江蘇省南京師大附中2014屆高三(5月)模擬考試數(shù)學試卷.doc

絕密啟用前南京師大附中2014屆高三模擬考試 數(shù) 學 2014.05注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、班級寫在答題紙的密封線內試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙參考公式：錐體的體積公式為VSh，其中S是錐體的底面面積，h是高 一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應位置上 1設集合Ax|1x2，Bx|0x4，xN，則AB 2若復數(shù) (i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實數(shù)a 3某時段內共有100輛汽車經過某一雷達測速區(qū)域，將測得的汽車時速繪制成如圖所示的頻率分布直方圖根據圖形推斷，該時段時速超過50km/h的汽車輛數(shù)為 4如圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是 5一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 從中一次隨機摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 6已知，表示兩個不同的平面，m為平面內的一條直線， 則“”是“m”的 條件（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 7函數(shù)的單調增區(qū)間是 8設實數(shù)x，y，b滿足，若z2xy的最小值為3， 則實數(shù)b的值為 (第4題圖)9設a，b均為正實數(shù)，則的最小值是 10設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+)上單調遞增，則滿足不等式f(1)f(lg(2x)的x的取值范圍是 11在ABC中，已知BAC90，AB6，若D點在斜邊BC上，CD2DB，則 的值為 12在平面直角坐標系xOy中，點M是橢圓1（ab0）上的點，以M為圓心的 圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q兩點若PQM是鈍角三角 形，則該橢圓離心率的取值范圍是 13對于定義域內的任意實數(shù)x，函數(shù)f(x)的值恒為正數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 14記數(shù)列an的前n項和為Sn，若不等式ama對任意等差數(shù)列an及任意正整數(shù)n 都成立，則實數(shù)m的最大值為 二解答題：本大題共6小題，共90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分） 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 （1）求角的值； （2）若角，邊上的中線=，求的面積16（本小題滿分14分） 在四棱錐PABCD中，ACD90，BACCAD，PA平面ABCD，E為PD(第16題圖)圖 的中點 （1）求證：平面PAC平面PCD；（2）求證：CE平面PAB 17（本小題滿分14分） 某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖所示設正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值(第17題圖)圖18（本小題滿分16分） 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1（ab0）的離心率為，兩個頂點分別為A1(2，0)，A2(2，0)過點D(1，0)的直線交橢圓于M，N兩點，直線A1M與NA2的交點為G （1）求實數(shù)a，b的值； （2）當直線MN的斜率為1時，若橢圓上恰有兩個點P1，P2使得P1MN和P2MN (第18題圖) 的面積為S，求S的取值范圍； （3）求證：點G在一條定直線上 19（本小題滿分16分） 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且滿足a1a2a39，b1b2b327. （1）若a4b3，b4b3m. 當m18時，求數(shù)列an和bn的通項公式； 若數(shù)列bn是唯一的，求m的值； （2）若a1b1，a2b2，a3b3均為正整數(shù)，且成等比數(shù)列，求數(shù)列an的公差d的最 大值.20（本小題滿分16分） 設a是實數(shù)，函數(shù)f(x)ax2(a1)x2lnx （1）當a1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； （2）當a2時，過原點O作曲線yf(x)的切線，求切點的橫坐標； （3）設定義在D上的函數(shù)yg(x)在點P(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當xx0 時， 若0在D內恒成立，則稱點P為函數(shù)yg(x)的“巧點”當a時， 試問函數(shù)yf(x)是否存在“巧點”？