安徽省宿松縣2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第13講正余弦定理及應(yīng)用教案.docx

正、余弦定理及應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。命題走向?qū)Ρ局v內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程一知識梳理：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；（3）；（4）2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）；（6）；（7）rs。4解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在ABC中，熟記并會證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。二典例分析(2012浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大??；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.在本例(2)的條件下，試求角A的大小解：，sin A.A.由題悟法1應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷2已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷以題試法1ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A sin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin B sin A，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀典題導(dǎo)入在ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大??；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，0A180，A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0B60，0C60，故BC，ABC是等腰的鈍角三角形由題悟法依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解以題試法2(2012安徽名校模擬)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m(4，1)，n，且mn.(1)求角A的大??；(2)若bc2a2，試判斷ABC的形狀解：(1)m(4，1)，n，mn4cos2cos 2A4(2cos2A1)2cos2A2cos A3.又mn，2cos2A2cos A3，解得cos A.0AACBC，且CD，所以SABDSABC.故選擇ABC的形狀建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5 000元，試求最低造價(jià)為多少？解：因?yàn)锳DBDAB7，所以ABD是等邊三角形，D60，C60.故SABCACBCsin C10，所以所求的最低造價(jià)為5 0001050 000 86 600元由題悟法求距離問題要注意：(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理以題試法1.如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對岸的點(diǎn)C，測得CAB105，CBA45，且AB100 m.(1)求sin CAB的值；(2)求該河段的寬度解：(1)sin CABsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45.(2)因?yàn)镃AB105，CBA45，所以ACB180CABCBA30.由正弦定理，得，則BC50()(m)如圖所示，過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，則CD的長就是該河段的寬度在RtBDC中，CDBCsin 4550()50(1)(m)所以該河段的寬度為50(1)m.測量高度問題典題導(dǎo)入(2012九江模擬)如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對于山坡的斜度為，從A處向山頂前進(jìn)l米到達(dá)B后，又測得CD對于山坡的斜度為，山坡對于地平面的坡角為.(1)求BC的長；(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度(1)在ABC中，ACB，根據(jù)正弦定理得，所以BC.(2)由(1)知BC12()米在BCD中，BDC，sin BDC，根據(jù)正弦定理得，所以CD248米由題悟法求解高度問題應(yīng)注意：(1)在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用以題試法2(2012西寧模擬)要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，求電視塔的高度解：如圖，設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtADB中，ADB30，則BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以電視塔高為40米測量角度問題典題導(dǎo)入(2012太原模擬)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.由題悟法1測量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義2在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的特點(diǎn)以題試法3.(2012無錫模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD的大小是_解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD中，由余弦定理得cos CAD，CAD45.答案：45板書設(shè)計(jì)正、余弦定理及應(yīng)用 1直角三角形中各元素間的關(guān)系：2斜三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC