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擺式陀螺尋北儀的原理和穩(wěn)態(tài)方位誤差 航天一院十五所 余祖蔭摘要: 在地球自轉(zhuǎn)水平分量作用下,?？仆勇輸[的自轉(zhuǎn)軸矢端有指北的趨勢(shì)，然而在地球自轉(zhuǎn)垂直分量作用下又有偏離北的趨向，那么從原理上講，穩(wěn)態(tài)條件下，陀螺自轉(zhuǎn)軸矢端到底能否無(wú)誤差地穩(wěn)定在北向（子午面內(nèi)）? 本文回答了這個(gè)題。即，對(duì)于雙軸?？仆勇輸[，由于系統(tǒng)存在兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，因此在地球自轉(zhuǎn)垂直分量作用下，理論上將不存在穩(wěn)態(tài)誤差。文中對(duì)單軸?？仆勇輸[在理論上將存在穩(wěn)態(tài)誤差的問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單說(shuō)明并對(duì)擺式陀螺尋北儀的某些特性提出了新的解釋。主題詞： ?？仆勇輸[ 陀螺尋北儀 穩(wěn)態(tài)誤差 1 雙軸(二自由度)?？仆勇輸[式尋北儀及其原理 雙軸福科陀螺擺式尋北儀也稱為懸掛擺式陀螺尋北儀(下稱擺式尋北儀)。是應(yīng)用廣泛的一種尋北系統(tǒng)。其基本結(jié)構(gòu)是一個(gè)由金屬懸?guī)覓熘耐勇荩勇葑赞D(zhuǎn)軸(下稱H軸)呈水平狀態(tài)。由于陀螺房的懸掛點(diǎn)在陀螺房重心之下，因此構(gòu)成了一個(gè)以此懸掛點(diǎn)為支點(diǎn)的具有兩個(gè)自由度的陀螺擺，如圖1。由于重心在運(yùn)動(dòng)支點(diǎn)下方，陀螺繞通過(guò)支點(diǎn)的水平軸的運(yùn)動(dòng)在某種程度上將受到重力的約束，呈現(xiàn)半自由狀態(tài)，因此稱它是“1.5”自由度的陀螺更為恰當(dāng)。 由于采用懸?guī)闲詰覓旖Y(jié)構(gòu)，從而消除了普通機(jī)械懸掛產(chǎn)生的摩擦干擾力矩，同時(shí)具有自動(dòng)對(duì)準(zhǔn)鉛垂方向的能力，因此系統(tǒng)可以達(dá)到極高的尋北精度。 雙軸福科陀螺擺與地球組成的特殊的力學(xué)系統(tǒng)具有非常獨(dú)特的動(dòng)態(tài)特性。假設(shè)初始狀態(tài)下，H軸指向東，由于地球自轉(zhuǎn)角速度 (下稱地速)水平分量的作用，地面將相對(duì)慣性空間發(fā)生傾斜，但由于陀螺的定軸性，H軸的表觀運(yùn)動(dòng)將是其矢端向上抬高(在北半球)。又由于懸掛支點(diǎn)在陀螺房重心的上面，因此將產(chǎn)生一重力矩。在此重力矩作用下，H軸將產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)方向正好是使H矢端向北運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到北向(更確切地說(shuō)應(yīng)該是子午面內(nèi),以下同)時(shí)，作用到陀螺上的水平分量“消失”，但由于陀螺房的慣性和陀螺擺的等效慣性(見(jiàn)后)作用，擺動(dòng)不會(huì)停在北向，而是越過(guò)北向。越過(guò)北向之后地速水平分量對(duì)陀螺的作用反向，產(chǎn)生的反向力矩再次使之歸回北向，從而形成對(duì)稱子午面的擺動(dòng)。2 擺式北儀的運(yùn)動(dòng)方程為了分析擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，首先建立其運(yùn)動(dòng)微分方程。陀螺擺的懸掛支點(diǎn)是陀螺房的懸?guī)A持點(diǎn),因此陀螺擺的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)該是以此支點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸的三維轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程.實(shí)際上,由于采用懸?guī)У奶厥鈶覓旆绞? 陀螺擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中除去轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)之外還存在三維方向的平移運(yùn)動(dòng),但是由于平移運(yùn)動(dòng)與尋北測(cè)量之間的關(guān)系不大(只是在研究干擾運(yùn)動(dòng)時(shí)需要考慮)因此在討論尋北原理時(shí)不予考慮.