第三章 立體的表面交線

.,第三章立體的表面交線,.,返回,.,返回,.,空間幾何體分為平面立體和曲面立體。,平面立體：表面由平面圍成的幾何體。,曲面立體：表面由曲面或者曲面與平面圍成的幾何體。,.,截交:平面與立體相交，截去立體的一部分。,平面與立體、立體與立體兩兩相交形成不同的表面交線，可分為兩大類：,截交線截平面與立體表面的交線。,.,相貫:兩曲面立體相交。,相貫線曲面立體與曲面立體表面的交線。,.,3.1平面立體表面的截交線,3.1.1概述,2)截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。,3)多邊形的頂點是立體棱線與截平面的交點，多邊形的各邊是截平面與立體各表面的交線。,截交線的性質：,1)截交線既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面的共有線。,.,3.1.2平面與平面立體截交線的求法：,A.求各棱線與截平面的交點線面交點法,B.求各棱面與截平面的交線面面交線法,求截交線的步驟：,1)空間及投影分析,2)畫出截交線的投影,a、截平面與立體的相對位置:,確定截交線的形狀。,確定截交線的投影特性。,b、截平面與投影面的相對位置：,分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。,.,例1四棱錐被正垂面P切割，求其截交線的投影。,1)空間分析,2)投影分析,3)求截交線,4)補全棱線的投影,檢查:尤其注意檢查截交線投影的相仿性,S,S,S,截平面與體的幾個棱面相交？,截交線的形狀？,采用的是哪種解題方法？,四邊形,線面交點法,.,例2求P、Q兩平面與三棱錐截交線的投影。,解題步驟1)分析:截平面為正垂面和水平面，正面投影積聚；2)求出點1、2、3、4；,S,s,a,a,a,b,(c),b,b,c,c,Pv,Qv,3)順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；,S,4)補全輪廓線。,.,例3已知立體的V、W投影，試求其H投影。,.,例4已知主視圖和左視圖，求俯視圖。,.,3.2曲面立體表面的截交線,3.2.1概述回轉體截切的基本形式,平面與回轉體表面相交，其截交線是封閉的平面圖形。,截交線是由曲線圍成，或者由曲線與直線圍成，或者由直線段圍成。,求回轉體截交線，常利用積聚性或者輔助平面以及投影變換的方法。,.,求平面與回轉體截交線的一般步驟：,空間及投影分析,分析回轉體的形狀以及截平面與回轉體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀。,分析截平面與投影面的相對位置，明確截交線的投影特性，如積聚性、相仿性等。找出截交線的已知投影，預見未知投影。,畫出截交線的投影,當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：,*光滑連接各點，并判斷截交線的可見性。,*先找特殊點，補充中間點。,.,3.2.2圓柱的截交線,平面與圓柱面相交時，根據平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種情況：圓、橢圓和矩形。,.,圓柱的截交線,.,多個平面截切立體時，要分別對各截平面進行截交線的分析和作圖。,例1圓柱體被P、Q兩平面截切，試完成其三視圖。,1)空間及投影分析,3)求截交線。,2)分析圓柱體輪廓素線的投影。,截平面與立體的相對位置；,截平面與投影面的相對位置；,解題步驟,保留動畫,確定截交線形狀為矩形和圓弧。,.,例2圓柱被正垂面截切，試畫出三視圖。,1分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚，側面投影和水平投影為橢圓；,2求出截交線上的特殊點a、b、c、d；,3求出若干個一般點e、e1；,4光滑順次連接各點，作出截交線，并判別可見性；5補全輪廓線。,解題步驟,.,截平面與圓柱軸線的傾角為，其交線的H投影為橢圓，且橢圓的長、短軸隨的變化而變化。,截平面與圓柱軸線成45時,投影為圓。,.,(1)作圓柱的W面投影,圖平面與圓柱體相交舉例之一,例如圖a，根據V面投影和H面投影補出立體的W面投影。