若存在，請求出“巧點”的橫坐標；若不存在，說 明理由南京師大附中2014屆高三模擬考試 數(shù) 學（附加題） 2014.0521【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分.請在答題紙指定區(qū)域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A（幾何證明選講選做題） 如圖，設、是圓的兩條弦，直線是線段的垂直平分線已知，求線段的長度 (第21A題圖)B（矩陣與變換選做題） 設矩陣A，矩陣A屬于特征值的一個特征向量為，屬于特征值 的一個特征向量為，求adbc的值C（坐標系與參數(shù)方程選做題） 在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 設點A， B分別在曲線C1：（為參數(shù)）和曲線C2：1上，求線段AB的最小值D（不等式選做題） 設a，b，c均為正數(shù)， abc1求證：.22【必做題】 在一個盒子中放有大小質量相同的四個小球，標號分別為，4，現(xiàn)從這個盒 子中有放回地先后摸出兩個小球,它們的標號分別為x，y，記|xy|（1）求P(1)；（2）求隨機變量的分布列和數(shù)學期望23【必做題】 有三種卡片分別寫有數(shù)字1，10和100設m為正整數(shù)，從上述三種卡片中選取若干張， 使得這些卡片上的數(shù)字之和為m考慮不同的選法種數(shù)，例如當m11時，有如下兩種選法：“一張卡片寫有1，另一張卡片寫有10”或“11張寫有1的卡片”，則選法種數(shù)為2（1）若m100，直接寫出選法種數(shù)；（2）設n為正整數(shù)，記所選卡片的數(shù)字和為100n的選法種數(shù)為an當n2時，求數(shù) 列an的通項公式南京師大附中2014屆高三模擬考試數(shù)學參考答案及評分標準說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分11； 22； 377； 45； 5； 6必要不充分； 7,0； 8； 94； 10(0，)(5，+)； 1124； 12（0，）； 137a0或a2； 14 二、解答題：15解析:（1）因為，由正弦定理 得， 2分即=sin(A+C) 4分 因為BAC，所以sinB=sin(A+C)，所以因為B(0，)，所以sinB0， 所以，因為，所以 7分（2）由（1）知，所以， 8分 設，則，又 在AMC中，由余弦定理 得 即 解得x2. 12分 故 14分16解析: （1）因為PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD， 2分 又ACD90，則，而PAACA， 所以CD平面PAC，因為CD平面ACD， 4分所以，平面PAC平面PCD 7分（2） 證法一：取AD中點M，連EM，CM，則EMPA 因為EM 平面PAB，PA平面PAB， 所以EM平面PAB 9分 在RtACD中，AM=CM，所以CAD=ACM，又BACCAD，所以BACACM， 則MCAB因為MC 平面PAB，AB平面PAB， 所以MC平面PAB 12分 而EMMCM，所以平面EMC平面PAB由于EC平面EMC，從而EC平面PAB 14分 證法二：延長DC，AB交于點N，連PN因為NACDAC，ACCD，所以C為ND的中點 而E為PD中點，所以ECPN 因為EC 平面PAB，PN 平面PAB， 所以EC平面PAB 14分17解析:正三棱錐展開如圖所示當按照底邊包裝時體積最大 設正三棱錐側面的高為h，高為h 由題意得：xh10，解得h10x 2分 則h ，x(0,10) 5分 所以，正三棱錐體積VShx2 8分設yV2(100x)， 求導得y ，令y0，得x8， 10分 當x(0，8)時，y0，y隨著x的增加而增大， 當x(8，10)時，y0，y隨著x的增加而減小， 所以，當x8 cm時，y取得極大值也是最大值 12分 此時y15360，所以Vmax32 cm3 答：當?shù)酌孢呴L為8cm時，正三棱錐的最大體積為32cm3 14分18解析: （1）由題設可知a2 1分 因為e，即，所以c 又因為b2a2c2431，所以b1 2分（2）由題設可知，橢圓的方程為y21，直線MN的方程為yx1設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程組，消去y可得5x28x0，解得x10，x2 將x10，x2，代入直線MN的方程，解得y11，y2所以MN 4分設與直線MN平行的直線m方程為yx聯(lián)立方程組，消去y可得5x28x4240，若直線m與橢圓只有一個交點，則滿足64220(424)0，解得 6分當直線m為yx時，直線l與m之間的距離為d1；當直線m為yx時，直線l與m之間的距離為d2； 