提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種教學(xué)模式探索.doc

提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種教學(xué)模式探索石獅第一中學(xué) 張?jiān)旅摹菊?要】本文針對學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行探索，總結(jié)出一種有效的教學(xué)模式，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)能力；教學(xué)模式；探索筆者在連續(xù)多年的高三數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，針對學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行探索總結(jié)出一種行之有效的教學(xué)模式，其指導(dǎo)思想是：以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力為目標(biāo)去研究解決數(shù)學(xué)問題；其教學(xué)策略是：通過引導(dǎo)學(xué)生對一個(gè)數(shù)學(xué)問題的系統(tǒng)性研究學(xué)習(xí)達(dá)到解決一類問題的目的。使之在高考中取得優(yōu)異成績。如何使學(xué)生通過一個(gè)數(shù)學(xué)問題的系統(tǒng)性研究學(xué)習(xí)達(dá)到解決一類問題的目的、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力呢？下面以“含參數(shù)的不等式恒成立或有解問題”為例進(jìn)行說明，供一線教師參考：例：設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2x2+x-4，g(x)=ax2+x-8,(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)當(dāng)x0，+)時(shí)，不等式f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在解答第(2)問的過程中，許多學(xué)生出現(xiàn)以下錯(cuò)誤解法：依題，x0，+)時(shí)，fmin(x)gmax(x)，往下分別求x0，+)時(shí)，fmin(x)和gmax(x)，此處略去不言。學(xué)生產(chǎn)生這種錯(cuò)解的根源是什么？如何為學(xué)生糾錯(cuò)？如何尋求正確的轉(zhuǎn)化?如何挖掘同類問題的不同形式并形成通法？為解決以上問題，筆者在教學(xué)實(shí)踐中設(shè)計(jì)以下三個(gè)行之有效的教學(xué)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目標(biāo)。一、層層設(shè)問，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因，探求正解設(shè)問1：首先給出一組圖(見圖1)，問：(A)(B)兩個(gè)圖哪個(gè)能夠反映題意？兩個(gè)都可以，但圖(B)顯然不滿足fmin(x)gmax(x)。設(shè)問2：這說明了什么？原題條件“x0，+)時(shí)，不等式f(x)g(x)恒成立”轉(zhuǎn)化為“fmin(x)gmax(x)”，是錯(cuò)誤的。設(shè)問3：條件被強(qiáng)化還是弱化？被強(qiáng)化，這樣做不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而改變了原題的條件，所以解得的答案是錯(cuò)誤的。設(shè)問4：為什么會產(chǎn)生這樣的錯(cuò)解？頭腦中沒有圖象，不能“由數(shù)畫形，以形助數(shù)”。設(shè)問5：如何尋求正確的轉(zhuǎn)化？“x0，+)時(shí)，不等式f(x)g(x)恒成立”中的f(x)g(x)左右的x一致，從圖象上看，只要在同一個(gè)豎直方向f(x)圖象上的點(diǎn)比g(x)圖象上的點(diǎn)高，因此只要圖(B)的狀態(tài)即可.設(shè)問6：如何用數(shù)的形式來刻劃圖(B)的狀態(tài)？只要f(x)-g(x)0在0，+)上恒成立。設(shè)問7：如何體現(xiàn)“f(x)-g(x)0在0，+)上恒成立”？思路1：構(gòu)造函數(shù)，求新函數(shù)的最小值。令，h(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4，x0，+)，只要hmin(x)0。h(x)=3x3+2(2-a)x，令h(x)=0x=0或x=1當(dāng)a2時(shí)，h(x)0在0，+)上恒成立， h(x)在0，+)上遞增，hmin(x)=h(0)=40，即f(x)g(x)恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由或,由在上遞減，在上遞增，又在恒成立等價(jià)于，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.思路2：分離參數(shù)法在恒成立等價(jià)于在恒成立，（往下求函數(shù)在上的最小值可用三個(gè)正數(shù)的均值不等式或?qū)?shù)法）.二、以一歸類，形成通法，構(gòu)建系統(tǒng)分析了上面例題的錯(cuò)解和正解之后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生站在高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)的高度反思：這個(gè)問題是屬于什么類型問題？這類問題還有哪些表現(xiàn)形式？每一種形式如何正確轉(zhuǎn)化？使學(xué)生通過一題的系統(tǒng)性研究學(xué)習(xí)達(dá)到解決一類問題的目的，使高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)具有系統(tǒng)性，提高復(fù)習(xí)效率。教學(xué)時(shí)與學(xué)生共同歸納出“含參數(shù)的不等式恒成立或有解問題”的各種形式、幾何直觀、轉(zhuǎn)化途徑及解決通法。形式(一)1、已知f(x)c (c為常數(shù))在給定區(qū)間D上恒成立，則xD時(shí)，fmin(x)c(見圖2)；2、已知f(x)c (c為常數(shù))在給定區(qū)間D上恒成立，則xD時(shí)，fmax(x)c(見圖3)。形式(二)1、已知f(x)c (c為常數(shù))在給定區(qū)間D上有解(或解集不空)，則xD時(shí)，fmax(x)c(見圖4)；2、已知f(x)c (c為常數(shù))在給定區(qū)間D上有解(或解集不空)，則xD時(shí)，fmin(x)c(見圖5)。