力學競賽知識點(理論力學)ppt課件

.,1,理論力學,力學競賽知識點介紹,.,2,主要內(nèi)容靜力學運動學動力學專題,.,3,靜力學部分力、力矩、力系力偶、力偶矩、力偶系主矢、主矩、力系簡化約束與約束力力系平衡考慮摩擦的平衡問題,.,4,考慮摩擦的平衡問題,.,5,定義：兩個相接觸物體，當其接觸處產(chǎn)生相對滑動或相對滑動趨勢時，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對滑動的力叫滑動摩擦力。,滑動摩擦,1.靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力,如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當水平方向無拉力時，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當拉力F由零逐漸增加但又不很大時，物體仍能維持平衡。,.,6,由此可見，支承面對物體的約束力除了法向約束力FN外還有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向約束力Fs，此力即靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不能隨F的增大而無限地增大。而有一個最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，此時物體處于平衡的臨界狀態(tài)。當主動力F大于Fmax時，物體將失去平衡而滑動。即,.,7,實驗表明,上式稱為庫侖摩擦定律，是計算最大靜摩擦力的近似公式。式中fs稱為靜摩擦因數(shù)，它是一個無量綱的量。一般由實驗來確定。,2.動滑動摩擦力,當接觸處出現(xiàn)相對滑動時，接觸物體之間仍有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以Fd表示，大小可用下式計算。,式中fd是動摩擦因數(shù)，通常情況下，,.,8,摩擦角和自鎖現(xiàn)象,1.摩擦角,當有摩擦時，支承面對物體的約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個力的合力稱為全約束力FR。,它的作用線與接觸處的公法線成一偏角j,如圖所示，當靜摩擦力達最大時，j也達到最大值jf,稱jf為摩擦角。,.,9,2.自鎖現(xiàn)象,由于全約束力的作用線與接觸處公法線的夾角j不能大于摩擦角，即變化范圍為0jjf，因此可得：,如果作用于物體的全部主動力的合力的作用線與公法線的夾角qjf，則無論這個力多么小，物體必不能保持平衡。,.,10,摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時斜面的傾角q,即,下面的螺旋千斤頂就利用了自鎖的概念。,.,11,考慮摩擦時物體的平衡問題,考慮有摩擦的平衡問題時，其解法與普通靜力學問題基本一樣。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時要將摩擦力考慮在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補充方程0FsfsFN，因此有摩擦的平衡問題的解通常是一個范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（Fs=fsFN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。應該強調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷，只有摩擦力是待求未知數(shù)時，可以假設其方向。,求解時，根據(jù)具體的問題采用解析法或幾何法求解，下面舉例說明,.,12,取物塊A為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程。,解:,例題5-1,聯(lián)立求解得,最大靜摩擦力,所以作用在物體上的摩擦力為,因為,小物體A重P=10N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.3。今在小物體A上施加F=4N的力，q=30，試求作用在物體上的摩擦力。,.,13,(a),構(gòu)件A及B用楔塊C聯(lián)結(jié)，如圖(a)所示，楔塊自重不計，。已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦系數(shù)fs=0.1,求能自鎖的傾斜角q。