初中數(shù)學(xué)-釋疑類課程-垂徑定理求弦長（定稿）.doc

釋疑類課程:垂徑定理求弦長微課說明 從2012年寧波卷第18題說起一、【背景說明】 垂徑定理是圓的一個(gè)重要知識(shí),是許多以圓為背景的平面幾何問題的主要解題依據(jù).為進(jìn)一步整合知識(shí)結(jié)構(gòu),有必要對(duì)垂徑定理在試題中的呈現(xiàn)形式做提煉,希望能提高學(xué)生快速尋找解題思路的能力水平. 二、【內(nèi)容分析】本微課選用例題是2012年寧波市數(shù)學(xué)中考試卷第18題，該題以圓為背景,在動(dòng)點(diǎn)問題的基礎(chǔ)上求線段長度的最小值,考查垂徑定理、圓周角定理等知識(shí),本微課通過對(duì)該題目的解析,重點(diǎn)探究垂徑定理在試題中的呈現(xiàn)及應(yīng)用方式.三、【適用對(duì)象】 浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)第三章圓復(fù)習(xí)課.四、【構(gòu)思說明】本微課以指導(dǎo)學(xué)生解題為主,從審題到定性判斷EF的最小值,進(jìn)而探索如何求出此時(shí)EF的長度,即最小值.在這個(gè)過程中,重點(diǎn)突出以垂徑定理為基礎(chǔ)的半徑、半弦、弦心距所構(gòu)造的直角三角形中勾股定理的應(yīng)用.五、【過程實(shí)錄】圖11.知識(shí)點(diǎn)回顧垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.數(shù)學(xué)表達(dá)為:如圖1,直徑DC垂直于弦AB,則AE=EB,劣弧AD等于劣弧BD,優(yōu)弧ACD=優(yōu)弧BCD.我們通常稱其為知二推三,即在下列5個(gè)元素中只要具備其中任意兩個(gè),就可以推出其他三個(gè):平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;平分弦所對(duì)的劣弧;平分弦（不是直徑);垂直于弦;經(jīng)過圓心.涉及到線段的長度問題時(shí)通常采用勾股定理計(jì)算,由半徑AO、半弦AE、弦心距OE構(gòu)成直角三角形,滿足.垂徑定理是圓的重要性質(zhì)之一,它是證明圓內(nèi)線段、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù),也為圓中的計(jì)算、證明和作圖提供了依據(jù)、思路和方法.2.展示題目,分析試題題目:(2012寧波)圖3如圖3,ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=2,D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑畫O分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長度的最小值為分析:本題是2012年寧波市中考試題第12題,是填空題的小壓軸題,具有一定難度.它是以圓為背景,在動(dòng)點(diǎn)問題的基礎(chǔ)上求線段長度的最值,主要考查的是垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形等知識(shí).圖4定性判斷:線段EF是圓周角BAC所對(duì)的弦,圓周角為定值60,要使所對(duì)的弦最短,則圓最小,即圓的直徑AD最短.化動(dòng)為靜:由垂線段的性質(zhì)可知,當(dāng)AD為ABC的邊BC上的高時(shí),直徑AD最短,此時(shí)線段EF最短.還原模塊:連接OE,OF,過O點(diǎn)作OHEF,垂足為H,在RtADB中,根據(jù)等腰直角三角形三邊的比值求直徑AD,由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60,在RtEOH中,解直角三角形求EH,由垂徑定理可知EF=2EH3.解決試題解:如圖4,連接OE,OF,過O點(diǎn)作OHEF,垂足為H. (還原模塊:半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形)在RtADB中,ABC=45,AB=2,AD=BD=2,即此時(shí)圓的直徑為2,（暗示條件:45角構(gòu)成等腰直角三角形)由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60,在RtEOH中,EH=OEsinEOH=1=,由垂徑定理可知EF=2EH=.故答案為: 另解:如圖5,構(gòu)造含直徑的直角三角形求解,同學(xué)們可以自行嘗試求解.求弦長的兩種基本思路:（1)由垂徑定理出發(fā)的半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形;(2)含直徑和弦的直角三角形.4.解題反思本題考查了垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化,找出滿足條件的最小圓,即定性的判斷出點(diǎn)D在何處時(shí)線段EF取得最小值,此時(shí)就把動(dòng)點(diǎn)問題靜態(tài)化,最后再解直角三角形即可求解.事實(shí)上我們可以借助題中的一些隱性條件和殘缺模塊快速尋求解題思路.比如條件就是一個(gè)隱性條件,通常情況下,題目中給出45角時(shí),解題過程中往往會(huì)用到等腰直角三角形的性質(zhì),此時(shí)需要在圖形中尋找或構(gòu)造等腰直角三角形,本題中存在的等腰直角三角形為等腰RtABD.又如附1中2014年江西中考第12題;如果把以垂徑定理為基礎(chǔ)的半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形稱為一個(gè)基本模塊的話,本題中線段EF就是該模塊的殘缺形式,只有把模塊補(bǔ)充完整,才能順利求出線段EF的長度.如附2中2014年紹興中考試題.附1:隱性條件習(xí)題（2014年江西第12題)如圖，ABC內(nèi)接于O，AO=2，則BAC的度數(shù)_60.分析:本題中是特殊數(shù)值,觀察圖形特點(diǎn),可構(gòu)造邊長比為1:1:的等腰三角形求解. 附2:殘缺模塊練習(xí)(2014年紹興)O與矩形ABCD的邊BC，AD分別相切和相交（E，F(xiàn)是交點(diǎn))，已知EF=CD=8，則O的半徑為5分析:題中線段EF是圓O的弦，已知弦長求半徑，必然要考慮