比問(wèn)題的共性與區(qū)別 通常情況下 平面圖形中的點(diǎn) 線 面可類比為空間圖形中的線 面 體 另外常見(jiàn)的類比還有代數(shù)中的加減運(yùn)算可類比為乘除運(yùn)算 等差與等比的類比 0與1的類比 平面幾何與空間幾何的類比等 例2 2009 浙江 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差數(shù)列 類比以上結(jié)論有 設(shè)等比數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)積為Tn 則T4 成等比數(shù)列 思維點(diǎn)撥 由可想到求即可 解析 對(duì)于等比數(shù)列 通過(guò)類比 有等比數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)積為Tn 則T4 a1a2a3a4 T8 a1a2 a8 T12 a1a2 a12 T16 a1a2 a16 因此 a5a6a7a8 a9a10a11a12 a13a14a15a16 而T4 的公比為q16 因此T4 成等比數(shù)列 答案 ABC外接圓半徑r 運(yùn)用類比方法 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a b c 則其外接球的半徑R 解析 在直角三角形中 外接圓的半徑為斜邊長(zhǎng)的一半 在三棱錐中 外接球的直徑為以直角頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱為邊的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線 故有R 答案 變式2 2009 深圳一調(diào) 在Rt ABC中 若 C 90 AC b BC a 則 1 演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式 是一種必然性推理 演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)含關(guān)系 因而 只要前提是真實(shí)的 推理的形式是正確的 那么結(jié)論必定是真實(shí)的 但是錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論 2 演繹推理的主要形式 就是由大前提 小前提推出結(jié)論的三段論式推理 例3 已知函數(shù)f x a 0且a 1 1 證明 函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 思維點(diǎn)撥 證明本題依據(jù)的大前提是中心對(duì)稱的定義 函數(shù)y f x 的圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上 小前提是f x a 0且a 1 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 1 證明 函數(shù)f x 的定義域?yàn)镽 任取一點(diǎn) x y 它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 x 1 y 即函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 2 解 由 1 有 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 則f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 變式3 證明函數(shù)f x x 在 1 上是增函數(shù) 證明 證法一 任取x1 x2 1 且x1 x2 則f x1 f x2 于是 根據(jù) 三段論 可知 f x x 在 1 上是增函數(shù) 1 合情推理主要包括歸納推理和類比推理 數(shù)學(xué)研究中 在得到一個(gè)新結(jié)論前 合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前 合情推理常常能為證明提供思路與方向 2 合情推理的過(guò)程概括為 方法規(guī)律 3 演繹推理是從一般的原理出發(fā) 推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段論 數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行 4 合情推理僅是 合乎情理 的推理 它得到的結(jié)論不一定正確 但合情推理常常幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律 為我們提供證明的思路和方法 而演繹推理得到的結(jié)論一定正確 前提和推理形式都正確的前提下 5在數(shù)學(xué)中 證明命題的正確性都是使用演繹推理 而合情推理不能用作證明 高考真題 2009 廣東卷 某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示 墩的上半部分是正四棱錐P EFGH 下半部分是長(zhǎng)方體ABCD EFGH 圖2 圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正 主 視圖和俯視圖 1 請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè) 左 視圖 2 求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積 3 證明 直線BD垂直于平面PEG 這道題是比較簡(jiǎn)單的 只要連結(jié)圖上的EG HF及BD 找出EG與HF的交點(diǎn)O 連結(jié)PO 由正四棱錐的性質(zhì)經(jīng)幾個(gè)簡(jiǎn)單的步驟就可以推證出來(lái) 廣東文科試題近三年對(duì)推理論證能力的考查一直停留在比較初級(jí)的階段 主要以立體幾何中的一些位置關(guān)系證明與判斷的形式出現(xiàn) 難度不大 非常符合廣東文科考生數(shù)學(xué)認(rèn)知特點(diǎn)與水平 所以文科考生不必對(duì)推理與證明產(chǎn)生畏懼 掌握論證問(wèn)題 線面關(guān)系 的一些簡(jiǎn)單 基本思路 這個(gè)分?jǐn)?shù)是很容易得到 命題探究 規(guī)范解答 推理論證能力 推理是思維的基本形式之一 它由前提和結(jié)論兩部分組成 論證是由已有的