（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)第二部分專題五解析幾何第4講圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題練習(xí).docx

第4講圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題定點問題1參數(shù)法：參數(shù)法解決定點問題的思路：(1)引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中的核心變量(此處設(shè)為k)；(2)利用條件找到k與過定點的曲線F(x，y)0之間的關(guān)系，得到關(guān)于k與x，y的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點高考真題思維方法(2017高考全國卷)設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線x3上，且1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.(1)略(2)證明：由題意知F(1，0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，【關(guān)鍵1：用參數(shù)表示P，Q的坐標及向量，】33mtn，(m，n)，(3m，tn).由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，【關(guān)鍵2：在1的前提下，證明0】即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.【關(guān)鍵3：利用平面內(nèi)過一點作一直線的垂線的唯一性，即得直線l過點F】2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)高考真題思維方法(2017高考全國卷)已知橢圓C：1(ab0)，四點P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.(1)略(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.【關(guān)鍵2：設(shè)出直線l的方程，并與橢圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及條件找到直線l中兩個參數(shù)的關(guān)系】當(dāng)且僅當(dāng)m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1).【關(guān)鍵3：將k代入直線l的方程，變形得到直線所過定點(2，1)】典型例題 (2019鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)M點為圓C：x2y24上的動點，點M在x軸上的投影為N.動點P滿足2，動點P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)設(shè)E的左頂點為D，若直線l：ykxm與曲線E交于A，B兩點(A，B不是左、右頂點)，且滿足|，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標【解】(1)設(shè)點M(x0，y0)，P(x，y)，由題意可知N(x0，0)，因為2，所以2(x0x，y)(0，y0)，即x0x，y0y，又點M在圓C：x2y24上，所以xy4，將x0x，y0y代入得1，即軌跡E的方程為1.(2)由(1)可知D(2，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得，得(34k2)x28mkx4(m23)0，(8mk)24(34k2)(4m212)16(12k23m29)0，即34k2m20，所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，因為|，所以，即0，即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y20，所以240，所以7m216mk4k20，解得m12k，m2k，且均滿足34k2m20，當(dāng)m12k時，l的方程為ykx2kk(x2)，直線恒過點(2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m2k時，l的方程為ykxkk，直線恒過點.綜上，直線l過定點，定點坐標為.(1)求解直線和曲線過定點問題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點(2)由直線方程確定定點時，若得到了直線的點斜式方程yy0k(xx0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線的斜截式方程ykxm，則直線必過定點(0，m) 對點訓(xùn)練(2019蓉城名校第一次聯(lián)考)已知拋物線C：x22py(p0)的焦點為F，過點F作傾斜角為45的直線與拋物線C交于A，B兩點，且|AB|16.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P，M，N為拋物線上不同的三點，且PMPN，若P點的橫坐標為8，判斷直線MN是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由解：(1)由題意知，直線AB的方程為yx.由，得y23py0.設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，則y3y43p.所以|AB|y3y4p4p16，所以p4.所以拋物線C的方程為x28y.(2)法一：由(1)可得點P(8，8)，設(shè)M，N，則kPM，同理可得kPN.因為PMPN，所以kPM kPN1，化簡得x1x28(x1x2)1280.(*)易知直線MN的斜率一定存在，設(shè)直線MN：ykxb，由，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.代入(*)，得8b64k1280，則b8k16.直線MN的方程可化為ykx8k16，所以直線MN過定點(8，16)法二：由(1)可得點P(8，8)，設(shè)M，N，則kMN，同理可得kPM，kPN.因為PMPN，所以kPMkPN1，化簡得x1x28(x1x2)128.直線MN的方程為y(xx1)，化簡得yx.把代入得y(x8)16，所以直線MN過定點(8，16)定值問題1直接消參求定值：常見定值問題的處理方法：(1)確定一個(或兩個)變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示；(2)將所求表達式用核心變量進行表示(有的甚至就是核心變量)，然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù)高考真題思維方法(2015高考全國卷)已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由.(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)【關(guān)鍵1：設(shè)出直線方程及直線與橢圓交點坐標】將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，【關(guān)鍵2：把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元得一元二次方程】故xM，yMkxMb.【關(guān)鍵3：利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點在直線l上求M的坐標】于是直線OM的斜率kOM ，即kOMk9.【關(guān)鍵4：求直線OM的斜率并計算兩直線斜率乘積】所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(2)略2.從特殊到一般求定值：常用處理技巧：(1)在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏；(2)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算高考真題思維方法(2016高考北京卷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|BM|為定值.(1)略(2)證明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1).設(shè)P(x0，y0)，則x4y4.當(dāng)x00時，直線PA的方程為y(x2).令x0，得yM，從而|BM|1yM|1|.【關(guān)鍵1：設(shè)出P點坐標，對橫坐標分類討論，用P點坐標表示|BM|】直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN|2|.【關(guān)鍵2：用P點坐標表示|AN|】所以|AN|BM|2|1|4.【關(guān)鍵3：計算|AN|BM|并化簡得出定值】當(dāng)x00時，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.