,解：(1)解析法研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡,例題5-2,再考慮補充方程,聯(lián)立解之得,(b),.,14,(c),(2)幾何法,仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點處的法線的夾角均等于摩擦角jf如圖(c)所示。,由幾何關(guān)系不難得,以上是考慮臨界狀態(tài)所得結(jié)果，稍作分析即可得,例題5-2,.,15,例題5-3,平衡方程為,取支架為研究對象,受力分析如圖。,（1）解析法,解:,一活動支架套在固定圓柱的外表面，且h=20cm。假設支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.25。問作用于支架的主動力F的作用線距圓柱中心線至少多遠才能使支架不致下滑（支架自重不計）。,.,16,聯(lián)立求解得,補充方程,例題5-3,解得,（2）幾何法,由以上二個例子可以看出，當有摩擦處的約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡單，用幾何法往往較方便。,.,17,寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其幾何中心，柜與地面間的靜摩擦因數(shù)是fs，在柜的側(cè)面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運動時所需推力F的最小值。,例題5-4,.,18,1.假設不翻倒但即將滑動，考慮臨界平衡。,解:,取矩形柜為研究對象,受力分析如圖。,聯(lián)立求解得柜子開始滑動所需的最小推力,補充方程,列平衡方程,例題5-4,.,19,2.假設矩形柜不滑動但將繞B翻倒。,柜繞B翻倒條件：FNA=0,使柜翻倒的最小推力為,列平衡方程,解得,例題5-4,綜上所述使柜發(fā)生運動所需的最小推力為,.,20,長為l的梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計。今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q。,例題5-5,.,21,以梯子AB為研究對象，人的位置用距離a表示，梯子的受力如圖。,解：,使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：,同時滿足物理條件,例題5-5,聯(lián)立解之得,因0al，當a=l時，上式左邊達到最大值。,.,22,重為P=100N的勻質(zhì)滾輪夾在無重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB，其大小為FB=50N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的摩擦因數(shù)為fs1=0.4。輪半徑為r，桿長為l，當q=60時，AC=CB=0.5l，如圖所示。如要維持系統(tǒng)平衡，（1）若D處靜摩擦因數(shù)fs2=0.3，求此時作用于輪心O處水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此時F的最小值又為多少？,例題5-6,.,23,解：,此題在C，D兩處都有摩擦，兩個摩擦力之中只要有一個達到最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。,假設C處的摩擦先達到最大值，輪有水平向右滾動的趨勢。,例題5-6,1.以桿AB為研究對象，受力分析如圖。,解得,列平衡方程,補充方程,.,24,例題5-6,2.以輪為研究對象，列平衡方程。,當fs2=0.3時，D處最大摩擦力為,.,25,解方程得,最小水平推力為,受力圖不變，補充方程應改為,此時C處最大摩擦力為,因此當fs2=0.15時，維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力改為,說明前面假定不成立，D處應先達到臨界狀態(tài)。,3.當fs2=0.15時,例題5-6,.,26,由實踐可知，使?jié)L子滾動比使它滑動省力，如果仍用下圖的力學模型來分析就存在問題。即無論水平力F多么小，此物體均不能平衡，因?qū)cA的矩的平衡方程不滿足，即,5-4滾動摩阻的概念,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實際接觸面并不是剛體，它們在力的作用下都會發(fā)生一些變形，有一個接觸面，如圖所示。