高中數(shù)學(xué)恒成立問題中含參范圍的求解策略

恒成立問題中含參范圍的求解策略周云才數(shù)學(xué)中含參數(shù)的恒成立問題，幾乎覆蓋了函數(shù)，不等式、三角，數(shù)列、幾何等高中數(shù)學(xué)的所有知識點，涉及到一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，歸納總結(jié)這類問題的求解策略，不但可以讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思想，而且對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是很有幫助的，下面就幾種常見的求解策略總結(jié)如下，供大家參考。一、分離參數(shù)最值化對于某些恒成立問題，可將其中的參數(shù)分離出來，將原問題轉(zhuǎn)化為（或）在給定區(qū)間上恒成立（或），從而將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題。例1 當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。 解析：因，所以對恒成立，即有，由于在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，所以例2 設(shè)且恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。 解析：由于，所以，于是恒成立，因 （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故。二、數(shù)形結(jié)合直觀化對于某些不容易分離出參數(shù)的恒成立問題，可利用函數(shù)的圖像或相應(yīng)圖形，采用數(shù)形結(jié)合的思想，直觀地反應(yīng)出參數(shù)的變化范圍。例3 當(dāng)時，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍。 解析：令，由題意，對恒成立。 （1）當(dāng)，即時，有對恒成立。 （2）當(dāng)時，結(jié)合二次函數(shù)的圖像， 有 或 綜合（1）（2）得例4 設(shè)，對于任意正整數(shù)k，直線與恒有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍。 解析：作出在區(qū)間上的圖像，由圖像知，直線只能繞原點O從x正半軸旋轉(zhuǎn)到過點的范圍，直線AO的斜率為于是實數(shù)a的取值范圍是三、巧妙賦值特殊化在某些恒成立問題中，恰當(dāng)?shù)厝√厥獾臄?shù)或考慮特殊的情形，探求出參數(shù)的值或范圍，再加以證明，不失為一個好辦法。例5 是否存在常數(shù)c，使得不等式對任意的正實數(shù)x，y恒成立？并證明你的結(jié)論。 解析：令得，有 先證成立證成立證成立，此時顯然成立。 再證成立。 證成立證成立，此時也顯然成立。 故存在常數(shù)c，使得原不等式對任意的正實數(shù)x，y恒成立。例6 設(shè)。若對于任意恒成立，試確定常數(shù)a，b，c。 解析：取分別代入已知等式， 即 （1）（2）得， （4） 由（2）（3）（4）得 由得，解得，從而 再由 再 將求解的a、b、c代入已知等式驗證適合，故四、變更主元簡單化對含多個變量問題，有時變換主元與次元的位置，常能達到避繁就簡的目的。例7 對于，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。 解析：不等式不等式即對于恒成立。 記，則問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）在區(qū)間1，1內(nèi)恒為正的x應(yīng)滿足的條件。 由得 或 故實數(shù)x的取值范圍是 恒成立問題中含參范圍的求解策略較多，但主要有以上四種常見方法，其實質(zhì)是一種等價轉(zhuǎn)化的思想，可見，只要我們在解