【關(guān)鍵4：討論特殊情況，并計算|AN|BM|】綜上，|AN|BM|為定值.典型例題 (2019福建五校第二次聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，上頂點M到直線xy40的距離為3.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l過點(4，2)，且與橢圓C相交于A，B兩點，l不經(jīng)過點M，證明：直線MA的斜率與直線MB的斜率之和為定值【解】(1)由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為1.(2)證明：易知直線l的斜率恒小于0，設(shè)直線l的方程為y2k(x4)，k0且k1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得，得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0，則x1x2，x1x2，因為kMAkMB2k(4k4)2k4(k1)2k(2k1)1(為定值)求定值問題2種常見的方法(1)從特殊值入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值 對點訓(xùn)練已知橢圓C：1，過A(2，0)，B(0，1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解：(1)由題意得，a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.又c，所以離心率e.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由.(1)略(2)四邊形OAPB能為平行四邊形.因為直線l過點，所以l不過原點且與橢圓C有兩個交點的充要條件是k0，k3.由(1)得直線OM的方程為yx.設(shè)點P的橫坐標為xP.由得x，即xP .【關(guān)鍵1：寫出OM的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出P點橫坐標】將點的坐標代入直線l的方程得b，因此xM.【關(guān)鍵2：求M點橫坐標】四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM，于是2，【關(guān)鍵3：構(gòu)造關(guān)于k的方程】解得k14，k24.因為k0，k3，所以當(dāng)l的斜率為4或4時，四邊形OAPB為平行四邊形.典型例題 已知動圓C與圓x2y22x0外切，與圓x2y22x240內(nèi)切(1)試求動圓圓心C的軌跡方程；(2)過定點P(0，2)且斜率為k(k0)的直線l與(1)中軌跡交于不同的兩點M，N，試判斷在x軸上是否存在點A(m，0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)m的范圍；若不存在，請說明理由【解】(1)由x2y22x0得(x1)2y21，由x2y22x240得(x1)2y225，設(shè)動圓C的半徑為R，兩圓的圓心分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根據(jù)橢圓的定義可知，點C的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，所以c1，a3，所以b2a2c2918，所以動圓圓心C的軌跡方程為1.(2)存在設(shè)直線l的方程為ykx2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為E(x0，y0)假設(shè)存在點A(m，0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AEMN，由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因為AEMN，所以kAE，即，所以m，當(dāng)k0時，9k212，所以m0；當(dāng)k0時，9k12，所以0b0)，其左、右焦點分別為F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，過點F1的直線交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列(1)求橢圓C的方程；(2)記GF1D的面積為S1，OED(O為坐標原點)的面積為S2.試問：是否存在直線AB，使得S1S2？請說明理由解：(1)因為|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列，所以2a|AF1|AF2|2|F1F2|8，所以a4.又c2，所以b212，所以橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在直線AB，使得S1S2，顯然直線AB不能與x，y軸垂直設(shè)AB的方程為yk(x2)(k0)，將其代入1，整理得(4k23)x216k2x16k2480，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)，所以x1x2，所以點G的橫坐標為，所以G.因為DGAB，所以k1，解得xD，即D，因為RtGDF1和RtODE相似，所以若S1S2，則|GD|OD|，所以，整理得8k290.因為方程8k290無解，所以不存在直線AB，使得S1S2.1(2019安徽省考試試題)已知橢圓C：1(ab0)的上頂點為P，右頂點為Q，直線PQ與圓x2y2相切于點M.(1)求橢圓C的方程；(2)若不經(jīng)過點P的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且0，求證：直線l過定點解：(1)由已知得直線OM(O為坐標原點)的斜率kOM2，則直線PQ的斜率kPQ，所以直線PQ的方程為y，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為ykxn(n1)，由，消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0，(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0，得4k21n2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由0，得(x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，滿足.此時l的方程為ykx，故直線l過定點.2(2019南昌市第一次模擬測試)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P是C上的一個動點，且F1PF2面積的最大值為4.(1)求C的方程；(2)設(shè)C的左、右頂點分別為A，B，若直線PA，PB分別交直線x2于M，N兩點，過點F1作以MN為直徑的圓的切線，證明：切線長為定值，并求該定值解：(1)設(shè)P(x0，y0)，橢圓的半焦距為c.因為SF1PF2|F1F2|y0|2cbbc，所以bc4.又e，a2b2c2，所以a4，b2，c2，所以C的方程為1.(2)由(1)可知A(4，0)，B(4，0)，F(xiàn)1(2，0)由題可知，x02，且x04.設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則直線PA的方程為yk1(x4)，令x2得y6k1，故M(2，6k1)直線PB的方程為yk2(x4)，令x2得y2k2，故N(2，2k2)記以MN為直徑的圓為圓D，則D(2，3k1k2)如圖，過點F1作圓D的一條切線，切點為T，連接F1D，DT，則|F1T|2|F1D|2|DT|2，所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又k1，k2，所以k1k2，由1，得y(x16)，所以k1k2，則|F1T|21612k1k2161225，所以|F1T|5.故切線長為定值5.3(2019廣州市調(diào)研測試)已知動圓C過定點F(1，0)，且與定直線x1相切(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程；(2)過點M(2，0)的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點P，Q，試探究在x軸上是否存在定點N(異于點M)，使得QNMPNM？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)法一：依題意知，動圓圓心C到定點F(1，0)的距離，與到定直線x1的距離相等，由拋物線的定義，可得動圓圓心C的軌跡E是以F(1，0)為焦點，x1為準線的拋物線，其中p2.所以動圓圓心C的軌跡E的方程為y24x.法二：設(shè)動圓圓心C(x，y)，依題意得|x1|，化簡得y24x，即為動圓圓心C的軌跡E的方程(2)假設(shè)存在點N(x0，0)滿足題設(shè)條件由QNMPNM可知，直線PN與QN的斜率互為相反數(shù)，即kPNkQN0.易知直線PQ的斜率必存在且不為0，設(shè)直線PQ：xmy2，由，得y24my80.由(4m)2480，得m或m.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，