正多邊形的有關(guān)概念、正多邊形與圓的關(guān)系

24 3正多邊形和圓 第二十四章圓 問題 觀看大屏幕上這些美麗的圖案 都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的 你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎 導(dǎo)入新課 觀察與思考 問題1什么叫做正多邊形 各邊相等 各角也相等的多邊形叫做正多邊形 問題2矩形是正多邊形嗎 為什么 菱形是正多邊形嗎 為什么 不是 因為矩形不符合各邊相等 不是 因為菱形不符合各角相等 正多邊形 各邊相等 各角相等 缺一不可 講授新課 問題3正三角形 正四邊形 正五邊形 正六邊形都是軸對稱圖形嗎 都是中心對稱圖形嗎 正n邊形都是軸對稱圖形 都有n條對稱軸 只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對稱圖形 問題3正三角形 正四邊形 正五邊形 正六邊形都是軸對稱圖形嗎 都是中心對稱圖形嗎 互動探究 O A B C D 問題1以正四邊形為例 根據(jù)對稱軸的性質(zhì) 你能得出什么結(jié)論 E F G H EF是邊AB CD的垂直平分線 OA OB OD OC GH是邊AD BC的垂直平分線 OA OD OB OC OA OB OC OD 正方形ABCD有一個以點O為圓心的外接圓 O A B C D E F G H AC是 DAB及 DCB的角平分線 BD是 ABC及 ADC的角平分線 OE OH OF OG 正方形ABCD還有一個以點O為圓心的內(nèi)切圓 所有的正多邊形是不是也都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓 想一想 O A B C D E F G H R r 正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心 叫作正多邊形的中心 外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑 內(nèi)切圓的半徑叫作正多邊形的邊心距 知識要點 正多邊形每一條邊所對的圓心角 叫做正多邊形的中心角 正多邊形的每個中心角都等于 60 120 120 90 90 90 120 60 60 正多邊形的外角 中心角 完成下面的表格 如圖 已知半徑為4的圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF 它的中心角等于度 OCBC 填 或 OBC是三角形 圓內(nèi)接正六邊形的面積是 OBC面積的倍 圓內(nèi)接正n邊形面積公式 C D O B E F A P 60 等邊 6 探究歸納 例1 有一個亭子 它的地基是半徑為4m的正六邊形 求地基的周長和面積 精確到0 1m2 C D O E F A P 抽象成 典例精析 利用勾股定理 可得邊心距 亭子地基的面積 在Rt OMB中 OB 4 MB 4m O A B C D E F 解 過點O作OM BC于M 想一想 問題1正n邊形的中心角怎么計算 問題2正n邊形的邊長a 半徑R 邊心距r之間有什么關(guān)系 a R r 問題3邊長a 邊心距r的正n邊形的面積如何計算 其中l(wèi)為正n邊形的周長 如圖所示 正五邊形ABCDE內(nèi)接于 O 則 ADE的度數(shù)是 A 60 B 45 C 36 D 30 練一練 C 2 作邊心距 構(gòu)造直角三角形 1 連半徑 得中心角 圓內(nèi)接正多邊形的輔助線 當(dāng)堂練習(xí) 1 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2 若正多邊形的邊心距與半徑的比為1 2 則這個多邊形的邊數(shù)是 3 4 要用圓形鐵片截出邊長為4cm的正方形鐵片 則選用的圓形鐵片的直徑最小要 cm 也就是要找這個正方形外接圓的直徑 3 如圖是一枚奧運(yùn)會紀(jì)念幣的圖案 其形狀近似看作為正七邊形 則一個內(nèi)角為 度 不取近似值 5 如圖 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形 若正方形的面積等于4 求 O的面積 解 正方形的面積等于4 則半徑為 O的面積為 正方形的邊長AB 2 6 如圖 正六邊形ABCDEF的邊長為 點P為六邊形內(nèi)任一點 則點P到各邊距離之和是多少 點P到各邊距離之和 3BD 3 6 18 解 過P作AB的垂線 分別交AB DE于H K 連接BD 作CG BD于G G H K P到AF與CD的距離之和 及P到EF BC的距離之和均為HK的長 六邊形ABCDEF是正六邊形 AB DE AF CD BC EF BC CD BCD ABC CDE 120 CBD BDC 30 BD HK 且BD HK CG BD BD 2BG 2 BC cos CBD 6 拓廣探索如圖 M N分別是 O內(nèi)接正多邊形AB BC上的點 且BM CN 1 求圖 中 MON 圖 中 MON 圖 中 MON 2 試探究 MON的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)n的關(guān)系 A B C M N M N M N O