高量7-密度矩陣ppt課件

.,1,14密度矩陣,14.1純態(tài)和混合態(tài),一、定義,1.純態(tài)：,如果量子系統(tǒng)的態(tài)可以用Hilbert空間的一個矢量來描寫，這種態(tài)稱為純態(tài)。,兩個純態(tài)通過疊加可以得到另一個狀態(tài),顯然也是Hilbert空間中的一個矢量，故也是純態(tài)。,.,2,注意：我們過去所討論的是某一物理量的取值概率。,2.混合態(tài)：,如果量子系統(tǒng)所處的狀態(tài)，由于統(tǒng)計物理的原因或量子力學(xué)本身的原因無法用一個態(tài)矢量來描寫，系統(tǒng)并不處在一個確定的態(tài)中，而是有可能處在,這種狀態(tài)沒法用態(tài)矢量來表示，稱為混合態(tài)。,.,3,比如，一個系統(tǒng)處在態(tài)的概率為，處于態(tài)的概率為。系統(tǒng)的這個態(tài)目前還無法作簡單的描寫，只能用下面的寫法來描述這個態(tài),二、物理量A在純態(tài)和混合態(tài)中的平均值,通過研究這個問題看純態(tài)與混合態(tài)的區(qū)別。,對于純態(tài),.,4,假設(shè),則在上述純態(tài)中，物理量A取值的概率是,而在混合態(tài)中，若系統(tǒng)處在態(tài)，則A取的概率幅是。若系統(tǒng)處在態(tài)，則為。,系統(tǒng)既然以概率處于態(tài)，以概率處在態(tài)，那么A取的概率為,這與上式顯然不同。,.,5,具體到X表象，若純態(tài)的態(tài)函數(shù)為,則混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可寫成,粒子處于點的概率在純態(tài)中為,而在混合態(tài)中為,.,6,前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加。我們說微觀粒子表現(xiàn)波動性，正是指相干疊加而言。,由此可以看出，在純態(tài)中兩個態(tài)和發(fā)生干涉現(xiàn)象，而混合態(tài)則不發(fā)生干涉，各自表現(xiàn)出自己的位置概率。所以兩個態(tài)形成純態(tài)是相干疊加，而形成混合態(tài)是不相干疊加。,而在純態(tài)中，兩態(tài)疊加已形成一個新態(tài)，它原則上已不再原封不動具有原來兩個態(tài)的性質(zhì)了。,在混合態(tài)中，系統(tǒng)有一定的概率處于態(tài)。當它處于此態(tài)時,它具有態(tài)所有的全部性質(zhì).對于態(tài)也是一樣。,.,7,三、兩點說明,有時會看到一種解釋，說在所表現(xiàn)的純態(tài)中，“是系統(tǒng)處于態(tài)的概率，是處于態(tài)的概率”，這種說法是不對的。,若把分別換成，這倒是對混合態(tài)的正確理解。,純態(tài)是一個全新的態(tài)，處于純態(tài)的系統(tǒng)，不再有可能處于態(tài)或態(tài)。,.,8,2.如果在中，都是某算符A的本征態(tài)，本征值分別為，則在純態(tài)中物理量A取值的概率確是。,但物理量取或的概率并不等于系統(tǒng)處于態(tài)和態(tài)的概率。系統(tǒng)處于態(tài)中，不見得取值。,比如算符B仍有取值的概率。對于純態(tài)來講，系統(tǒng)就是處于態(tài)，不存在“系統(tǒng)處在某態(tài)的概率”這一概念。,就看測哪一個力學(xué)量。,.,9,從統(tǒng)計規(guī)律性的角度看，由純態(tài)描寫的統(tǒng)計系綜稱為純粹系綜，而由混合態(tài)描寫的統(tǒng)計系綜稱為混合系綜。,下面看如何用一個單一的數(shù)學(xué)量來描述混合態(tài)。,14.2密度算符與密度矩陣,一.密度算符,1.