,這是與實際情況不符的，說明此力學模型有缺陷，需要修正。,.,27,與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf隨主動力F的增大而增大；但有一個最大值Mmax,即,或,且最大滑動摩阻力偶矩,上式即是滾動摩阻定律，d稱為滾動摩阻系數(shù)，具有長度的量綱，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無關(guān)。,.,28,滾阻系數(shù)的物理意義如下,由力的平移定理,一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。,.,29,取輪子為研究對象,受力分析如圖。由平衡方程,解:,例題5-7,勻質(zhì)輪子的重量P=3kN，半徑r=0.3m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成q=30的斜面勻速向上作純滾動。已知輪子與斜面的滾阻系數(shù)=0.05cm，試求力FH的大小。,聯(lián)立求解,補充方程,.,30,如圖所示，總重為P的拖車在牽引力F作用下要爬上傾角為的斜坡。設車輪半徑為r，輪胎與路面的滾動摩阻系數(shù)為，其它尺寸如圖所示。求拖車所需的牽引力。,例題5-8,.,31,拖車的兩對輪子都是從動輪，因此滑動摩擦力的方向都朝后。設拖車處于開始向上滾動的臨界狀態(tài)，因此前后輪的滾動摩阻力偶的力偶矩M1,max和M2max都達到最大值。,解：,由平衡方程,首先取整個拖車為研究對象，受力分析如圖。,例題5-8,.,32,再取前輪為研究對象，受力分析如圖。,同樣由后輪得,輪子滾動臨界時的補充方程,解方程可得,列平衡方程,例題5-8,.,33,運動學部分矢量法、直角坐標法、自然坐標法（軌跡、速度、加速度）平動、定軸轉(zhuǎn)動（各點速度與加速度）點的復合運動（速度與加速度）剛體平面運動（瞬心、各點速度與加速度）,.,34,動力學部分質(zhì)點運動微分方程轉(zhuǎn)動慣量、慣量積、慣性主軸動量、動量矩、動能、沖量、功、勢能動力學普遍定理的綜合應用平面運動剛體動力學方程及其應用慣性力及慣性力系簡化、動靜法、靜平衡與動平衡的概念,.,35,專題部分機械振動（單自由度振動的周期、頻率、振幅、臨界轉(zhuǎn)速和隔振的概念）第二類拉格朗日方程（廣義力的概念與計算，第二類拉格朗日方程的應用）,.,36,專題部分質(zhì)點系虛位移原理應用（虛位移、虛功、自由度、廣義坐標）碰撞問題（碰撞問題特征及其簡化條件，恢復因數(shù)、對心碰撞及定軸轉(zhuǎn)動剛體和平面運動剛體的碰撞問題）,.,37,機械振動基礎(chǔ),.,38,振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。例如：鐘擺的往復擺動,汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。,利：振動給料機弊：磨損，減少壽命，影響強度振動篩引起噪聲，影響勞動條件振動沉拔樁機等消耗能量，降低精度等。,3.研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動為人類服務。,2.振動的利弊：,1.所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復運動。,.,39,本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。,.,40,單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動,一、自由振動的概念：,.,41,.,42,運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動。,質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：單擺：復擺：,.,43,二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解,對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標（從平衡位置開始量?。?，則自由振動的運動微分方程必將是：,ke,me是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令,則自由振動的微分方程的標準形式：,解為：,.,44,設t=0時，則可求得：,或：,C1，C2由初始條件決定為,.,45,三、自由振動的特點：A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。