現(xiàn)代控制理論-完整可編輯版.ppt

現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),1,3線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,3.1能控性和能觀測(cè)性的概念3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)性標(biāo)準(zhǔn)形3.8傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性的關(guān)系3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測(cè)性的分解,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),2,3.1能控性和能觀測(cè)性的概念,能控性已知系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài)，研究是否存在一個(gè)容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)希望的特定狀態(tài)。,能觀測(cè)性已知系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸出，研究可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸出確定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài)。,能控性和能觀測(cè)性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)基礎(chǔ)性概念，由卡爾曼（R.E.Kalman）于1960年首次提出。,u(t)能否引起x(t)的變化？,y(t)能否反映x(t)的變化？,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),3,3.1能控性和能觀測(cè)性的概念,一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)。圖中RC網(wǎng)絡(luò)的輸入端是電流源i，輸出端開(kāi)路。取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量。,v1是能控的,v2是不能控的,V2是能觀測(cè)的,v1是不能觀測(cè)的,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),4,3.1能控性和能觀測(cè)性的概念,在最優(yōu)控制問(wèn)題中，其任務(wù)是尋求輸入u(t)使?fàn)顟B(tài)軌跡達(dá)到最優(yōu)，則要求狀態(tài)能控。,但狀態(tài)x(t)的值通常是難以直接測(cè)量的，往往需要從測(cè)得的輸出y(t)中估計(jì)出來(lái)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),5,3.1能控性和能觀測(cè)性的概念,例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,解將其表示為標(biāo)量方程組的形式,表明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測(cè)的。,輸入u不能控制狀態(tài)變量x1，故x1是不能控的,輸出y不能反映狀態(tài)變量x2，故x2是不能觀測(cè)的,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),6,3.1能控性和能觀測(cè)性的概念,例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,解將其表示為標(biāo)量方程組的形式,實(shí)際上，系統(tǒng)的狀態(tài)既不是完全能控的，也不是完全能觀測(cè)的。,所有狀態(tài)變量都是能控和能觀測(cè)的？,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),7,3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性,如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間t0,tf內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，則稱(chēng)初始狀態(tài)x(t0)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)是能控的。,狀態(tài)平面中點(diǎn)P能在u(t)作用下被驅(qū)動(dòng)到任一指定狀態(tài)P1,P2,Pn，則點(diǎn)P是能控的狀態(tài)。假如“能控狀態(tài)”充滿整個(gè)狀態(tài)空間,則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。由此可看出，系統(tǒng)中某一狀態(tài)能控和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控在含義上是不同的。,3.2.1狀態(tài)能控性定義,定義對(duì)于連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),8,3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性,能控性和能達(dá)性問(wèn)題,(1)能控性定義：對(duì)于給定連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng),若存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間t0,tf內(nèi)，將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，即x(tf)0，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。,(2)能達(dá)性定義：對(duì)于給定連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng),若存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間t0,tf內(nèi)，將狀態(tài)x(t)從原點(diǎn)轉(zhuǎn)移到任一指定的終端（目標(biāo)）狀態(tài)x(tf)，則稱(chēng)系統(tǒng)是能達(dá)的。,對(duì)線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是完全等價(jià)的。,簡(jiǎn)記為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),9,3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性,3.2.2狀態(tài)能控性的判別準(zhǔn)則,定理3.1對(duì)于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)(A,B)，其狀態(tài)完全能控的充分條件時(shí)由A，B陣所構(gòu)成的能控性判別矩陣,滿秩，即,證明,(1)能控性判別準(zhǔn)則一,因?yàn)?根據(jù)能控性定義，在終態(tài)時(shí)刻t1，有x(t1)=0,所以,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),10,3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性,對(duì)于任意給定的x(0)，能夠唯一解出bi（或u）的條件是：,滿秩，即,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),11,3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性,例試判別如下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。,解構(gòu)造能控性判別矩陣,這是一個(gè)奇異陣，即,所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，即系統(tǒng)狀態(tài)不能控。,解系統(tǒng)的能控性判別矩陣為,所以該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。,例試判別如下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。,因?yàn)?，所?現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),12,3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性,解該系統(tǒng)的能控性判別矩陣為,因?yàn)閞ankQc=1t0，使得根據(jù)t0,tf期間的輸出y(t)能唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)x(t0)，則稱(chēng)狀態(tài)x(t0)是能觀測(cè)的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱(chēng)能觀測(cè)的。