常微分方程數(shù)值解

第七章常微分方程 實(shí)際中 很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型都是微分方程 我們可以研究它們的一些性質(zhì) 但是 只有極少數(shù)特殊的方程有解析解 對(duì)于絕大部分的微分方程是沒(méi)有解析解的 常微分方程作為微分方程的基本類(lèi)型之一 在自然界與工程界有很廣泛的應(yīng)用 很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述都可以歸結(jié)為常微分方程的定解問(wèn)題 很多偏微分方程問(wèn)題 也可以化為常微分方程問(wèn)題來(lái)近似求解 本章討論常微分方程的數(shù)值解法 對(duì)于一個(gè)常微分方程 通常會(huì)有無(wú)窮個(gè)解 如 因此 我們要加入一個(gè)限定條件 通常會(huì)在端點(diǎn)出給出 如下面的初值問(wèn)題 為了使解存在唯一 一般 要加限制條件在f上 要求f對(duì)y滿(mǎn)足Lipschitz條件 常微分方程的解是一個(gè)函數(shù) 但是 計(jì)算機(jī)沒(méi)有辦法對(duì)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算 因此 常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似 而是求解函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)的近似值 例 我們對(duì)區(qū)間做等距分割 設(shè)解函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的近似為 由數(shù)值微分公式 我們有 則 向前差商公式 可以看到 給出初值 就可以用上式求出所有的 基本步驟如下 解差分方程 求出格點(diǎn)函數(shù) 數(shù)值方法 主要研究步驟 即如何建立差分方程 并研究差分方程的性質(zhì) 這種方法 稱(chēng)為數(shù)值離散方法 求的是在一系列離散點(diǎn)列上 求未知函數(shù)y在這些點(diǎn)上的值的近似 我們的目的 就是求這個(gè)格點(diǎn)函數(shù) 為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解 是否有實(shí)用價(jià)值 需要知道如下幾個(gè)結(jié)論 步長(zhǎng)充分小時(shí) 所得到的數(shù)值解能否逼近問(wèn)題得真解 即收斂性問(wèn)題 誤差估計(jì) 產(chǎn)生得舍入誤差 在以后得各步計(jì)算中 是否會(huì)無(wú)限制擴(kuò)大 穩(wěn)定性問(wèn)題 7 1Euler公式 做等距分割 利用數(shù)值微分代替導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 建立差分方程 1 向前差商公式 所以 可以構(gòu)造差分方程 稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差 顯然 這個(gè)誤差在逐步計(jì)算過(guò)程中會(huì)傳播 積累 因此還要估計(jì)這種積累 記為 2 收斂性 考察局部誤差的傳播和積累 稱(chēng)為整體截?cái)嗾`差 是1階方法 3 穩(wěn)定性 誤差在以后各步的計(jì)算中不會(huì)無(wú)限制擴(kuò)大 是格式對(duì)舍入誤差的抑止作用 我們考慮一種簡(jiǎn)單情況 即僅初值有誤差 而其他計(jì)算步驟無(wú)誤差 設(shè) 是初值有誤差后的計(jì)算值 則 所以 我們有 可以看出 向前差商公式關(guān)于初值是穩(wěn)定的 當(dāng)初始誤差充分小 以后各步的誤差也充分小 4 向后差商公式 是隱格式 要迭代求解 可以由向前差商公式求出 5 中心差商公式 是多步 2階格式 該格式不穩(wěn)定 6 梯形法 基于數(shù)值積分的公式 對(duì)微分方程 做積分 則 類(lèi)似 可以算出其誤差估計(jì)式 2階的方法 所以 有格式為 是個(gè)隱式的方法 要用迭代法求解 局部截?cái)嗾`差 7 2Runge Kutta法 由Taylor展開(kāi) 記為 所以 可以構(gòu)造格式 這種格式使用到了各階偏導(dǎo)數(shù) 使用不便 從另一個(gè)角度看 取 x y 及其附近的點(diǎn)做線(xiàn)性組合 表示F 問(wèn)題就好辦了 當(dāng)然 要求此時(shí)的展開(kāi)精度相同 這種方法稱(chēng)為Runge Kutta法 在 x y 處展開(kāi) 比較 以2階為例 設(shè) 有 1 改進(jìn)的Euler公式 2 Heun公式 一般的Runge Kutta法構(gòu)造 常見(jiàn)的為3階 4階公式 7 3線(xiàn)性多步法 用若干節(jié)點(diǎn)處的y及y 值的線(xiàn)性組合來(lái)近似y xn 1 其通式可寫(xiě)為 當(dāng) 1 0時(shí) 為隱式公式 1 0則為顯式公式 基于數(shù)值積分的構(gòu)造法 若積分 用節(jié)點(diǎn) 作為積分點(diǎn) 則有 積分系數(shù) 這是顯格式 q 1階r 1步格式 r max p q 為積分節(jié)點(diǎn) 可以構(gòu)造r 1步q 1階隱格式 局部截?cái)嗾`差 同樣 若以 例 建立p 1 q 2的顯格式 p 1 q 2 顯格式 積分區(qū)間為 積分節(jié)點(diǎn)為 所以 例 建立p 2 q 2的隱格式 p 2 q 2 隱格式 積分區(qū)間為 積分節(jié)點(diǎn)為 所以 它的截?cái)嗾`差較顯格式小 通常也具有更好的穩(wěn)定性 Adams公式 p 0時(shí)候的多步法 參見(jiàn)書(shū) 7 4方程組和高階方程的數(shù)值解法 寫(xiě)成向量的形式 各種方法都可以直接運(yùn)用過(guò)來(lái) Euler公式 以?xún)蓚€(gè)方程的方程組為例 Runge Kutta公式 1 2 確定方法 然后求解 0 202760 0881157 0 2130070 0934037 0 2237630 0988499 0 2350520 104437 0 2469020 110146 4階Runge Kutta法 h 1 高階方程 則有 令 例 考察初值問(wèn)題在區(qū)間 0 0 5 上的解 分別用歐拉顯 隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解 1 0000 2 00004 0000 8 00001 6000 101 3 2000 101 1 00002 5000 10 16 2500 10 21 5625 10 23 9063 10 39 7656 10 4 1 00002 50006 25001 5626 1013 9063 1019 7656 101 1 00004 9787 10 22 4788 10 31 2341 10 46 1442 10 63 0590 10 7 Whatiswrong 7 5差分方程的絕對(duì)穩(wěn)定性 對(duì)于一般的差分方程 由初始誤差產(chǎn)生了差分解的誤差 實(shí)際上是同一差分方程 取不同初值所得到的2組差分解之間的差 這個(gè)差不僅于差分方程本身有關(guān) 而且與微分方程本身有關(guān) 如果微分方程本身是不穩(wěn)定 那就沒(méi)理由要求這2組解充分接近 因此 差分方程的穩(wěn)定性概念是建立在微分方程穩(wěn)定的基礎(chǔ)上的 把這個(gè)典型微分方程規(guī)定為 仍然考慮最簡(jiǎn)單的模型 即只有初值產(chǎn)生誤差 看看這個(gè)誤差的傳播 差分方程運(yùn)用到如上的微分方程后 可以得到 對(duì)于