nt+q相位，決定振體在某瞬時t的位置q初相位，決定振體運動的起始位置。T周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。f頻率，每秒鐘振動的次數(shù)，f=1/T。固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。反映振動系統(tǒng)的動力學特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。,.,46,無阻尼自由振動的特點是：,(2)振幅A和初相位q取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；,(1)振動規(guī)律為簡諧振動；,四、其它1.如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。,.,47,2.彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度,并聯(lián),串聯(lián),.,48,19-2求系統(tǒng)固有頻率的方法,由Tmax=Vmax,求出,.,49,無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。當振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。當振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。,如：,.,50,能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。,例2圖示系統(tǒng)。設輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為m1，重物質(zhì)量m2，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。,.,51,解1：以x為廣義坐標（靜平衡位置為坐標原點）,則任意位置x時：,靜平衡時：,.,52,應用動量矩定理：,由，有,振動微分方程：固有頻率：,A,.,53,解2：用機械能守恒定律以x為廣義坐標（取靜平衡位置為原點）,以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2x,因平衡時,.,54,由T+V=有：,對時間t求導，再消去公因子，得,.,55,如圖所示兩個相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑皆為R，半徑為r的鼓輪上繞有細繩，輪連一鉛直彈簧，輪掛一重物。塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆為J，彈簧剛度為k。重物質(zhì)量為m，求此系統(tǒng)的固有頻率。,例3,.,56,.,57,解：,系統(tǒng)平衡處彈簧雖有拉長，但如前所述，從平衡位置起計算彈性變形，可以不再計入重力。由幾何關(guān)系，當重物位于x處，彈簧由平衡位置計算的變形量也是x，則系統(tǒng)的勢能為,以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取x軸如圖。重物于任意坐標x處，速度為x的導數(shù)，兩塔輪的角速度皆為。系統(tǒng)動能為,.,58,不計摩擦，系統(tǒng)的機械能守恒，有,兩端對時間取一階導數(shù)，得,上式為自由振動微分方程，系統(tǒng)固有頻率為,.,59,如圖所示表示以質(zhì)量為m，半徑是r的圓柱體，在一半徑是R的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近做微小振動的固有頻率。,例4,.,60,解：,用能量法求解這個問題。,設在振動過程中，圓柱體中心與圓槽中心的連線OO1與鉛直線OA的夾角為。圓柱體中心O1的線速度為,由運動學知，當圓柱體做純滾動時，其角速度為,因此系統(tǒng)的動能為,.,61,整理后得,系統(tǒng)的勢能即重力勢能，圓柱在最低處平衡，取該處圓心位置C為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為,當圓柱體作微振動時，可認為,因此勢能可改寫成,.,62,設系統(tǒng)做自由振動時的變化規(guī)律為,則系統(tǒng)的最大動能,由機械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系統(tǒng)的固有頻率為,系統(tǒng)的最大勢能,.,63,例5鼓輪：質(zhì)量m1，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑r，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m2,不計輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。