,簡(jiǎn)記為,(A,C),如果mn，且C非奇異，則：，顯然這不需要觀測(cè)時(shí)間。但是一般mt0。,簡(jiǎn)要說(shuō)明,因?yàn)槟苡^測(cè)性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0。,3.3.1線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性的定義,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),24,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,定理3.5n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)判別矩陣,3.3.2能觀測(cè)性判別準(zhǔn)則,同樣有秩判據(jù)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù),滿秩，即rankQo=n或,(1)能觀測(cè)性判別準(zhǔn)則一,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),25,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,證明,對(duì)于任意給定的x(0)，有,由上式，根據(jù)得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是,滿秩，即rankQo=n,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),26,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,例試判別連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性。,解構(gòu)造能觀測(cè)性判別矩陣,因?yàn)閞ankQo2=n，所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),27,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,例試判別系統(tǒng)的能觀測(cè)性。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),28,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,推論對(duì)單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)能觀測(cè)的充分必要條件為,Qo是非奇異矩陣。換句話說(shuō)|Qo|0是系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件。|Qo|0表示了矩陣Qo有且僅有n個(gè)行向量是線性獨(dú)立的，即rankQo=n。,對(duì)于多輸出系統(tǒng)，Qo是nmn陣不是方陣，但有如下關(guān)系：,因此，可把,作為多輸出系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)。,rankQo=rankQToQo,|QToQo|0,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),29,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,例試判斷下列連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性。,顯然，系統(tǒng)(I)是能觀測(cè)的，系統(tǒng)(II)是不能觀測(cè)的。,(2)能觀測(cè)判別準(zhǔn)則二,定理3.6若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)(A,C)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形陣中不含有元素全為零的列。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),30,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,其中,與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對(duì)應(yīng)的i的首列的元素不全為零。,例試判斷下面兩個(gè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性。,解根據(jù)上述定理，(I)是能觀測(cè)的，(II)是不能觀測(cè)的。,定理3.7若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)(A,C)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),31,定理3.7（附）若系統(tǒng)(A,B)具有相同的重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。,J1,J2,C2,C1,C1和C2的首列成比例，不是線性無(wú)關(guān)的，所以不能觀測(cè)。,3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性,相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對(duì)應(yīng)的的首列線性無(wú)關(guān)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),32,3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,3.4.1能控性定義與判據(jù),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),33,3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,解利用遞推方法,為檢驗(yàn)系統(tǒng)能否在第一步使x(0)轉(zhuǎn)移到零，對(duì)上式令x(1)=0，倘若能夠解出u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，則有,計(jì)算表明對(duì)該系統(tǒng)若取u(0)=-3，則能將x0=211T在第一步轉(zhuǎn)移到零。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),34,3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,例若上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為,解由遞推公式，有,顯然，對(duì)于上式若令x(1)=0，解不出u(0)，這說(shuō)明對(duì)于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零，再遞推一步。,能否找到控制序列，將其轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),35,3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,若令x(2)=0，仍無(wú)法解出u(0)、u(1)，再遞推一步。,若令x(3)=0，上式是一個(gè)含有三個(gè)未知量的線性齊次方程,，有唯一解：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),36,(2)能控性判別準(zhǔn)則,3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣,滿秩。即,解構(gòu)造能控性判別矩陣,顯然rankQc1t0和定義在時(shí)間區(qū)間t0,tf上容許控制u，使得系統(tǒng)在這個(gè)控制作用下，從x0出發(fā)的軌線在tf時(shí)刻達(dá)到零狀態(tài)即x(tf)=0，則稱(chēng)x0在t0時(shí)刻是系統(tǒng)的一個(gè)能控狀態(tài)。如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在t0時(shí)刻都是能控的，則稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的。,(1)能控性定義,定義若連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),可以看出，時(shí)變系統(tǒng)的能控性定義和定常系統(tǒng)的能控性定義基本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時(shí)變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與起始時(shí)刻t0的選取有關(guān)，所以時(shí)變系統(tǒng)的能控性與所選擇的初始時(shí)刻t0有關(guān)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),44,3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性,則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控的充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使,定理3.10對(duì)n階連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),設(shè)A(t)和B(t)對(duì)t為(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣：,(2)能控性判別準(zhǔn)則,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),45,對(duì)于初始時(shí)刻t0，存在另一時(shí)刻tft0,使得根據(jù)時(shí)間區(qū)間t0,tf上輸出y(t)的測(cè)量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，則稱(chēng)x0為在t0時(shí)刻能觀測(cè)狀態(tài)。