2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.2間接證明學(xué)案【蘇教版選修】.docx

2.2.2間接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一間接證明思考閱讀下列證明過(guò)程，若a2b2c2，則a，b，c不可能都是奇數(shù)證明：假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，a2b2為偶數(shù)，a2b2c2，這與已知矛盾，a，b，c不可能都是奇數(shù)請(qǐng)問(wèn)上述證法是直接證明嗎？為什么？答案不是直接證明，因?yàn)檫@種證明既不是直接從條件出發(fā)，也不是從結(jié)論出發(fā)梳理間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，像這種不是直接證明的方法通常稱(chēng)為間接證明反證法就是一種常用的間接證明方法間接證明還有同一法、枚舉法等知識(shí)點(diǎn)二反證法王戎小時(shí)候，愛(ài)和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿(mǎn)了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來(lái)是苦的！他們都問(wèn)王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹(shù)上卻結(jié)滿(mǎn)了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？答案運(yùn)用了反證法思想思考2反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？答案否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，從而證明原結(jié)論正確梳理(1)反證法證明過(guò)程反證法證明時(shí)，要從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)(2)反證法證明命題的步驟反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立1反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法()2反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是演繹推理()3反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾()類(lèi)型一用反證法證明否定性命題例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1.因?yàn)閍dbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，則abcd0，這與已知條件adbc1矛盾，故假設(shè)不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱(chēng)為否定性命題，此類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列求證：，不成等差數(shù)列證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，4bac2.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，從而abc.這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，假設(shè)不成立故，不成等差數(shù)列類(lèi)型二用反證法證明“至多、至少”類(lèi)問(wèn)題例2a，b，c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.證明假設(shè)(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因?yàn)閍，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理，1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.反思與感悟應(yīng)用反證法常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q綈p或綈q跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1.求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)證明假設(shè)a，b，c，d都不是負(fù)數(shù)，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0，acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1(aca)(acc)1a(c1)c(a1)1.a(c1)0，c(a1)0，a(c1)c(a1)11，即acbd1，與acbd1相矛盾，假設(shè)不成立，a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)類(lèi)型三用反證法證明唯一性命題例3求證：方程2x3有且只有一個(gè)根證明2x3，xlog23.這說(shuō)明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的假設(shè)方程2x3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1b2)，則3,3，兩式相除得1，b1b20，則b1b2，這與b1b2矛盾假設(shè)不成立，從而原命題得證反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)，為其中的兩個(gè)實(shí)根因?yàn)椋环猎O(shè)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()b”的反面是“ay或xb，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均相同的項(xiàng)有_個(gè)答案0解析假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在n，使得anbn.但若ab，nN*，則恒有anbn，從而an2bn1恒成立，所以不存在n，使得anbn.6若a，b，c，d都是有理數(shù)，都是無(wú)理數(shù)，且ab，則a與b，c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案ab，cd解析假設(shè)ab，令abm(m是不等于零的有理數(shù))，于是bmb，所以m，兩邊平方整理得.左邊是無(wú)理數(shù)，右邊是有理數(shù)，矛盾，因此ab，從而cd.7用反證法證明命題“若x2(ab)xab0，則xa且xb”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_答案xa或xb8設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，Pabc，Qbca，Rcab，則“PQR0”是“P，Q，R同時(shí)大于0”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析PQR0有兩種情況，P，Q，R同時(shí)大于0或P，Q，R中有兩項(xiàng)都小于0，第三項(xiàng)大于0.若Pabc0，Qbca0，則abc，bca，則b0.這與abc0矛盾，假設(shè)不成立，故a，b，c中至少有一個(gè)是大于0的13已知f(x)ax(a1)，求證：方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x00且x01，且，又01，01，解得x02，這與x00矛盾，故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根三、探究與拓展14若下列兩個(gè)方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，21，)解析若兩方程均無(wú)實(shí)根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a1.若兩個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則a2或a1.15設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用(1)解設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，綜上所述，S