,解：取靜平衡位置O為坐標原點，取C偏離平衡位置x為廣義坐標。系統(tǒng)的最大動能為：,.,64,系統(tǒng)的最大勢能為：,系統(tǒng)的最大動能為：,.,65,設則有,根據(jù)Tmax=Vmax,解得,.,66,19-3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,一、阻尼的概念：阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。,投影式：,c粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。,.,67,二、有阻尼自由振動微分方程及其解：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：,有阻尼自由振動微分方程的標準形式。,.,68,其通解分三種情況討論：1、小阻尼情形,有阻尼自由振動的圓頻率,.,69,衰減振動的特點：(1)振動周期變大，頻率減小。,阻尼比,有阻尼自由振動：,當時，可以認為,.,70,(2)振幅按幾何級數(shù)衰減,對數(shù)減縮率,2、臨界阻尼情形臨界阻尼系數(shù),相鄰兩次振幅之比,.,71,可見，物體的運動隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。,代入初始條件,3、過阻尼（大阻尼）情形,.,72,19-6臨界轉(zhuǎn)速減振與隔振的概念,一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速引起轉(zhuǎn)子劇烈振動的特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設計中對高速軸應進行該項驗算。,單圓盤轉(zhuǎn)子：圓盤：質(zhì)量m,質(zhì)心C點；轉(zhuǎn)軸過盤的幾何中心A點，AC=e，盤和軸共同以勻角速度轉(zhuǎn)動。當n（n為圓盤轉(zhuǎn)軸所組成的系統(tǒng)橫向振動的固有頻率）時，OC=x+e(x為軸中點A的彎曲變形）。,.,73,（k為轉(zhuǎn)軸相當剛度系數(shù)）,臨界角速度：臨界轉(zhuǎn)速：,.,74,質(zhì)心C位于O、A之間OC=x-e,當轉(zhuǎn)速非常高時，圓盤質(zhì)心C與兩支點的連線相接近，圓盤接近于繞質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)，于是轉(zhuǎn)動平穩(wěn)。為確保安全，軸的工作轉(zhuǎn)速一定要避開它的臨界轉(zhuǎn)速。,.,75,二、減振與隔振的概念劇烈的振動不但影響機器本身的正常工作，還會影響周圍的儀器設備的正常工作。減小振動的危害的根本措施是合理設計，盡量減小振動，避免在共振區(qū)內(nèi)工作。許多引發(fā)振動的因素防不勝防，或難以避免，這時，可以采用減振或隔振的措施。,減振：在振體上安裝各種減振器，使振體的振動減弱。例如，利用各種阻尼減振器消耗能量達到減振目的。,.,76,隔振：將需要隔離的儀器、設備安裝在適當?shù)母粽衿鳎◤椥匝b置）上，使大部分振動被隔振器所吸收。,.,77,碰撞問題,.,78,在前面討論的問題中，物體在力的作用下，運動速度都是連續(xù)地、逐漸地改變的。本章研究另一種力學現(xiàn)象碰撞，兩個或兩個以上相對運動的物體在瞬間接觸、速度發(fā)生突然改變的力學現(xiàn)象稱為碰撞。物體發(fā)生碰撞時，會在非常短促的時間內(nèi)，運動速度突然發(fā)生有限的改變。碰撞是工程中常見而非常復雜的動力學問題，本章在一定的簡化條件下，討論兩個物體間的碰撞過程中的一些基本規(guī)律。,.,79,17-1碰撞的分類碰撞問題的簡化,碰撞：運動或靜止的物體在突然受到?jīng)_擊（包括突然受到約束或解除約束）時，其運動速度發(fā)生急劇的變化，這種現(xiàn)象稱為碰撞。,1.碰撞的分類,兩物體碰撞時，按其相處位置劃分，可分為對心碰撞、偏心碰撞與正碰撞、斜碰撞。,碰撞時兩物體間的相互作用力，稱為碰撞力（或稱瞬間力）。