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1.1定積分的背景面積和路程問(wèn)題 1.2定積分學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解定積分的實(shí)際背景及定積分的概念.2理解定積分的幾何意義及性質(zhì)(難點(diǎn))3.能利用定積分的幾何意義解決簡(jiǎn)單的定積分計(jì)算問(wèn)題(重點(diǎn))1借助圖形理解定積分的幾何意義,提升了學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng).2借助利用定積分的幾何意義求定積分的學(xué)習(xí),培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1曲邊梯形的面積(1)曲邊梯形的概念由直線xa,xb(ab),y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形(如圖所示)(2)求曲邊梯形面積的步驟分割,近似替代,求和,取極值2定積分(1)定積分的定義一般地,給定一個(gè)在區(qū)間a,b上的函數(shù)yf(x),將a,b區(qū)間分成n份,分點(diǎn)為:ax0x1x2xn1xnb.第i個(gè)小區(qū)間為xi1,xi,設(shè)其長(zhǎng)度為xi,在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)i,使f(i)在區(qū)間xi1,xi上的值最大,設(shè)Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)i,使f(i)在區(qū)間xi1,xi上的值最小,設(shè)sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后,最大的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0,S與s的差也趨于0,此時(shí),S與s同時(shí)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)A,我們就稱(chēng)A是函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作f(x)dx,即f(x)dxA.其中叫作積分號(hào),a叫作積分的下限,b叫作積分的上限,f(x)叫作被積函數(shù)(2)定積分的幾何意義如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0,那么定積分f(x)dx表示由直線xa,xb(ab),x軸和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(3)定積分的性質(zhì)1dxba;kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù));f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx;f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)提醒若f(x)在a,a上連續(xù),則當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),f(x)dx2 f(x)dx;當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),f(x)dx0.1函數(shù)f(x)x2在區(qū)間(i1,2,n)上,()Af(x)的值變化很小Bf(x)的值變化很大Cf(x)的值不變化D當(dāng)n很大時(shí),f(x)的值變化很小D當(dāng)n很大時(shí),矩形的寬越來(lái)越小,區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值越來(lái)越接近,函數(shù)值變化很小2在計(jì)算由曲線yx2以及直線x1,x1,y0所圍成的圖形面積時(shí),若將區(qū)間1,1n等分,則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為_(kāi)每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為.3已知f(x)dx6,則6f(x)dx_.366f(x)dx6f(x)dx6636.4若f(x)dx3,g(x)dx2,則f(x)g(x)dx_.5原式325.求曲邊梯形的面積【例1】求直線y0,x1,x2,曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積思路探究:按分割、近似代替、求和、取極限四個(gè)步驟進(jìn)行求解解分割:在區(qū)間1,2上等間隔地插入n1個(gè)點(diǎn),將區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間:,.記第i個(gè)區(qū)間為 (i1,2,n),其長(zhǎng)度為x.分別過(guò)上述n1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,從而得到n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積分別記作:S1,S2,Sn,顯然,SSi.近似代替:記f(x)x2,當(dāng)n很大,即x很小時(shí),在區(qū)間上,可以認(rèn)為函數(shù)f(x)x2的值變化很小,近似地等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它近似地等于右端點(diǎn)處的函數(shù)值f,從圖形(圖略)上看,就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊這樣,在區(qū)間上,用小矩形的面積Si近似地代替Si,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有SiSifx(n22nii2)(i1,2,n),求和:由可推知SnSix(n22nii2)(22n2)2,從而得到S的近似值SSn2.取極限:可以看到,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),即x趨向于0時(shí),Sn2趨向于S,從而有SSn20(10)(10)2.由極限法求曲邊梯形的面積的步驟第一步:分割在區(qū)間a,b中等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn),將其等分成n個(gè)小區(qū)間xi1,xi(i1,2,n),小區(qū)間的長(zhǎng)度xixixi1第二步:近似代替,“以直代曲”用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,求出小曲邊梯形面積的近似值第三步:求和將n個(gè)小矩形的面積進(jìn)行求和得Sn.