形式(三)1、“已知f(x)g(x)在給定區(qū)間D上恒成立”等價(jià)于“f(x)-g(x)0在給定區(qū)間D上恒成立”轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，(f(x)-g(x)min0”(見圖6)(錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)化是：fmin(x)gmax(x)；2、“已知f(x)g(x)在給定區(qū)間D上恒成立”，轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，(f(x)-g(x)max0”(見圖7)(錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)化是：fmax(x)gmin(x)。形式(四)1、“已知f(x)g(x)在給定區(qū)間D上有解”等價(jià)于“f(x)-g(x)0在給定區(qū)間D上有解”轉(zhuǎn)化為形式(二)“時(shí)，(f(x)-g(x)max0”；2、“已知f(x)g(x)在給定區(qū)間D上有解”等價(jià)于“f(x)-g(x)0在給定區(qū)間D上有解”轉(zhuǎn)化為形式(二)“xD時(shí)，(f(x)-g(x)min0”。歸納形式(一)至形式(四)的解題通法：方法1：直接求f(x)的最值(如形式(一)(二)或構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，求h(x)的最值(如形式(三)(四)；方法2：分離參數(shù)法；方法3：若是二次不等式恒成立或有解問題，可利用二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合。形式(五)1、已知“任意x1，x2D，使f(x1)g(x2)恒成立”轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，fmin(x)gmax(x)”(見圖8)；2、已知“任意x1，x2D，使f(x1)g(x2)恒成立”轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，fmax(x)gmin(x)”(見圖9)。形式(六)1、已知“存在x1，x2D，使f(x1)g(x2)成立”轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，fmax(x)gmin(x)”(見圖10)；2、已知“存在x1，x2D，使f(x1)g(x2)成立”轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，fmin(x)gmax(x)”(見圖11)。形式(七)已知“任意x1，x2D，使|f(x1)-f(x2)|c恒成立”轉(zhuǎn)化為“xD時(shí)，fmax(x)fmin(x)c”。歸納形式(五)至形式(七)的解題通法：直接求f(x)或g(x)的最值三、典例精析，適量訓(xùn)練，提升能力精選例題，對學(xué)生進(jìn)行適量訓(xùn)練，使學(xué)生鞏固和熟練掌握上述各種形式、轉(zhuǎn)化途徑及解題通法，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的不可缺少的重要環(huán)節(jié)。例1：(07福建文20)設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR，t0)，(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)-2t+m對t(0，2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：(1)略；(2)由(1)知h(t)=-t3+t-1(t0)，構(gòu)造新函數(shù)，令g(t)=h(t)+(-2t+m)=-t3+3t-1-m，t(0，2)，已知h(t)-2t+m對t(0，2)恒成立等價(jià)于gmax(t)0 t(0，2)，往下利用導(dǎo)數(shù)知識討論函數(shù)g(t)的單調(diào)性，求g(t)的最大值。評注：此題是屬于形式(一)的三次不等式恒成立問題，中檔難度，在2007年全國高考數(shù)學(xué)試題中，同類題的還有全國文科第20題。例2：(04天津文21)已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值-2，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)證明對任意x1，x2(-1，1)，都有|f(x1)-f(x2)|4。分析：(1)略；(2)由(1)知，f(x)=x3-3x，要證：對任意x1，x2(-1，1)，都有|f(x1)-f(x2)|4，只要證：x(-1，1)時(shí)，fmax(x)-fmin(x)4，往下利用導(dǎo)數(shù)知識討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，求f(x)的最大值和最小值。評注：此題是屬于形式(七)含絕對值的三次不等式恒成立問題，中檔難度。解題關(guān)鍵是掌握一個(gè)重要關(guān)系式：|f(x1)-f(x2)|fmax(x)-fmin(x)，去絕對值號，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最大值和最小值還要注意一個(gè)細(xì)節(jié)問題：|f(x1)-f(x2)|fmax(x)-fmin(x)中的等號何時(shí)取到？例3：已知函數(shù)f(x)=2x3+2x2+x-4，g(x)=-x2+x-a，若對任意的x1，x2-1，+都有f(x1)g(x2)，求實(shí)數(shù)a的范圍分析：已知對任意的x1，x2(-1，+)都有f(x1)g(x2)等價(jià)于x-1，+)時(shí)fmin(x)gmax(x)，往下利用導(dǎo)數(shù)知識討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，求f(x)的最小值，利用二次函數(shù)的圖象，求g(x)的最大值。評注：此題與本文開頭例(2)形似而質(zhì)不同，難度較大，主要在于學(xué)生對于已知“對任意的x1，x2-1，+都有f(x1)g(x2)”，理解和轉(zhuǎn)化有困難，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合。例4：設(shè)為實(shí)常數(shù)，函數(shù)，（1）若函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若存在，使，求的取值范圍分析：（1）略 （2），已知存在，使，即時(shí)，有解，有兩種轉(zhuǎn)化途徑思路1：等價(jià)于時(shí)；思路2：等價(jià)于（往下過程與本文開頭例的正解類似）.評注：相對于恒成立問題，存在性問題難度更大，主要還是學(xué)生理解和轉(zhuǎn)化有困難。思路1的另一