2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章定積分11.1定積分的背景——面積和路程問(wèn)題1.2定積分學(xué)案北師大版.docx

1.1定積分的背景面積和路程問(wèn)題 1.2定積分學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解定積分的實(shí)際背景及定積分的概念.2理解定積分的幾何意義及性質(zhì)(難點(diǎn))3.能利用定積分的幾何意義解決簡(jiǎn)單的定積分計(jì)算問(wèn)題(重點(diǎn))1借助圖形理解定積分的幾何意義，提升了學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng).2借助利用定積分的幾何意義求定積分的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1曲邊梯形的面積(1)曲邊梯形的概念由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形(如圖所示)(2)求曲邊梯形面積的步驟分割，近似替代，求和，取極值2定積分(1)定積分的定義一般地，給定一個(gè)在區(qū)間a，b上的函數(shù)yf(x)，將a，b區(qū)間分成n份，分點(diǎn)為：ax0x1x2xn1xnb.第i個(gè)小區(qū)間為xi1，xi，設(shè)其長(zhǎng)度為xi，在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)i，使f(i)在區(qū)間xi1，xi上的值最大，設(shè)Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)i，使f(i)在區(qū)間xi1，xi上的值最小，設(shè)sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0，S與s的差也趨于0，此時(shí)，S與s同時(shí)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)A，我們就稱(chēng)A是函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dxA.其中叫作積分號(hào)，a叫作積分的下限，b叫作積分的上限，f(x)叫作被積函數(shù)(2)定積分的幾何意義如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(ab)，x軸和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(3)定積分的性質(zhì)1dxba；kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)提醒若f(x)在a，a上連續(xù)，則當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(x)dx2 f(x)dx；當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(x)dx0.1函數(shù)f(x)x2在區(qū)間(i1,2，n)上，()Af(x)的值變化很小Bf(x)的值變化很大Cf(x)的值不變化D當(dāng)n很大時(shí)，f(x)的值變化很小D當(dāng)n很大時(shí)，矩形的寬越來(lái)越小，區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值越來(lái)越接近，函數(shù)值變化很小2在計(jì)算由曲線yx2以及直線x1，x1，y0所圍成的圖形面積時(shí)，若將區(qū)間1,1n等分，則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為_(kāi)每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為.3已知f(x)dx6，則6f(x)dx_.366f(x)dx6f(x)dx6636.4若f(x)dx3，g(x)dx2，則f(x)g(x)dx_.5原式325.求曲邊梯形的面積【例1】求直線y0，x1，x2，曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積思路探究：按分割、近似代替、求和、取極限四個(gè)步驟進(jìn)行求解解分割：在區(qū)間1,2上等間隔地插入n1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間：，.記第i個(gè)區(qū)間為 (i1,2，n)，其長(zhǎng)度為x.分別過(guò)上述n1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作：S1，S2，Sn，顯然，SSi.近似代替：記f(x)x2，當(dāng)n很大，即x很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)f(x)x2的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于右端點(diǎn)處的函數(shù)值f，從圖形(圖略)上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積Si近似地代替Si，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有SiSifx(n22nii2)(i1,2，n)，求和：由可推知SnSix(n22nii2)(22n2)2，從而得到S的近似值SSn2.取極限：可以看到，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，即x趨向于0時(shí)，Sn2趨向于S，從而有SSn20(10)(10)2.由極限法求曲邊梯形的面積的步驟第一步：分割在區(qū)間a，b中等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，將其等分成n個(gè)小區(qū)間xi1，xi(i1,2，n)，小區(qū)間的長(zhǎng)度xixixi1第二步：近似代替，“以直代曲”用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和將n個(gè)小矩形的面積進(jìn)行求和得Sn.第四步：取極限當(dāng)n時(shí)，SnS，S即為所求1求由曲線yx2與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是_1.02將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為，于是所求平面圖形的面積近似等于1.02定積分的幾何意義【例2】利用定積分的幾何意義求下列定積分(1) dx；(2)(2x1)dx；(3)(x33x)dx.