三維小角度線性化轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，也即三維力矩平衡方程為： (1) (2) (3） (1)式為獨(dú)立方程,與(2)和(3)式無(wú)關(guān),而(2)和(3)式為聯(lián)立方程.(1)式中的角是沿陀螺H軸的，與陀螺方位和俯仰進(jìn)動(dòng)特性(即陀螺特性)無(wú)關(guān),而尋北測(cè)量只關(guān)心方位角的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,所以(1)式可以不加討論而只需研究另外兩軸的運(yùn)動(dòng)方程?；蛘哒f(shuō),由于系統(tǒng)為兩個(gè)自由度陀螺，只須用兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述。假設(shè)Z軸為通過(guò)陀螺房懸掛點(diǎn)和陀螺房的重心的連線向上為正，X軸為通過(guò)陀螺房懸掛點(diǎn)并且垂直于陀螺轉(zhuǎn)子軸的水平輸入軸，Y軸為通過(guò)陀螺房懸掛點(diǎn)并且平行于陀羅轉(zhuǎn)子軸（H軸）。式中 H 陀螺動(dòng)量矩或陀螺自轉(zhuǎn)角速度矢量； Jx 陀螺房繞懸掛點(diǎn)而平行于陀螺水平輸入軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； Jy 陀螺房繞懸掛點(diǎn)而平行于 Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量( Y軸平行于陀羅轉(zhuǎn)子軸H)； 陀螺房繞懸掛點(diǎn)而平行于 Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; a 繞 z軸的轉(zhuǎn)角，即H軸相對(duì)子午面的夾角或稱方位角； b 繞 X 軸的轉(zhuǎn)角,即H軸相對(duì)水平面的夾角或稱H軸的抬高角； 繞 Y 軸的轉(zhuǎn)角,即繞陀羅H軸的轉(zhuǎn)角; Cx 陀螺房繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的阻尼系數(shù)； CZ 陀螺房繞 Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的阻尼系數(shù)； DB 懸?guī)まD(zhuǎn)剛度； we 地球自轉(zhuǎn)角速度； l 觀測(cè)地點(diǎn)的緯度； m 陀螺房(含陀螺)質(zhì)量；l 擺長(zhǎng)，即陀螺房重心到陀螺房懸掛點(diǎn)的距離。當(dāng)忽略空氣摩擦力矩和懸吊扭轉(zhuǎn)剛度(通?？赏ㄟ^(guò)使上懸?guī)A跟蹤陀螺房的擺動(dòng)并使之達(dá)到相對(duì)靜止來(lái)近似地實(shí)現(xiàn)無(wú)扭轉(zhuǎn)力)，并考慮到a，b為小角度(通常在使用時(shí)也確如此)，以及，從而得到第二次簡(jiǎn)化式。繞鉛垂輸出軸: (4) 繞水平輸出軸: (5)此時(shí)擺動(dòng)將為無(wú)阻尼振蕩過(guò)程，其復(fù)合擺動(dòng)周期為: (6) 圖1 圖2 陀螺自轉(zhuǎn)角速度矢端在東西鉛垂面內(nèi)的投影為一橢圓，其長(zhǎng)軸在水平面之上(南半球時(shí)在水平面之下，赤道時(shí)正好在水平面內(nèi));其短軸在子午面內(nèi)，如圖2。在考慮到阻尼時(shí)，上述封閉橢圓為一衰減螺旋線，其收斂點(diǎn)也在子午面內(nèi)。 式(6)指出，擺動(dòng)周期與擺長(zhǎng)的平方根成反比，這一點(diǎn)和常見(jiàn)的單擺周期特性不同。這是因?yàn)?，在這里，擺長(zhǎng)是構(gòu)成重力擺矩的正比參量，而重力擺矩乃等效于擺繞X軸的彈性剛度。從(6)中還可以看出：H/mgl構(gòu)成一個(gè)繞Z軸的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通常它比大得多，這就是為什么陀螺擺系統(tǒng)的“動(dòng)擺”(即H0時(shí))周期比陀螺馬達(dá)靜止(即H0時(shí))時(shí)的“靜擺”周期大得多的原因。 當(dāng)觀測(cè)地點(diǎn)在赤道時(shí)，l=0，只有地速的水平分量作用于陀螺，衰減振蕩過(guò)渡過(guò)程結(jié)束之后， H軸將停在北向。可見(jiàn)，地速水平分量是促成擺式陀螺尋北儀尋北的有用分量。當(dāng)觀測(cè)地點(diǎn)不在赤道時(shí)，除去上述水平分量外，陀螺還將感受到地速垂直分量。此時(shí) H矢端將不斷出現(xiàn)從北向偏離的表觀運(yùn)動(dòng)(在北半球，H軸矢端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))?？梢?jiàn)，地速垂直分量是一種干擾分量。 現(xiàn)在假設(shè)此系統(tǒng)先處在赤道上，由于沒(méi)有垂直分量的干擾作用，有阻尼的擺系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后H軸無(wú)疑將穩(wěn)定在北向，陀螺 H軸方位上的表觀運(yùn)動(dòng)為零。如果這時(shí)再將其移開(kāi)赤道，例如向北移動(dòng)，則系統(tǒng)將開(kāi)始受到地速垂直分量的影響，即相對(duì)慣性空間在鉛垂方向給系統(tǒng)加入一個(gè)等速輸入量。那么，在忽略懸掛扭轉(zhuǎn)力矩的條件下，陀螺擺系統(tǒng)在這一等速干擾輸入下是否還能夠使其 H軸矢端穩(wěn)定在北向而無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差呢？或是存在某個(gè)穩(wěn)態(tài)誤差而穩(wěn)定在某個(gè)微小偏北角方向上呢 ？換句話說(shuō)，這種尋北系統(tǒng)的尋北精度是否存在著一個(gè)不為零的理論極限？在研究擺式陀螺尋北儀時(shí)這是一個(gè)應(yīng)該回答的理論問(wèn)題.3陀螺擺系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性框圖及穩(wěn)態(tài)誤差分析為了進(jìn)行穩(wěn)態(tài)誤差分析，這里利用線性控制系統(tǒng)理論中的無(wú)差度的概念，并且仍然利用小參數(shù)線性化微分方程組，即在陀螺自轉(zhuǎn)軸矢端偏北為小角度條件下進(jìn)行分析。然后根據(jù)線性微分方程畫出系統(tǒng)框圖。這種簡(jiǎn)化不會(huì)影響分析問(wèn)題的本質(zhì)。 SSSSSJYmgl a 圖 3 圖3為用框圖表示的擺式陀螺尋北儀在無(wú)人為約束條件下的線性化動(dòng)態(tài)特性。S為拉氏變換算子。這里把地速垂直分量(相對(duì)慣性空間)作為系統(tǒng)輸入，輸出為H軸的偏北角。 顯然，若系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，H軸在方位上無(wú)表觀運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)陀螺H軸相對(duì)慣性空間的進(jìn)動(dòng)角速率必須正好等于地速垂直分量。過(guò)渡過(guò)程結(jié)束即意味著系統(tǒng)中，慣性力矩分量和阻尼力矩分量衰減為零。 圖中看出，系統(tǒng)向前回路有幾個(gè)并聯(lián)支路，但其主回路開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中存在兩個(gè)積分環(huán)節(jié)。第一個(gè)積分環(huán)節(jié)是繞鉛垂軸z的，第二個(gè)積分環(huán)節(jié)是繞水平輸入軸X的。 根據(jù)控制系統(tǒng)理論：一個(gè)具有單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)中，若其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中存在兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，則該系統(tǒng)稱為二階無(wú)差度系統(tǒng)。這種系統(tǒng)在等速輸入下，輸出與輸入之間不但有相同的速度(無(wú)速度誤差)而且不存在位置誤差。這就是說(shuō)，在地速垂直分量的干擾作用下，陀螺擺系統(tǒng)仍然具有尋北能力，陀螺轉(zhuǎn)子最終將穩(wěn)定在子午面或以子午面為擺動(dòng)平衡位置擺動(dòng)而不存在穩(wěn)態(tài)誤差，也即其尋北誤差的理論極限為零。 從開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，在忽略了空氣阻尼和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后此系統(tǒng)內(nèi)各環(huán)節(jié)都是無(wú)慣性的。這里試解釋為：正是由于陀螺進(jìn)動(dòng)所具有的無(wú)慣性特性，才構(gòu)成了這種特殊的具有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的無(wú)源閉環(huán)自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。4穩(wěn)態(tài)的形成及其特性 前面提到，陀螺自轉(zhuǎn)軸在方位上無(wú)表觀運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明它相對(duì)慣性空間也以地速垂直分量的速度在轉(zhuǎn)動(dòng)。產(chǎn)生這種運(yùn)動(dòng)的原因可從運(yùn)動(dòng)微分方程的穩(wěn)態(tài)解得出. (7) 上式說(shuō)明，此時(shí)陀螺H軸失端將相對(duì)水平面自動(dòng)抬高某個(gè)角度(若在南半球，則低下某個(gè)角度,此角度值是緯度的函數(shù))，以產(chǎn)生一個(gè)重力矩。