概率論第七章參數(shù)估計

第七章參數(shù)估計 7 1點估計 一 問題的提法 二 矩估計法 由辛欽大數(shù)定理可知 樣本的原點矩依概率收斂到總體的原點矩 即 據(jù)此 得到參數(shù)的矩估計法 定義 三 極大似然估計方法 說明 理論依據(jù) 極大似然估計的求解方法 2 直接根據(jù)定義計算 例8 設(shè)總體X服從 0 區(qū)間上的均勻分布 求 的極大似然估計 例9 設(shè)總體X服從 1 區(qū)間上的均勻分布 求 的極大似然估計 極大似然估計的性質(zhì) 例如 例8中參數(shù) 的方差DX的極大似然估計為 7 2 估計量的評選標準 1 無偏性 例2 X1 X2 Xn是來自X U 0 的樣本 證明 都是 的無偏估計 2 有效性 所有無偏估計中方差最小的無偏估計稱為最小方差無偏估計 或稱為有效估計 3 相合性 一致估計 根據(jù)辛欽大數(shù)定理 樣本原點矩依概率收斂于相應(yīng)的總體原點矩 從而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù) 所以所有的矩估計都是相合估計量 說明 7 3區(qū)間估計 定義 說明 2 置信區(qū)間長度越短 估計越精確 一般我們是對稱地取 可以證明此時的置信區(qū)間長度最短 求置信區(qū)間的一般思路 樞軸量法 1 構(gòu)造一個隨機變量Z Z X1 X2 Xn 除參數(shù) 外 Z不包含其他任何未知參數(shù) Z的分布已知 或可求出 并且不依賴于參數(shù) 也不依賴于其他任何未知參數(shù) Z稱為樞軸量 7 4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 一 單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 7 4正態(tài)母體參數(shù)的置信區(qū)間 說明 1 通常我們講的都是雙側(cè)的置信區(qū)間 實際中還有單側(cè)的置信區(qū)間 如書上的定義 2 若函數(shù)g x 單調(diào)增 則 若函數(shù)g x 單調(diào)減 則 例1 設(shè)某異常區(qū)磁場強度服從正態(tài)分布 現(xiàn)對該區(qū)進行磁測 按儀器規(guī)定其方差不得超過0 01 今抽測16個點 算得問此儀器工作是否穩(wěn)定 例2 設(shè)樣本為正態(tài)分布的樣本 其中 和為未知參數(shù) 設(shè)隨機變量L是關(guān)于 的置信度為1 的置信區(qū)間的長度 求 例3 設(shè)某種清漆的9個樣品 其干燥時間 以小時計 分別為6 0 5 7 5 8 6 5 7 0 6 3 5 6 6 1 5 0 設(shè)干燥時間總體服從正態(tài)分布 求 1 為0 6時 的置信度為0 95的單側(cè)置信上限 2 為未知 的置信度為0 95的單側(cè)置信上限 例4 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗 得炮口速度的樣本標準差為S 11 m s 設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布 求這種炮彈的炮口速度的標準差 的置信度為0 95的置信區(qū)間 二 兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計 三 兩個正態(tài)總體中統(tǒng)計量的分布 用表格表示如下 例5 設(shè)兩位化驗員A B獨立地對某種聚合物含氯量用同樣的方法各作10次測定 其測定值得樣本方差依次為設(shè)分別為A B所測定的測定值