定義,純態(tài)中的定義,設(shè)是Hilbert空間中的一個歸一化的矢量，用其來描寫狀態(tài)，則A在態(tài)中平均值可寫為,系綜（ensemble）：在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的、處于各種運動狀態(tài)的、各自獨立的系統(tǒng)的集合。,.,10,密度算符與概率的關(guān)系,取一組基矢，利用其完全性關(guān)系有,這是一個新算符，稱為密度算符。它由態(tài)矢量完全確定。,注意構(gòu)造密度算符時必須注意使用歸一化的態(tài)矢量。,我們再來看物理量A在態(tài)中取值的概率,這個概率是密度算符在本征態(tài)中的平均值。,定義,此時,.,11,由以上兩式可知，對于純態(tài)，凡是能用態(tài)矢給出的信息，都可以同樣用密度算符給出。因此是可以完全代替態(tài)矢量來描寫純態(tài)的另一種數(shù)學(xué)量。,混合態(tài)中的定義,取如下一般的混合態(tài),先求物理量A在此混合態(tài)中的平均值。,.,12,在混合態(tài)中，一個物理量求平均值要通過兩次平均手續(xù)：,（2）統(tǒng)計物理平均求出各量子平均以不同的概率出現(xiàn)時的平均，即,（1）量子力學(xué)平均求出A在每一個中的平均值；,同樣利用一組基的完全性關(guān)系，有,.,13,如果令,稱為混合態(tài)的密度算符或統(tǒng)計算符。,同樣，在混合態(tài)中物理量A取值的概率應(yīng)為量子力學(xué)的概率與統(tǒng)計物理的概率乘積之和，即,則,.,14,在混合態(tài)中測A的平均值,在混合態(tài)中測A得概率,上式連同式,與純態(tài)情況下的形式一樣，只不過混合態(tài)的密度算符是參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權(quán)平均。,.,15,來表示混合態(tài)方便多了。同時可以看到，純態(tài)是混合態(tài)的一個特殊情況。,至此，我們找到了密度算符這個量取描述混合態(tài)，是Hilbert空間中的一個算符，這比用下式,.,16,方程的推導(dǎo),2.Liouville方程,在HP空間中，態(tài)矢量不含時，因此密度算符是一個不隨時間而變的算符,在SP空間中，密度算符則是一個含時算符,利用薛定諤方程,對上式進行求導(dǎo)，可得密度算符隨時間變化的規(guī)律,.,17,這就是密度算符的運動方程，稱為Liouville方程。,注意此式的形式與HP中描述物理量算符的運動方程,有所不同。,.,18,注意到跡的運算：,方程的應(yīng)用舉例,可以利用Liouville方程計算一個不顯含時間的物理量在混合態(tài)中的平均值隨時間的變化,trA,BC=tr(ABC-BAC)=tr(BCA-BAC)=trB(CA-AC)=trBC,A,這正是初量中所學(xué)的公式力學(xué)量的平均值隨時間的變化。,則有,.,19,3.密度算符的性質(zhì),對一個一般的混合態(tài),其中是參與構(gòu)成混合態(tài)的那些態(tài)，是相應(yīng)的權(quán)重。,通常是系統(tǒng)哈密頓的各個本征態(tài)，因此構(gòu)成一組基矢。,但當哈密頓有簡并本征值時,未必是互相正交的,所以在下面混合態(tài)性質(zhì)的討論和證明中，盡可能不用互相正交的條件，也不要求它們一定線性相關(guān)，只要求它們是歸一化的。,對于純態(tài),.,20,密度算符的跡,有,證明,.,21,不重疊,因為當時,又,所以,對于,.,22,而當時，這是個純態(tài)，顯然,從另一方面講，若是個純態(tài)，并用表示，則,那么,顯然上述證明不論是否兩兩正交都是成立的。,.,23,密度算符的厄米性,若K表象的基矢為，則密度算符的矩陣元（后面還要介紹）可寫為,所以密度算符是厄米算符。