（新課改地區(qū)）2021版高考數學第四章三角函數、解三角形4.3三角恒等變換練習新人教B版.docx

4.3 三角恒等變換核心考點精準研析 考點一三角函數式的化簡求值 1.(2019全國卷)已知 ,2sin 2=cos 2+1,則sin =()A. B. C. D. 2.計算: =_.3.化簡: =_.【解析】1.選B.由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,結合sin2+cos2=1,解得sin = .2. = = = = =2 .答案:2 3.原式= = = =1.答案:1 1.三角函數式的化簡要遵循“三看”原則2.三角函數式化簡的方法弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數式時,一般需要升次.【一題多解】倍角降次解T3,原式= = = = =1.三角形法解T1,因為 ,所以sin 0,cos 0,由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,tan = ,畫直角三角形如圖,不妨設角對邊為1,鄰邊為2,則斜邊為 ,sin = . 考點二條件求值問題 命題精解讀考什么:(1)給角求值,給值求值,給值求角等.(2)考查邏輯推理,數學運算等核心素養(yǎng),以及轉化與化歸的思想.怎么考:誘導公式與三角函數性質結合考查求三角函數值,角的值等.學霸好方法條件求值的四個必備結論(1)降冪公式:cos2= ,sin2= .(2)升冪公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式變形:tan tan =tan()(1tan tan ).(4)輔助角公式:asin x+bcos x= sin(x+) 其中sin = ,cos = 給角求值【典例】(2019沈陽四校聯考)化簡: - =_.【解析】 - = = = =4.答案:4 給角求值如何求解?提示:(1)觀察角,分析角之間的差異,巧用誘導公式或拆分.(2)觀察名,盡可能使函數統(tǒng)一名稱.(3)觀察結構,利用公式,整體化簡. 給值求值【典例】1.(2018全國卷)已知sin +cos =1,cos +sin =0,則sin(+)=_.2.(2018全國卷)已知tan = ,則tan =_.【解析】1.由sin +cos =1與cos +sin =0分別平方相加得sin2+2sin cos +cos2+cos2+2cos sin +sin2 =1,即2+2sin cos +2cos sin =1,所以sin(+)=- .答案:- 2.因為tan =tan = ,所以 = ,解得tan = .答案: 給值求值問題如何求解?提示:(1)化簡所求式子.(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯系(從三角函數名及角入手).(3)將已知條件代入所求式子,化簡求值. 給值求角【典例】(2020長春模擬)已知sin = ,sin(-)=- ,均為銳角,則角值是_.【解析】因為,均為銳角,所以- - .又sin(-)=- ,所以cos(-)= .又sin = ,所以cos = ,sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= - = ,所以= .答案: 如何選取合適的三角函數求角?提示:(1)已知正切函數值,選正切函數.(2)已知正、余弦函數值,選正弦或余弦函數.若角的范圍是 ,選正、余弦函數皆可;若角的范圍是(0,),選余弦函數較好;若角的范圍為 ,選正弦函數較好.(3)由角的范圍,結合所求三角函數值寫出要求的角. 1.化簡: =_.【解析】原式= = = .答案: 2.(2019福州模擬)已知A,B均為鈍角,sin2 +cos = ,且sin B= ,則A+B=()A. B. C. D. 【解析】選C.因為sin2 +cos = ,所以 + cos A- sin A= ,即 - sin A= ,解得sin A= .因為A為鈍角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,且B為鈍角,得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= - = .又A,B都為鈍角,即A,B ,所以A+B(,2),所以A+B= .3.(2020佛山模擬)已知cos = ,(-,0),則cos =()A.- B.- C. D. 【解析】選A.因為cos = ,(-,0),所以sin =- =- ,所以cos =cos cos +sin sin = + =- . 1.(2019貴陽模擬)sin415-cos415=()A. B.- C. D.- 【解析】選D.sin415-cos415=(sin215-cos215)(sin215+cos215)=sin215-cos215=-cos 30=- .2.定義運算 =ad-bc.若cos = , = ,0 ,則=_.【解析】由已知得sin cos -cos sin =sin(-)= .又0 ,所以0- ,所以cos(-)= = ,而cos = ,所以sin = ,于是sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= - = ,所以= .答案: 考點三三角恒等變換的綜合應用 【典例】1.如圖,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B為圓心,BA為半徑在矩形內部作弧,點P是弧上一動點,PMOA,垂足為M,PNOC,垂足為N,求四邊形OMPN的周長的最小值.【解析】連接BP,設CBP=,其中0 ,則PM=1-sin ,PN=2-cos ,則周長C=6-2(sin +cos )=6-2 sin ,因為0 ,所以 + 0)求周期;根據自變量的范圍確定x+的范圍,根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時,根據所給關系式的特點,也可換元轉化為求二次函數的最值;根據正、余弦函數的單調區(qū)間列不等式求函數y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的單調區(qū)間. 1.如圖是半徑為1的半圓,且四邊形PQRS是半圓的內接矩形,設SOP=,求為何值時矩形的面積最大,并求出最大值.【解析】因為SOP=,所以PS=sin ,SR=2cos ,故S矩形PQRS=SRPS=2cos sin =sin 2,故當= 時,矩形的面積有最大值1.2.(2020合肥模擬)已知函數f(x)=sin2x-sin2 ,xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知得f(x)= - = - cos 2x= sin 2x-