思路探究：對(duì)于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間，畫(huà)出圖形，然后用幾何法求出圖形面積，從而確定定積分的值；對(duì)于(3)可根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解解(1)曲線y表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓如圖所示其面積為S32.由定積分的幾何意義知dx.(2)曲線f(x)2x1為一條直線.(2x1)dx表示直線f(x)2x1，x0，x3，y0圍成的直角梯形OABC的面積，如圖.其面積為S(17)312根據(jù)定積分的幾何意義知(2x1)dx12圖 圖(3)yx33x在區(qū)間1,1上為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等由定積分的幾何意義知(x33x)dx0.1定積分的幾何意義的應(yīng)用(1)利用定積分的幾何意義求f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線yf(x)，直線xa，xb及y0所圍成的平面圖形的形狀常見(jiàn)的圖形有三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確2奇、偶函數(shù)在區(qū)間a，a上的定積分(1)若奇函數(shù)yf(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則0.(2)若偶函數(shù)yf(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則2f(x)dx.2根據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如圖，xdxA1A10.(2)如圖，cos xdxA1A2A30.(3)如圖，A1A2，|x|dx2A121(A1，A2，A3分別表示圖中相應(yīng)各處面積)定積分性質(zhì)的應(yīng)用探究問(wèn)題1怎樣求分段函數(shù)的定積分？提示可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加2怎樣求奇(偶)函數(shù)在區(qū)間a，a上的定積分？提示(1)若奇函數(shù)yf(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則af(x)dx0；(2)若偶函數(shù)yg(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則g(x)dx2g(x)dx.【例3】利用定積分的性質(zhì)和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2思路探究：由定積分的幾何意義，作出圖形，分割區(qū)間表示解(1)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示設(shè)此面積為S，則S(0)dxdx.(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示設(shè)面積為S，則SA1A2因?yàn)锳1由y，y，x1圍成，A2由y，yx2，x1和x4圍成，所以A1()dx2dx，A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定積分的性質(zhì)求定積分的技巧靈活應(yīng)用定積分的性質(zhì)解題，可以把比較復(fù)雜的函數(shù)拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，把積分區(qū)間分割成可以求積分的幾段，進(jìn)而把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，在運(yùn)算方面更加簡(jiǎn)潔應(yīng)用時(shí)注意性質(zhì)的推廣：3如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為()A.B.C. D.C根據(jù)題意，正方形OABC的面積為111，而陰影部分由函數(shù)yx與y圍成，其面積為(x)dx.則正方形OABC中任取一點(diǎn)P，點(diǎn)P取自陰影部分的概率為.1定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)定積分f(x)dx與積分區(qū)間a，b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上、下限不同，所得的值一般也不同2求曲邊梯形的面積的步驟用直邊形(如矩形)逼近曲邊梯形的方法求曲邊梯形的面積，具體步驟如下：3定積分的物理意義：從物理學(xué)的角度來(lái)看，如果在時(shí)間區(qū)間t1，t2上vv(t)連續(xù)且恒有v(t)0，那么定積分v(t)dt表示做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間t1，t2內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程這就是定積分v(t)dt的物理意義4關(guān)于定積分的幾何意義由三條直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積為S，則有：若在區(qū)間a，b上，f(x)0，則Sf(x)dx，如圖(1)所示，即f(x)dxS.(1)(2)(3)若在區(qū)間a，b上，f(x)0，則Sf(x)dx，如圖(2)所示，即f(x)dxS.若在區(qū)間a，c上，f(x)0，在區(qū)間c，b上，f(x)0，則Sf(x)dxf(x)dx，如圖(3)所示，即f(x)dxSASB(SA，SB表示所在區(qū)域A，B的面積)1下列等式不成立的是()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdxsin xdxsin xdxC利用定積分的性質(zhì)可判斷A，B，D成立，C不成立例如xdx2，2dx4，2xdx4，即2xdxxdx2dx.2當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)f(x)x2在區(qū)間上的值可以用下列哪個(gè)值近似代替()AfBfCf Df(0)C當(dāng)n很大時(shí)，f(x)x2在區(qū)間上的值可用該區(qū)間上任何一點(diǎn)的函數(shù)值近似代替，顯