若系統(tǒng)在t0時(shí)刻的所有狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能觀測(cè)的。,3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性,則稱(chēng)x0為t0時(shí)刻不能觀測(cè)的狀態(tài)，系統(tǒng)在t0時(shí)刻是不能觀測(cè)的。,(1)能觀測(cè)性定義定義對(duì)于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),3.5.2能觀測(cè)性定義與判據(jù),反之，如果在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，所引起的系統(tǒng)輸出y(t)恒等于零，即,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),46,3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性,則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能觀測(cè)的充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使,定理3.11對(duì)于n階連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),設(shè)A(t)和C(t)對(duì)t(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣,(2)能觀測(cè)性判別準(zhǔn)則,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),47,3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系,一個(gè)系統(tǒng)的能觀測(cè)性等價(jià)于其對(duì)偶系統(tǒng)的能控性,一個(gè)系統(tǒng)的能控性等價(jià)于其對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測(cè)性,定義對(duì)于定常系統(tǒng)1和2其狀態(tài)空間描述分別為,則稱(chēng)系統(tǒng)1和2是互為對(duì)偶的。,其中，x與x*為n維狀態(tài)向量，u為r維，y為m維，u*為m維，y*為r維。若系統(tǒng)1和2滿足以下關(guān)系,3.6.1對(duì)偶系統(tǒng),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),48,系統(tǒng)1的傳遞函數(shù)陣為mr矩陣：,3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系,對(duì)偶系統(tǒng)的示意圖,對(duì)偶系統(tǒng)的特征方程相同：,系統(tǒng)2的傳遞函數(shù)陣為：,對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),49,定理3.12設(shè)1(A,B,C)和2(A*,B*,C*)是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則1的能控性等價(jià)于2的能觀測(cè)性；1的能觀測(cè)性等價(jià)于2的能控性。,3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系,而系統(tǒng)2的能觀測(cè)性判別矩陣為,是完全相同的。同理1的能觀測(cè)性判別矩陣為,而系統(tǒng)2的能控性判別矩陣為,也是完全相同的。,3.6.2對(duì)偶定理,證明系統(tǒng)1的能控性判別矩陣為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),50,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)(A,B)是完全能控的，則,對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)，把(A,B)和(A,C)化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以有多種不同的方法。,對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，其能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣只有唯一的一組線性無(wú)關(guān)的向量。因此，當(dāng)(A,B)表為能控標(biāo)準(zhǔn)形和(A,C)表為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其表示方法是唯一的。所以僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。,這表明，能控性矩陣中有且僅有n個(gè)列向量是線性無(wú)關(guān)的。如果取這些線性無(wú)關(guān)的列向量以某種線性組合，便可導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的能控標(biāo)準(zhǔn)形。能觀測(cè)問(wèn)題同樣。,3.7.1問(wèn)題的提法,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),51,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,3.7.2能控標(biāo)準(zhǔn)形,定理3.13若連續(xù)時(shí)間線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)(A,b,c)是狀態(tài)完全能控的，則使系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣為,其中，ai為特征多項(xiàng)式的系數(shù)。,通過(guò)線性變換得能控標(biāo)準(zhǔn)形(Ac,bc,cc)：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),52,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,利用和，可得,據(jù)凱萊-哈密頓定理有,據(jù)此，可導(dǎo)出,證明（1）推證Ac,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),53,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,于是，有,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),54,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,(2)推證bc由，有，即,將上式左乘，就可證得bc。,(3)推證cc由，有,展開(kāi)即可。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),55,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,由能控標(biāo)準(zhǔn)形可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),56,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,例試將如下?tīng)顟B(tài)空間描述變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。,解先判別其能控性,rankQc=3，所以系統(tǒng)是能控的。再計(jì)算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,則a1=0，a2=9，a3=2,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),57,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形(Ao,bo,co)：,定理3.14若n階線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)(A,b,c)是能觀測(cè)的，則存在線性變換,其中是特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)。