若碰撞力的作用線通過兩物體的質(zhì)心，稱為對心碰撞，否則稱為偏心碰撞。,.,80,.,81,兩物體碰撞時，按其接觸處有無摩擦，可分為光滑碰撞與非光滑碰撞。兩物體相碰撞時，按物體碰撞后的恢復程度（或能量有無損失），可分為完全彈性碰撞、彈性碰撞與塑性碰撞。,若碰撞時各自質(zhì)心的速度均沿著公法線，稱為正碰撞，否則稱為斜碰撞。按此分類還有對心正碰撞，偏心正碰撞。上圖中左圖所示即為對心正碰撞。,.,82,碰撞現(xiàn)象的特點是時間極短，一般為10-310-4s，速度改變?yōu)橛邢拗担铀俣茸兓薮?，碰撞力極大。,2.對碰撞問題的兩點簡化,設榔頭重10N，以v1=6m/s的速度撞擊鐵塊，碰撞時間t=1/1000s,碰撞后榔頭以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔頭打擊鐵塊的力的平均值。,以榔頭為研究對象，根據(jù)動量定理,投影形式為,碰撞力的變化如圖，平均打擊力為,是榔頭重的765倍。,.,83,可見，即使是很小的物體，當運動速度很高時，瞬時力可以達到驚人的程度。有關(guān)資料介紹，一只重17.8N的飛鳥與飛機相撞，如果飛機速度是800km/h，（對現(xiàn)代飛機來說，這只是中等速度），碰撞力可高達3.56105N，即為鳥重的2萬倍！這是航空上所謂“鳥禍”的原因之一。,害的一面：“鳥禍”、機械、儀器及其它物品由于碰撞損壞等。利的一面：利用碰撞進行工作，如鍛打金屬，用錘打樁等。研究碰撞現(xiàn)象，就是為了掌握其規(guī)律，以利用其有利的一面，而避免其危害。,.,84,2）由于碰撞過程非常短促，碰撞過程中，速度變化為有限值，物體在碰撞開始和碰撞結(jié)束的位置變化很小，因此在碰撞過程中，物體的位移忽略不計。,根據(jù)碰撞的上述特點，在研究一般碰撞問題時，通常做下面兩點簡化：,1）在碰撞過程中，由于碰撞力非常大，重力、彈性力等普通力遠遠不能夠與之相比，因此這些普通力的沖量忽略不計；,.,85,17-2用于碰撞過程的基本定理,由于碰撞力變化復雜，不宜直接用力或者運動微分方程來描述碰撞過程；又由于用力的功難以計算碰撞過程機械能的損失，因此也不宜用動能定理來描述碰撞過程中能量的變化。而對由于碰撞沖量的作用使物體運動速度發(fā)生的變化可以用動量定理和動量矩定理的積分形式來研究。,.,86,1、用于碰撞過程的動量定理沖量定理。設質(zhì)點的質(zhì)量為m，碰撞開始時的速度v，結(jié)束瞬時的速度v,則質(zhì)點的動量定理為,其中I為碰撞沖量，普通力沖量忽略不計。,設Ii(e)為外碰撞沖量、Ii(i)為內(nèi)碰撞沖量。對質(zhì)點系中第i個受碰撞的質(zhì)點，有,相加后，并考慮Ii(i)=0，得,.,87,上式即為用于碰撞過程的質(zhì)點系動量定理，它不計普通力的沖量，也稱沖量定理：質(zhì)點系在碰撞開始和結(jié)束時動量的變化，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量的主矢。,質(zhì)點系的動量也可用總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積計算。則,2、用于碰撞過程的動量矩定理沖量矩定理。,由用于碰撞過程的動量定理,對上式兩邊矢積矢徑ri得,上式也稱為碰撞時的質(zhì)心運動定理,.,88,將n個方程求和,即,上式中riIi(e)為沖量矩，其中不計普通力的沖量矩。該式是用于碰撞過程的動量矩定理，又稱沖量矩定理：質(zhì)點系在碰撞開始和結(jié)束時對點O的動量矩的變化，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量對同一點的主矩。,.,89,3、碰撞時的剛體平面運動方程,質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理與對于固定點的動量矩定理具有相同的形式，如此推證相似，可以得到用于碰撞過程的質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理,對平行于其對稱面的平面運動剛體，有,上式成為,再結(jié)合,以上稱為剛體平面運動的碰撞方程。,.,90,17-3質(zhì)點對固定面的碰撞恢復系數(shù),設一小球（可視為質(zhì)點）沿鉛直方向落到水平的固定平面上，如圖所示。,.,91,第一階段：開始接觸至變形達到最大。該階段中，小球動能減小,變形增大。設碰撞沖量為I1，則應用沖量定理在y軸投影式,第二階段：由彈性變形開始恢復到脫離接觸。該階段中，小球動能增大，變形（彈性）逐漸恢復。