,a)題圖,解：,(2)作左切塊上的投影,.,圖平面與圓柱體相交舉例之一,(3)作下部通槽的投影,.,(4)判別可見性，整理、加深完成全圖,圖平面與圓柱體相交舉例之一,.,例4空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V、H投影，試求W投影。,.,例4空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V、H投影，試求W投影。,.,3.2.3圓錐截交線,根據截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。,.,圓錐的五種截交線,.,圖3.9平面與圓錐體相交舉例,例補全立體的三面投影。,輔助平面,.,例3圓錐被正垂面P和側平面Q截切，已知其主視圖，求作俯視圖和左視圖。,.,圓球的截交線總是圓。由于截平面相對于投影面的位置不同，截交線的投影可能是圓、橢圓或直線。,3.2.4圓球的截交線,.,兩個側平面截切圓球，交線在左視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。,例2已知上部開有通槽的半圓球的主視圖，求其俯視圖和左視圖。,水平面截切圓球，交線在俯視圖上為部分圓弧，在左視圖上積聚為直線。,.,3.2.5綜合舉例,首先分析復合回轉體由哪些基本回轉體組成以及它們的連接關系，然后分別求出這些基本回轉體的截交線，并依次將其連接。,保留動畫,.,例1已知立體的俯、左視圖，完成其主視圖。,.,3.3.1概述相貫線的主要性質：,其作圖實質是找出相貫的兩立體表面的若干共有點的投影。,1)共有性相貫線是兩立體表面的共有線。,2)分界性相貫線兩立體表面的分界線。,3)封閉性相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下為不封閉或平面曲線或直線。,3.3回轉體的相貫線,.,兩立體相交可分為,1)兩平面立體相交：可歸結為求兩平面的交線問題，或求棱線與平面的交點問題。,2)平面立體與曲面立體相交：可歸結為求平面與曲面立體截交線問題。,本節(jié)主要介紹此問題,3)曲面立體相貫線：,.,3.3.2軸線正交的兩圓柱體的相貫線,3.3.2.1軸線垂直相交的兩圓柱，試求其相貫線。,.,相貫線的側面投影積聚在水平大圓柱側面投影上，即為圓的一部分。,空間及投影分析：相貫線的水平投影與直立小圓柱的水平投影重合，是一個圓。,.,求相貫線的投影：,利用積聚性，采用表面取點法。,1.找全特殊點；,2.補充一般點；,3.判別可見性、光滑連接；,4.補全輪廓線。,.,3.3.2.2圓柱與圓錐相貫,例3.12求圓柱與圓錐的相貫線。,a)求特殊點,b）求一般點，連線，整理,圖3.16圓柱與圓錐相貫舉例,.,曲面立體相貫的三種基本形式,2.外表面與內表面相交,1.兩外表面相交,3.兩內表面相交,.,以下分別是圓柱外表面與圓柱內表面相貫、圓柱內表面與圓柱內表面相貫的情況。,.,以下分別是圓柱外表面與圓柱內表面相貫、圓柱內表面與圓柱內表面相貫的情況。,.,圓柱、圓錐相貫線變化規(guī)律,當圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢。,動畫一,動畫二,.,特例：軸線正交的兩等徑圓柱體相貫相貫線為橢圓,1.蒙日定理:若兩個二次曲面共切于第三個二次曲面，則兩曲面的相貫線為平面曲線（橢圓）。,3.3.4相貫線的特殊情況,.,相貫線,相貫線,相貫線,2.具有公共回轉軸的兩回轉體相貫相貫線為垂直于公共回轉軸線的圓,圖3.17具有公共回轉軸的兩回轉體相貫,.,圖3.18軸線相互平行的兩圓柱相貫及共錐頂的兩圓錐相貫,3.軸線相互平行的兩圓柱相貫相貫線為直線4.共錐頂的兩圓錐相貫相貫線為直線,.,例3.13：補全主視圖,外形交線,兩外表面相貫,一內表面和一外表面相貫,內形交線,兩內表面相貫,形體分析,.,例3.13：補全主視圖,無輪是兩外表面相貫，還是一內表面和一外表面相貫，或者兩內表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。,小結：,.,1,2,3,例3.14：補全主視圖,這是一個多體相貫的例子，首先分析它是由哪些基本體組成的，這些基本體是如何相貫的，然后分別進行相貫線的分析與作圖。,由哪些立體組成呢？,哪兩個立體相