南通大學(xué)量子力學(xué)期末考試試題與答案

2012級(jí)量子力學(xué)期末考試試題和答案A卷一、簡(jiǎn)答與證明：（共25分）1、什么是德布羅意波？并寫(xiě)出德布羅意波的表達(dá)式。 （4分）2、什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質(zhì)是什么？（6分）3、全同費(fèi)米子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫(xiě)出兩個(gè)費(fèi)米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、證明是厄密算符 （5分）5、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫(xiě)出坐標(biāo)和動(dòng)量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。（6分）二、（15分）已知厄密算符，滿(mǎn)足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）設(shè)氫原子在時(shí)處于狀態(tài)，求1、時(shí)氫原子的、和的取值幾率和平均值；2、時(shí)體系的波函數(shù)，并給出此時(shí)體系的、和的取值幾率和平均值。四、（15分）考慮一個(gè)三維狀態(tài)空間的問(wèn)題，在取定的一組正交基下哈密頓算符由下面的矩陣給出 這里，是一個(gè)常數(shù)，用微擾公式求能量至二級(jí)修正值，并與精確解相比較。 五、（10分）令，分別求和作用于的本征態(tài)和的結(jié)果，并根據(jù)所得的結(jié)果說(shuō)明和的重要性是什么？一、1、描寫(xiě)自由粒子的平面波稱(chēng)為德布羅意波；其表達(dá)式：2、定態(tài)：定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)。性質(zhì)：定態(tài)之下不顯含時(shí)間的力學(xué)量的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變。3、全同費(fèi)米子的波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)。兩個(gè)費(fèi)米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：。4、=，因?yàn)槭嵌蛎芩惴允嵌蛎芩惴?、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個(gè)關(guān)系式稱(chēng)為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。坐標(biāo)和動(dòng)量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、解1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，其中為任意實(shí)常數(shù)，得在A表象中的矩陣表示式為：2、類(lèi)似地，可求出在B表象中算符的矩陣表示為：在B表象中算符的本征方程為：，即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對(duì)有：，對(duì)有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、類(lèi)似地，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解： 已知?dú)湓拥谋菊鹘鉃椋海瑢⑾驓湓拥谋菊鲬B(tài)展開(kāi)，1、=，不為零的展開(kāi)系數(shù)只有三個(gè)，即，顯然，題中所給的狀態(tài)并未歸一化，容易求出歸一化常數(shù)為：，于是歸一化的展開(kāi)系數(shù)為：， （1）能量的取值幾率，平均值為：（2）取值幾率只有：，平均值（3）的取值幾率為： ，平均值2、時(shí)體系的波函數(shù)為：=由于、和皆為守恒量，所以它們的取值幾率和平均值均不隨時(shí)間改變，與時(shí)的結(jié)果是一樣的。四、解：（1）的本征值是方程的根結(jié)果：，這是的精確解。（2）根據(jù)題意，體系能級(jí)的二級(jí)修正可寫(xiě)為：由題設(shè)可知：能量的一級(jí)修正為：，對(duì)于二級(jí)修正，有：所以，將展開(kāi)：， （3）對(duì)比可知，根據(jù)微擾公式求得的能量二級(jí)修正值，與精確求解的結(jié)果是吻合的。五、解：，所以和分別作用于的本征態(tài)和的結(jié)果是，結(jié)果表明：稱(chēng)為自旋升算符是合理的，因?yàn)樗鼘⒎较虻淖孕龔脑黾拥?。同樣，稱(chēng)為自旋降算符，因?yàn)樗鼘⒎较虻淖孕龔慕档?。和容許我們從的一個(gè)本征態(tài)跳躍到另一個(gè)本征態(tài)，它們?cè)谧孕挠?jì)算中是非常有用的。B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)？（4分） 2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)和偶宇稱(chēng)態(tài)？（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫(xiě)出兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱(chēng)算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。（6分） 5、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫(xiě)出時(shí)間和能量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，滿(mǎn)足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài)，其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值。2、時(shí)體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值四、（15分）當(dāng)為一小量時(shí)，利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項(xiàng)，本征矢至的一次項(xiàng)。五、（10分）一體系由三個(gè)全同的玻色子組成, 玻色子之間無(wú)相互作用. 玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài). 問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)? 它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡(jiǎn)并態(tài)是指一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新函數(shù)與原來(lái)的波函數(shù)相同，則稱(chēng)該波函數(shù)具有偶宇稱(chēng)。3、全同玻色子的波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱(chēng)算符和坐標(biāo)的對(duì)易關(guān)系是：，將其代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值，由知，波函數(shù)滿(mǎn)足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個(gè)關(guān)系式稱(chēng)為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。時(shí)間和能量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（為任意實(shí)常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對(duì)有：，對(duì)有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為：， 當(dāng)時(shí)有：，于是時(shí)的波函數(shù)可寫(xiě)成：，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為：，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、 時(shí)體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變，故時(shí)體系能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同。四、解：將矩陣改寫(xiě)成：能量的零級(jí)近似為：，能量的一級(jí)修正為：，能量的二級(jí)修正為：， ，所以體系近似到二級(jí)的能量為：，先求出屬于