第四步:取極限當(dāng)n時(shí),SnS,S即為所求1求由曲線yx2與直線x1,x2,y0所圍成的平面圖形面積時(shí),把區(qū)間5等分,則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是_1.02將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為,于是所求平面圖形的面積近似等于1.02定積分的幾何意義【例2】利用定積分的幾何意義求下列定積分(1) dx;(2)(2x1)dx;(3)(x33x)dx.思路探究:對(duì)于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間,畫(huà)出圖形,然后用幾何法求出圖形面積,從而確定定積分的值;對(duì)于(3)可根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解解(1)曲線y表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓如圖所示其面積為S32.由定積分的幾何意義知dx.(2)曲線f(x)2x1為一條直線.(2x1)dx表示直線f(x)2x1,x0,x3,y0圍成的直角梯形OABC的面積,如圖.其面積為S(17)312根據(jù)定積分的幾何意義知(2x1)dx12圖 圖(3)yx33x在區(qū)間1,1上為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等由定積分的幾何意義知(x33x)dx0.1定積分的幾何意義的應(yīng)用(1)利用定積分的幾何意義求f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線yf(x),直線xa,xb及y0所圍成的平面圖形的形狀常見(jiàn)的圖形有三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積,要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確2奇、偶函數(shù)在區(qū)間a,a上的定積分(1)若奇函數(shù)yf(x)的圖像在a,a上連續(xù),則0.(2)若偶函數(shù)yf(x)的圖像在a,a上連續(xù),則2f(x)dx.2根據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值(1)xdx;(2)cos xdx;(3)|x|dx.解(1)如圖,xdxA1A10.(2)如圖,cos xdxA1A2A30.(3)如圖,A1A2,|x|dx2A121(A1,A2,A3分別表示圖中相應(yīng)各處面積)定積分性質(zhì)的應(yīng)用探究問(wèn)題1怎樣求分段函數(shù)的定積分?提示可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加2怎樣求奇(偶)函數(shù)在區(qū)間a,a上的定積分?提示(1)若奇函數(shù)yf(x)的圖像在a,a上連續(xù),則af(x)dx0;(2)若偶函數(shù)yg(x)的圖像在a,a上連續(xù),則g(x)dx2g(x)dx.【例3】利用定積分的性質(zhì)和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積(1)y0,y,x2;(2)yx2,xy2思路探究:由定積分的幾何意義,作出圖形,分割區(qū)間表示解(1)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示設(shè)此面積為S,則S(0)dxdx.(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示設(shè)面積為S,則SA1A2因?yàn)锳1由y,y,x1圍成,A2由y,yx2,x1和x4圍成,所以A1()dx2dx,A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定積分的性質(zhì)求定積分的技巧靈活應(yīng)用定積分的性質(zhì)解題,可以把比較復(fù)雜的函數(shù)拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),把積分區(qū)間分割成可以求積分的幾段,進(jìn)而把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題,在運(yùn)算方面更加簡(jiǎn)潔應(yīng)用時(shí)注意性質(zhì)的推廣:3如圖所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為()A.B.C. D.C根據(jù)題意,正方形OABC的面積為111,而陰影部分由函數(shù)yx與y圍成,其面積為(x)dx.則正方形OABC中任取一點(diǎn)P,點(diǎn)P取自陰影部分的概率為.1定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值),它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限,而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)定積分f(x)dx與積分區(qū)間a,b息息相關(guān),不同的積分區(qū)間,定積分的積分上、下限不同,所得的值一般也不同2求曲邊梯形的面積的步驟用直邊形(如矩形)逼近曲邊梯形的方法求曲邊梯形的面積,具體步驟如下:3定積分的物理意義:從物理學(xué)的角度來(lái)看,如果在時(shí)間區(qū)間t1,t2上vv(t)連續(xù)且恒有v(t)0,那么定積分v(t)dt表示做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間t1,t2內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程這就是定積分v(t)dt的物理意義4關(guān)于定積分的幾何意義由三條直線xa,xb(ab),x軸及一條曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積為S,則有:若在區(qū)間a,b上,f(x)0,則Sf(x)dx,如圖(1)所示,即f(x)dxS.(1)(2)(3)若在區(qū)間a,b上,f(x)0,則Sf(x)dx,如圖(2)所示,即f(x)dxS.若在區(qū)間a,c上,f(x)0,在區(qū)間c,b上,f(x)0,則Sf(x)dxf(x)dx,如圖(3)所示,即f(x)dxSASB(SA,SB表示所在區(qū)域A,B的面積)1下列等式不成立的是()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdxsin xdxsin xdxC利用定積分的性質(zhì)可判斷A,B,D成立,C不成立例如xdx2,2dx4,2xdx4,即2xdxxdx2dx.2當(dāng)n很大時(shí),函數(shù)f(x)x2在區(qū)間上的值可以用下列哪個(gè)值近似代替()AfBfCf Df(0)C當(dāng)n很大時(shí),f(x)x2在區(qū)間上的值可用該區(qū)間上任何一點(diǎn)的函數(shù)值近似代替,顯
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