二次曲線的不變量

3用系數(shù)判別二次曲線類(lèi)型,3.1二次曲線的不變量、半不變量,3.2用不變量法判別二次曲線的類(lèi)型,轉(zhuǎn)軸和移軸的方法只能在右手直角坐標(biāo)系中判斷二次方程表示的曲線類(lèi)型.對(duì)于在一般仿射坐標(biāo)系中的方程F(x,y)=0表示的二次曲線,必須先確定它在某個(gè)右手直角坐標(biāo)系中的方程F(x,y)=0,然后按轉(zhuǎn)軸和移軸進(jìn)行判別.,而F(x,y)=0是由F(x,y)=0經(jīng)過(guò)從原仿射坐標(biāo)系到新右手直角坐標(biāo)系的仿射坐標(biāo)變換得到的.如果不了解原來(lái)仿射坐標(biāo)系的度量參數(shù),就不能確定仿射坐標(biāo)變換公式,也就得不到F(x,y)=0.,3用系數(shù)判別二次曲線類(lèi)型,本節(jié)介紹一種直接用方程的系數(shù)(坐標(biāo)系不限)來(lái)判別二次曲線類(lèi)型的方法.它用到的方程系數(shù)確定的函數(shù)I1,I2,I3等,稱(chēng)為不變量.這種方法也稱(chēng)為不變量法.,3用系數(shù)判別二次曲線類(lèi)型,定義:曲線方程系數(shù)的一個(gè)確定的函數(shù),如果在任意一個(gè)直角坐標(biāo)變換下它的函數(shù)值不變,就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是這條曲線的一個(gè)正交不變量,簡(jiǎn)稱(chēng)不變量.,不變量既然與直角坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān),于是它就反映了曲線本身的幾何性質(zhì).因此找出曲線的不變量是解析幾何研究中的一個(gè)重要課題.,3.1二次曲線的(半)不變量,設(shè)在平面仿射坐標(biāo)系中二次曲線的方程是,a11x2+2a12xy+a22y2+2b1x+2b2y+c=0,(3.5),其中a11,a22,a12不全為零.,記F(x,y)是方程(3.5)的左端的二次多項(xiàng)式,即,F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2b1x+2b2y+c,設(shè)(x,y)是F(x,y)的二次項(xiàng)部分,即,(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2,二次曲線的矩陣表示,3.1二次曲線的(半)不變量,利用矩陣的乘法,將F(x,y),(x,y)分別寫(xiě)成,其中,3.1二次曲線的(半)不變量,設(shè)二次曲線F(x,y)=0,作坐標(biāo)變換,(3.14),得到二次曲線在新坐標(biāo)系下的方程:,F(x,y)=0,其中F(x,y)=F(c11x+c12y+d1,c21x+c22y+d2).,坐標(biāo)變換(3.14)也稱(chēng)為可逆線性變量替換.,3.1二次曲線的(半)不變量,可逆線性變量替換(3.14)也可用矩陣表示為,其中,或,3.1二次曲線的(半)不變量,根據(jù)上面的記號(hào),可得,F(x,y)的二次項(xiàng)部分為,顯然,CTAC和C0TA0C0都是對(duì)稱(chēng)矩陣,因此分別是F(x,y)和(x,y)的矩陣.,3.1二次曲線的(半)不變量,設(shè)二次曲線F(x,y)=0及其二次項(xiàng)(x,y)的矩陣分別為,定義I1,I2,I3如下:,I1=a11+a22,I2=|A0|=a11a22a122,I3=|A|.,分別稱(chēng)為二次曲線F(x,y)=0的第一、第二、第三不變量.,二次曲線的不變量及其性質(zhì),3.1二次曲線的(半)不變量,命題3.3設(shè)F(x,y)經(jīng)過(guò)可逆線性變量替換(3.14)變?yōu)镕(x,y),以I1,I2,I3記F(x,y)=0的不變量,則,(1)I2和I2同號(hào),I3和I3同號(hào);,(2)如果C0是正交矩陣,則Ii=Ii,i=1,2,3.,證明:,(1)根據(jù)矩陣乘積的性質(zhì),有,|I2|=|C0TA0C0|,=|C0|2I2,因?yàn)镃0可逆,所以|C0|0,從而|C0|20,同理可證I3和I3同號(hào).,=|C0|2|A0|,于是I2和I2同號(hào).,=|C0T|A0|C0|,3.1二次曲線的(半)不變量,(2),當(dāng)C0是正交矩陣時(shí),|C|=|C0|=1,根據(jù)(1)的證明,可得I2=I2,I3=I3.,a120時(shí),如果,對(duì)于I1,a12=0時(shí)只需作移軸,顯然有I1=I1;,C0TA0C0=,3.1二次曲線的(半)不變量,因此,如果,I1=a11+a22,=a11+a22=I1.,因此,I1=a11+a22,=a11+a22=I1.,C0TA0C0=,3.1二次曲線的(半)不變量,注:(1)命題3.2(2)說(shuō)明經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)變換,I1,I2,I3保持不變,因此它們的確是不變量.,(2)在仿射坐標(biāo)變換下,I1,I2,I3并不是不變的.命題3.2(1)說(shuō)明I2,I3保持正負(fù)性不變,而I1的正負(fù)性不一定保持不變.,例如:設(shè)F(x,y)=2x2y2,此時(shí)I1=1,作仿射坐標(biāo)變換得,F(x,y)=2x24y2,此時(shí)I1=2.,3.1二次曲線的(半)不變量,引理若F(x,y)=0的I20,則對(duì)任何實(shí)數(shù)s,t,有,I1(s,t)0,其中(x,y)是F(x,y)的二次項(xiàng).,證明:,設(shè)(x,y)的矩陣為,則a11a22a122=I20,于是,3.1二次曲線的(半)不變量,=a112s2+2a11a12st+a11a22t2,+a11a22s2+2a12a22st+a222t2,a112s2+2a11a12st+a122t2,+a122s2+2a12a22st+a222t2,=(a11s+a12t)2+(a12s+a22t)2,0.,I1(s,t)=(a11+a22)(a11s2+2a12st+a222t2),3.1二次曲線的(半)不變量,命題3.4如果二次曲線F(x,y)=0的I20,則I10,且作可逆線性變量替換(3.14)后所得的F(x,y)的I1與I1同號(hào).,證明:,因?yàn)镮20,所以a11a22a1220,說(shuō)明a11,a22同號(hào)且不全為零,再根據(jù)A0=C0TA0C0與矩陣乘法的定義,有,于是I1=a11+a220.,另外,根據(jù)命題3.3,I20,同理說(shuō)明I10.,3.1二次曲線的(半)不變量,I1I1=I1(c11,c21)+I1(c12,c22)0.,又因?yàn)镮1,I1都不為零,所以I1I10,即I1,I1同號(hào).,于是由引理,3.1二次曲線的(半)不變量,注:命題3.4說(shuō)明,二次曲線的不變量I1在I20的情況下,其正負(fù)性在作可逆線性變量替換時(shí)也不會(huì)變.,I1,I2,I3在作可逆線性變量替換時(shí)的變化規(guī)律:,(1)I1,I2,I3的值在任一直角坐標(biāo)變換下不變;,(2)I2,I3的符號(hào)在任一仿射坐標(biāo)變換下不變;,(3)當(dāng)I20時(shí),I1的符號(hào)在任一仿射坐標(biāo)變換下不變.,3.1二次曲線的(半)不變量,下面再看乘非零常數(shù)時(shí)的變化規(guī)律:,當(dāng)0時(shí),I1,I2,I3的符號(hào)不變;,當(dāng)1時(shí),I20,曲線為橢圓型:,如果t1,則I1I30,圖像是空集;,如果t1,則I1I30,圖像是橢圓.,(2)當(dāng)|t|1時(shí),I20,圖像是空集;,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,用(半)不變量求二次曲線的最簡(jiǎn)方程,1.二次曲線為橢圓型或雙曲型,則最簡(jiǎn)方程為:,設(shè)二次曲線的方程(3.5)經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)變換,化成了最簡(jiǎn)形式.,由于I1,I2都是不變量,所以有,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,這表明a11,a22是下面一元二次方程的根:,2I1+I2=0,(),稱(chēng)方程()為二次曲線(3.5)的特征方程,它的兩個(gè)實(shí)根稱(chēng)為二次曲線(3.5)的特征根,記為1,2.,由于方程()的判別式,I124I2,0,所以方程()一定有兩個(gè)實(shí)根.,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,又因?yàn)镮3是不變量,所以,從而得,這樣橢圓型或雙曲型二次曲線的最簡(jiǎn)方程可寫(xiě)成:,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,2.二次曲線為拋物線,則最簡(jiǎn)方程為:,由于I1,I2,I3都是不變量,所以有,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,由此得,這樣拋物線的最簡(jiǎn)方程可寫(xiě)成:,3.二次曲線為拋物型,且I3=0,則最簡(jiǎn)方程為:,于是I1=a11,I2=I3=0,且,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,因此,這樣退化的拋物型曲線的最簡(jiǎn)方程可寫(xiě)成:,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,例2設(shè)在直角坐標(biāo)系下二次曲線有下列方程,判斷其類(lèi)型,并求其標(biāo)準(zhǔn)方程:,(1)x23xy+y2+10 x10y+21=0;,(2)x2+4xy+4y220 x+10y50=0.,解:,(1)I1=1+1=2,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,因?yàn)镮20,所以這是雙曲型曲線.,因?yàn)镮30,所以這是雙曲線.,3.2用不變量判斷曲線類(lèi)型,解特征方程225/4=0得,又于是方程可化簡(jiǎn)成:,故它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,3.2