設碰撞沖量為I2，則：,該碰撞過程分為兩個階段：,.,92,由于碰撞過程有能量損失（發(fā)光、發(fā)熱、發(fā)聲等），一般v小于v，但牛頓發(fā)現(xiàn)，其比值對于材料確定的物體幾乎不變。即,常數(shù)k稱為恢復因數(shù)，且恒取正值。,.,93,恢復因數(shù)k一般需實驗確定，用待測定恢復因數(shù)的材料做成小球和質(zhì)量很大的平板，如圖所示，測定小球下落高度h1和小球彈起高度h2，則,則恢復因數(shù)為,恢復因數(shù)表示物體在碰撞后速度的恢復程度，也表示物體變形恢復的程度，并且反映出碰撞過程中機械能損失的程度。,.,94,k=0為極限情況，物體在碰撞結(jié)束后變形絲毫沒有恢復，稱為非彈性碰撞或塑性碰撞。,一般0v1,.,97,列出補充方程：,聯(lián)立解得,對于完全彈性碰撞（k=1）：,(碰撞后兩物體交換速度),.,98,對于塑性碰撞（k=0）：,對于一般情況（00。,在20的臨界情形時,v0趨近于最小速度v01,代入(3)得,由此求得所需的最小速度,根據(jù)積分形式的動能定理T2T1W,有,(c),.,113,A，B兩球大小相同，質(zhì)量相等。球A以速度v1=2ms1撞擊靜止的球B。碰撞前球A球心的速度與球B相切，如圖所示。設碰撞是光滑的?；謴拖禂?shù)k=0.6，求碰撞后兩球的速度。,例5,.,114,.,115,考察球A，因碰撞力沿法線n-n方向，其沿切線t-t的動量不變，即,由直角三角形OO1T可求得，碰撞前球B的速度為零，。,碰撞后球B的速度u2沿n-n線，球A碰撞后的速度u1與公切線t-t成角。,根據(jù)動量守恒定理，沿n-n方向動量守恒，,(a),(b),解：,.,116,由（a），（b）和（c）三式，代入。又因m1=m2，得,又知恢復系數(shù),(c),求得,.,117,滾珠軸承中鋼球的檢驗裝置簡圖如圖所示。鋼球從H=1m高度靜止落下，撞在一斜置的重鋼板光滑平面上（傾角=10）。如要求恢復系數(shù)小于0.7的鋼球，碰撞后回跳時不能超過固定障礙A，求擋板上端A點的位置xA，yA應為多少？,例6,.,118,.,119,恢復系數(shù)為，此處，Oy軸與切線t-t之間的夾角j為,設鋼球質(zhì)量為m，重鋼板質(zhì)量為M，。碰撞前后鋼板不動，即v2=u2=0。,解:,因碰撞力沿法線n-n方向，故切線t-t方向的動量不變，得,解聯(lián)立方程，求得：,.,120,由此可知鋼球碰撞后的速度u1的大小和方向決定于k。令k=0.7，代入數(shù)據(jù)，求得,根據(jù)物理學拋射體的軌跡公式得知xA等于射程之半，yA等于最高點高度，且已知，仰角，則可求得：,.,121,兩個質(zhì)量相等的球1和2，碰撞前的速度分別為v1=2ms1和v2=3ms1，方向如圖所示。設恢復系數(shù)為k=0.60，求碰撞后每球的速度和碰撞時所損失的動能占原有動能的百分比。,例7,.,122,.,123,設兩球質(zhì)量均為m，假設兩球碰撞后速度為u1和u2。因每個球碰撞前后在切線方向的動量不變，故u1必沿法線方向。設u2與法線的夾角為，則,（a）,因整個質(zhì)點系動量守恒，故沿法線n-n方向的動量守恒投影式為,（b）,解:,1.求碰撞后每球的速度。,.,124,式（d）+（e）得,由式（a），（b）和（c），可求得三個未知量u1，u2和。,由式（c）得,由式（b）得,（e）,（d）,此外由恢復系數(shù)的定義，得,（c）,.,125,代入數(shù)據(jù)求得,代入式（a）,由式（a）和（e），消去u2，得,.,126,動能的損失,2.碰撞時所損失的動能占原有動能的百分比。,碰撞前動能,損失的動能占原有動能的百分比為,.,127,勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量是m，半徑是r，以質(zhì)心速度vC斜向撞在水平面上，vC對鉛直線成偏角q。同時球殼具有繞水平質(zhì)心軸(垂直于vC)的角速度w0。假定碰撞接觸點的速度能按反向全部恢復(k=k=1)，求碰撞后球殼的運動。,例8,.,128,.,129,解：,球殼作平面運動，作用于它的外碰撞沖量有瞬時法向反力的沖量IN和瞬時摩擦力的沖量IF。,設碰撞結(jié)束時質(zhì)心速度是uC，繞質(zhì)心軸的角速度是(規(guī)定以逆鐘向為正)。,寫出質(zhì)心沖量方程和對質(zhì)心的沖量矩方程，并注意球殼對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量JC=2Mr23，有,.,130,由恢復系數(shù)的定義可知，在完全彈性碰撞結(jié)束后，接觸點的切向和法向相對速度都按相反方向全部恢復。