在此重力矩作用下，陀螺H軸產(chǎn)生一個(gè)繞鉛垂軸的進(jìn)動(dòng)角速度，它正好等于地速垂直分量以及由于抬高角而引入的水平分量在垂直方向上的二次投影分量之和。這就是說(shuō)，陀螺H軸自動(dòng)產(chǎn)生的抬高角所形成的重力矩造成的進(jìn)動(dòng)角速度補(bǔ)償了地速垂直分量的干擾。 當(dāng)存在干擾力矩(例如，因基座振動(dòng)動(dòng)產(chǎn)生的整流力矩)使上述抬高角發(fā)生變化,H軸失端繞鉛垂軸的進(jìn)動(dòng)角速度將大于或者小于地速垂直分量,則H軸失端將以順時(shí)針或者反時(shí)針?lè)较蚱x子午面.在北半球,假設(shè)平均干擾抬高角為正,則偏離角為順時(shí)針, 陀螺輸入軸將再次感受到地速水平分量:在此水平分量的作用下,驅(qū)使H軸失端再次返回北向,最后穩(wěn)定(平衡)在點(diǎn). （8）此穩(wěn)定點(diǎn)即為干擾運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的尋北誤差. 上式指出,在干擾運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生同樣的抬高角的情況下,擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，產(chǎn)生的尋北誤差越大（對(duì)大多數(shù)干擾運(yùn)動(dòng)和干擾力矩的分析結(jié)果也會(huì)得出類似的結(jié)論）.這就是為什么不能無(wú)限制地通過(guò)加大擺長(zhǎng)來(lái)提高擺動(dòng)周期的原因。從上式還可以看出，上述誤差還將隨著測(cè)量地點(diǎn)的緯度提高而加大。實(shí)際系統(tǒng)中，此抬高角是不易觀察到的。在赤道上此抬高角為零。當(dāng)工作在地球兩極時(shí)，抬高角達(dá)到實(shí)際的最大值，如式(9)，但此時(shí)北向已不復(fù)存在，陀螺軸將是隨遇穩(wěn)定，不再有振蕩過(guò)程(表觀運(yùn)動(dòng)仍然為零)，或振蕩周期為無(wú)窮大。 (9) 當(dāng)陀螺房質(zhì)量給定時(shí)，重力矩將由擺長(zhǎng)決定。擺長(zhǎng)過(guò)小將使抬高角過(guò)大，擺長(zhǎng)為零時(shí)成為無(wú)重力約束的自由陀螺而失去尋北能力。 當(dāng)重力矩變到無(wú)窮大時(shí)，繞水平輸入軸的(半個(gè))自由度消失，上述抬高角永遠(yuǎn)為零，則雙自由度?？仆勇輸[變?yōu)閱巫杂啥雀？仆勇輸[。在失去了一個(gè)自由度的同時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中也失去了一個(gè)積分環(huán)節(jié)而成為一階無(wú)差度系統(tǒng)。雖然這種系統(tǒng)在地速水平分量作用下，H軸也有尋北能力，但是當(dāng)測(cè)量地點(diǎn)的緯度不為零時(shí)，陀螺H軸不能自動(dòng)產(chǎn)生抬高角來(lái)補(bǔ)償?shù)厮俅怪狈至康母蓴_作用。為了使H軸的穩(wěn)態(tài)方向或擺動(dòng)平衡位置維持在北向附近(假設(shè)H軸在水平狀態(tài)下)，H軸將產(chǎn)生某個(gè)穩(wěn)態(tài)誤差角Da(即使忽略系統(tǒng)繞垂直軸的摩擦力矩). 此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差將隨緯度的提高而加大，因此?？茊巫杂啥葘け眱x又稱為偏差陀螺尋北儀。一般情況下(除非測(cè)量地點(diǎn)接近兩極)，此項(xiàng)誤差也很小，而框架垂直軸的摩擦力矩產(chǎn)生的誤差要顯著得多。 為了提高單自由度尋北儀的尋北精度，通常不采用簡(jiǎn)單的擺動(dòng)測(cè)量方式而是采用指北力矩測(cè)量方式或者在陀螺控制回路加入一個(gè)積分環(huán)節(jié)以便消除由地速垂直分量所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。5結(jié)論 雙軸擺式陀螺尋北儀尋北測(cè)量時(shí)，由于地速水平分量的作用使陀螺自轉(zhuǎn)軸總是趨向于北，而地速垂直分量的作用又使其不斷偏離北向。但由于這種陀螺系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，存在兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成一個(gè)二階無(wú)差度的系統(tǒng)，使其在地速垂直分量的干擾下，陀螺H軸的平衡位置仍然能穩(wěn)定在子午面內(nèi)，理論上不存在