,3.7.3能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),58,3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,則a1=0，a2=9，a3=2,解首先構(gòu)造能觀測(cè)性判別矩陣,因rankQo=3，所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。系統(tǒng)的特征式為,例試將如下?tīng)顟B(tài)空間描述變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。,=,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),59,顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測(cè)的。從傳遞函數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,例3-26試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。,解定義,于是系統(tǒng)能控性判別矩陣Qc和能觀測(cè)性判別矩陣Qo分別為,以下只討論單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間的關(guān)系。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),60,證明假定系統(tǒng)是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為(A,b,c)，利用線性變換可將矩陣A對(duì)角化，得到等價(jià)系統(tǒng)為,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,定理3.15若線性定常單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測(cè)的，其結(jié)果與狀態(tài)變量選擇有關(guān)，反之，若系統(tǒng)中沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消，則該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測(cè)的。,兩邊取Laplace變換，得,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),61,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,將代入，則,對(duì)特征值相異的n階系統(tǒng)，假定傳遞函數(shù)形式是,狀態(tài)能控要求0，能觀測(cè)要求0,一個(gè)即能控又能觀測(cè)的系統(tǒng)要求si0,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),62,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,解組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為,由G(s)可以看出，當(dāng)b=l2時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)發(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是即能控又能觀測(cè)的。,為了分析這個(gè)不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),63,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,當(dāng)b=l2時(shí)（即G(s)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消）,則該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測(cè)的。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,其能控性和能觀測(cè)性判別矩陣為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),64,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,例如果將上例系統(tǒng)中兩個(gè)子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。,顯見(jiàn)，當(dāng)b=l2時(shí)rankQo=12，系統(tǒng)是能控但不能觀測(cè)的。,其能控性和能觀測(cè)性判別矩陣為,解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),65,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,從上面討論可知，由傳遞函數(shù)討論系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性時(shí)，若有零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)是能控不能觀測(cè)，還是能觀測(cè)而不能控，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。若被消去的零點(diǎn)與u發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)為不能控的；若被消去的零點(diǎn)與輸出y發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。進(jìn)一步，若該零點(diǎn)既與輸入u發(fā)生聯(lián)系，又與輸出y發(fā)生聯(lián)系，則該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測(cè)的。,狀態(tài)變量圖,串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)定,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),66,3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系,因此（不能控），（能觀測(cè)）,該系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判別矩陣為,建立狀態(tài)空間描述,說(shuō)明系統(tǒng)有一極點(diǎn)在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。,考察該系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),67,3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解,能控且能觀測(cè)子系統(tǒng),不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng),能控但不能觀測(cè)子系統(tǒng),不能控但能觀測(cè)子系統(tǒng),不能控且不能觀測(cè)子系統(tǒng),則存在線性變換，可將(A,B,C)變換為,定理3.16若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)(A,B,C)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為,3.9.1系統(tǒng)按能控性分解,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),68,3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解,非奇異變換陣中n個(gè)列向量構(gòu)成方法：前nc個(gè)列向量為能控性判別矩陣Qc中nc個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，另外(n-nc)個(gè)列在確保Rc為非奇異的條件下是任意的。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),69,3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解,例試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解。,解系統(tǒng)的能控性判別矩陣為,因?yàn)?，所以系統(tǒng)是不完全能控的。構(gòu)造Rc：,（任選的）,得：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),70,3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解,考察R3為任意的情況：現(xiàn)假設(shè)R3=101T，即,于是得,由于前兩個(gè)列向量沒(méi)有改變，所以能控子系統(tǒng)空間的表達(dá)式相同，所不同的僅是改變列向量后的不能控部分。,比較,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),71,3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解,3.9.2系統(tǒng)按能