8分設點C到MN的距離為d，要使CMN的面積為S的點C恰有兩個，則需滿足d1dd2，即d因為SdMNd，所以S 10分 （3）方法一 設直線A1M的方程為yk1(x2)，直線A2N的方程為yk2(x2) 聯(lián)立方程組，消去y得(14k12)x216k12x16k1240， 解得點M的坐標為(，) 同理，可解得點N的坐標為(，) 12分 由M，D，N三點共線，有，化簡得(k23k1)(4k1k21)0 由題設可知k1與k2同號，所以k23k1 14分 聯(lián)立方程組，解得交點G的坐標為(，) 將k23k1代入點G的橫坐標，得xG4 所以，點G恒在定直線x4上 16分 方法二 顯然，直線MN的斜率為0時不合題意 設直線MN的方程為xmy1 令m0，解得M(1，)，N(1，)或M(1，)，N(1，) 當M(1，)，N(1，)時，直線A1M的方程為yx，直線A2N的方程為yx 聯(lián)立方程組，解得交點G的坐標為(4，)； 當M(1，)，N(1，)時，由對稱性可知交點G的坐標為(4，) 若點G恒在一條定直線上，則此定直線必為x4 12分 下面證明對于任意的實數(shù)m，直線A1M與直線A2N的交點G均在直線x4上 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(4，y0) 由點A1，M，G三點共線，有，即y0 再由點A2，N，G三點共線，有，即y0 所以， 將x1my11，x2my21代入式，化簡得2my1y23(y1y2)0 14分 聯(lián)立方程組，消去x得(m24)y22my30， 從而有y1y2，y1y2 將其代入式，有2m30成立 所以，當m為任意實數(shù)時，直線A1M與直線A2N的交點G均在直線x4上 16分19解析：（1）由數(shù)列an是等差數(shù)列及a1a2a39，得a23， 由數(shù)列bn是等比數(shù)列及b1b2b327，得b23 2分 設數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，若m18，則有解得或 所以，an和bn的通項公式為或 4分 由題設b4b3m，得3q23qm，即3q23qm0（*）因為數(shù)列bn是唯一的，所以若q=0，則m=0，檢驗知，當m=0時，q=1或0（舍去），滿足題意；若q0，則(3)212 m0，解得m，代入（*）式，解得q，又b23，所以bn是唯一的等比數(shù)列，符合題意 所以，m=0或 8分 （2）依題意，36(a1b1) (a3b3)， 設bn公比為q，則有36(3d)(3d3q)， （*） 記m3d，n3d3q，則mn=36將（*）中的q消去，整理得： d2(mn)d3(mn)360 10分d的大根為 而m，nN*，所以 (m，n)的可能取值為： (1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) 所以，當m1，n36時，d的最大值為 16分20解析：（1）當a1時，f (x)(x0)， 1分 由f (x)0得：x ；由f (x)0得：0x 2分所以，f(x)的單調增區(qū)間為(，)，單調減區(qū)間為(0,) 3分 （2）當a2時，設切點為M (m，n) f (x)4x3( x0)， 所以，切線的斜率k4m3 又直線OM的斜率為 ， 5分 所以，4m3，即m2lnm10， 又函數(shù)ym2lnm1在(0,)上遞增，且m1是一根，所以是唯一根， 所以，切點橫坐標為1 7分 （3）a時，由函數(shù)yf(x)在其圖象上一點P(x0,y0)處的切線方程為： y(x0)(xx0)x02x02ln x0 8分 令h(x)(x0)(xx0)x02x02ln x0， 設F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0 且F (x)f (x)h (x)x(x0) (xx0)()(xx0) (x) 10分 當0x02時，x0，F(xiàn)(x)在(x0,)上單調遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，0； 當x02時，x0，F(xiàn)(x)在(,x0)上單調遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，0 因此，yf(x)在(0，2)和(2，)上不存在“巧點” 13分 當x02時， F (x)0，所以函數(shù)F(x)在(0,)上單調遞減 所以，x2時，F(xiàn)(x)F(2)0，0；0x2時，F(xiàn)(x)F(2)0，0 因此，點(2，f(2)為“巧點”，其橫坐標為2 16分南京師大附中2014屆高三模擬考試 數(shù)學附加題參考答案及評分標準 2014.0521【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區(qū)域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講解析：連接