以vA和uA分別表示碰撞始末接觸點A的速度，則有,由運動學知,從而可得,.,131,于是，上面兩個等式()就可寫成,聯(lián)立求解上列方程(1)(5)，就可得到需求的全部答案。,.,132,(a),由式(a)可以求出球殼回跳時的角度，有,這個結(jié)果表明有可能取任意的數(shù)值，只要vC，q和w配合適當。,.,133,均質(zhì)細桿長l，質(zhì)量為m，以速度v平行于桿自身而斜撞于光滑地面，桿與地面成角，如圖所示。若為完全彈性碰撞，試求撞后桿的角速度。,例9,.,134,.,135,地面光滑，桿只受有y方向的碰撞沖量I，桿沿x方向動量守恒。設桿撞后質(zhì)心C的速度為vC，角速度為w，如圖所示。則x方向有,沿y軸投影為,由平面運動基點法得知點A速度為,(a),解：,.,136,撞擊點A在碰撞前的法向速度為，由恢復系數(shù),對質(zhì)心C的沖量矩定理為,沖量定理沿y軸投影式為,代入式（a），得,(b),(c),(d),.,137,由(c)、（d）二式消去I，得,解出,代入式（b），得,即,.,138,均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m，如圖所示。設桿在鉛直面內(nèi)保持水平下降，桿與固定支點E碰撞，前其質(zhì)心的速度為v0，恢復系數(shù)為k。求碰撞后桿的質(zhì)心速度uy和桿的角速度。已知E點到桿左端的距離為。,例10,.,139,不考慮碰撞時桿的彈性振動，可看成是剛體碰撞的突加約束問題。E為固定障礙，碰撞前桿作平動，碰撞后桿作平面運動。,作Exy坐標軸，Ey向下為正。圖上所表示的方向均假設為正。,應用投影式，得,（a）,（b）,解：,上面三個未知量uy，S，故還需建立一個方程才能求解。,.,140,注意，碰撞前E的速度為v0（方向向下），碰撞后E點的速度是質(zhì)心速度uy（方向向下）與桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的速度（方向向上）的代數(shù)和，故得,（c）,上面三個未知量uy，S，故還需建立一個方程才能求解。,.,141,由式（a），（b）和（c），消去I，求得,代入,得,.,142,若為彈性碰撞，k=1，此時求得,若為塑性碰撞，k=0，則,負號表示碰撞后質(zhì)心C的速度向上，與碰撞前速度v0的方向相反。,.,143,k=1,k=0,.,144,一均質(zhì)圓柱體，質(zhì)量為m，半徑為r，其質(zhì)心以勻速vC沿水平面作無滑動的滾動，突然與一高度為h（hr)的平臺障礙碰撞，如圖所示。設碰撞是塑性的。求圓柱體碰撞后質(zhì)心的速度、圓柱體的角速度和碰撞沖量。,例11,.,145,.,146,設圓柱體與平臺凸緣碰撞沖量為I，因碰撞接觸面并非光滑的，故I有公法線和公切線分量In和It，如圖所示。,這是一個突加約束的問題。,碰撞后瞬時，柱體上O軸線（垂直于圖面）與平臺凸緣上O軸線不分離，柱體突然變成繞固定軸的轉(zhuǎn)動，設其角速度為（順時針轉(zhuǎn)動）。這時，質(zhì)心的速度為uC，方向如圖所示。,解：,.,147,碰撞沖量I通過O軸，因此沖量矩為零，故碰撞前后柱體對O軸的動量矩守恒。碰撞前柱體對O軸的動量矩為,（a）,碰撞后柱體對O軸的動量矩為,JO是柱體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量，,由動量矩守恒，,得,.,148,因，代入后求得,因，故,（b）,質(zhì)心速度,（c）,.,149,為了求碰撞沖量，寫出碰撞過程中動量方程的投影式：,（d）,（e）,這里下標n和t分別表示速度和碰撞沖量在公法線n-n和公切線t-t上的投影，其正方向如圖所示。顯然,.,150,如果在碰撞過程中用相對質(zhì)心動量矩定理是否可以求解這個問題？,代入式（d）和（e）得：,.,151,兩個質(zhì)量和直徑都相同的鋼球A和B，由不計質(zhì)量的剛性桿相連。自高度h處自由下落，同時分別與銅板和鋼板碰撞。已知球與鋼板和銅板碰撞的恢復系數(shù)分別為k1=0.6和k2=0.4。求碰撞后剛性桿的角速度。,鋼,銅,d,h,例12,.,152,.,153,設A，B球的質(zhì)量均為m，碰撞前的速度為v0，碰撞后的速度分別為vA和vB，碰撞沖量分別為IA和IB。球與剛性桿組成的系統(tǒng)作平面運動，碰撞前、后的角速度分別為00和1。,應用,解：,有,.,154,由球A和B的恢復系數(shù)得,聯(lián)立解之得,.,155,例13,以速度為v0勻速運動的小車上有一邊長為l的方塊，當小車突然停住時，方塊將繞底面的一邊翻轉(zhuǎn)，求此時方塊翻轉(zhuǎn)的角速度和方塊動能的損耗。,解：,滑塊的平動,繞O的定軸轉(zhuǎn)動,運動分析,碰撞前,碰撞后,.,1