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文檔簡介

綜合練習題A一.單項選擇題1.三階矩陣的特征值為，則下列矩陣中非奇異矩陣是（ ）A.； B. ； C.； D.答案：A 解 因為若為三階矩陣的特征值，則，也即當為矩陣的特征值時，矩陣為奇異矩陣. 由于不是矩陣的特征值，所以，即矩陣非奇異. 故答案A正確.2.與矩陣相似的矩陣是（ ）A.； B.； C.； D. 答案：C解 由于答案A，B，C，D均為上三角矩陣，其特征值均為，它們是否與矩陣相似，取決于對應特征值四個矩陣與單位矩陣的差的秩是否為1，即.由于只有答案C對應的，即對應有兩個線性無關的向量，所以答案C正確.3.二次型的矩陣是（ ）.A.； B. ； C. ； D. 答案：C 解 因為，所以二次型矩陣為，故答案C正確.4.對于二次型，其中為階實對稱矩陣，下述各結(jié)論中正確的是（ ）.A.化為標準形的可逆線性變換是唯一的；B.化為規(guī)范形的可逆線性變換是唯一的；C.的標準形是唯一的； D.的規(guī)范形是唯一的.答案：D解 因為二次型的規(guī)范形是唯一的，所以答案D正確，而答案A,B,C均不正確.故答案D正確. 二、解答下列各題1.試證:由所生成的向量空間就是.證設 ，因為于是，故線性無關.由于均為三維且秩為3. 所以為此三維空間的一組基，故由所生成的向量空間就是.2.利用施密特正交化方法，將向量組化為正交的單位向量組解 令=，=， =，=（，再將向量組單位化，即得到正交的單位向量組 3.判別矩陣是否對角化？若可對角化，試求可逆矩陣，使為對角陣解 矩陣的特征多項式為=由，得矩陣的特征值為對于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個基礎解系.對于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個基礎解系，.由于有三個線性無關的特征向量，故可對角化令 則4.求一個正交變換將二次型化為標準形.解 二次型的矩陣為，其特征多項式為令，得矩陣的特征值為當時, 解方程組，由. 得基礎解系 . 當時，解方程，由 得基礎解系 . 當時，解方程，由 得基礎解系 .將單位化，得,于是正交變換為. 且標準形為 5.判別二次型=是否為正定二次型.解 二次型的矩陣為.由于，即的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的.三、證明題如果為階實對稱矩陣，為階正交矩陣，證

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