,由此引出第三個性質(zhì)：,.,24,厄米算符本征矢量的混合態(tài)的性質(zhì),1)若混合態(tài)是由一系列相互正交態(tài)構(gòu)成，即對一切i,j成立，則密度算符的本征矢量就是參與構(gòu)成此混合態(tài)的那些態(tài)，而相應(yīng)的本征值就是權(quán)重，即,證明,對于不是兩兩正交的情況，這一性質(zhì)不成立。但在這種情況下，密度算符仍是厄米算符，因而肯定有一系列本征矢,并設(shè)為,相應(yīng)的本征值為，即,.,25,則密度算符肯定可以寫成,而作為厄米算符的本征矢，肯定彼此正交。,2)由前面的討論可知，當參與構(gòu)成混合態(tài)的各態(tài)（參與態(tài)）不全正交時，我們還可以用另外一套正交的參與態(tài)構(gòu)成一個相同的密度算符。,問題：這兩組混合態(tài)是否相同的態(tài)？,兩種看法：,1從實驗角度看，與兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態(tài)構(gòu)成的混合態(tài)，當然是不同的態(tài)；,.,26,從理論角度看，對于這兩個混合態(tài)，量子力學(xué)所能得到的信息又是完全一樣的。從密度算符上完全無法判別它們的不同，因此又可以認為是同一個混合態(tài)。我們采用后一種看法。,3一個密度算符為的混合態(tài)，可以用不同參與態(tài)以不同權(quán)重構(gòu)成,但若要求參與態(tài)彼此正交,則只有一種構(gòu)成方式，這時參與態(tài)就是本征態(tài)。,這樣很自然地產(chǎn)生一個問題：能否只用一組基矢作為參與態(tài)，把系統(tǒng)所有的混合態(tài)表現(xiàn)出來？,從混合態(tài)中能得到什么量子力學(xué)信息？,如某一力學(xué)量在其中取某個本征值的概率。,.,27,用完全性關(guān)系作用于的左右兩邊，有,我們試一下：,即必須滿足兩個必要條件，即,令,這樣,則,.,28,由以上三式可見，用一組正交基表現(xiàn)一個系統(tǒng)的全部混合態(tài)是可能的。,一個系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表示成如下形式,.,29,這個形式的密度算符可以認為是形式的推廣。這時不一定是混合態(tài)的參與態(tài)。,當是參與態(tài)時,(14.27)恢復(fù)為上式。,當系統(tǒng)的混合態(tài)的參與態(tài)不是,而是其它正交基或是不完全正交的一組態(tài)時，系統(tǒng)的混合態(tài)就要用(14.27)表示。式中的可以看成是的推廣。,其實就是以為基的密度矩陣。,.,30,二.約化密度矩陣,1.定義,密度算符在一個具體表象中的矩陣表示稱為密度矩陣。在SP表象中，密度矩陣是含時的，而在HP表象中則是不含時的。,設(shè)K表象的基矢為，則K表象中的密度矩陣為,.,31,常常用到位置表象中的密度矩陣。這時密度矩陣是以連續(xù)編號的連續(xù)矩陣：,其跡為,如果參與構(gòu)成混合態(tài)的都是物理量K的本征態(tài)，則這個混合態(tài)在K表象中的密度矩陣是對角矩陣，其對角元是相應(yīng)的本征值。,.,32,2.約化密度矩陣,常常有這樣的情況，有一個大系統(tǒng)，而希望求平均值的那個物理量只與系統(tǒng)的一部分有關(guān)。例如在粒子1,2構(gòu)成的系統(tǒng)中，希望求粒子1的某一物理量F(1)的平均值。這時上述所有的內(nèi)容仍舊適用。不過可以做一些簡化。,對上述提到的雙粒子系統(tǒng)，設(shè)粒子1和2各有一組基矢。則在1,2兩粒子空間的直積空間中，系統(tǒng)態(tài)矢的一般形式為,為使歸一化，系數(shù)應(yīng)滿足,.,33,處于純態(tài)時，系統(tǒng)的密度算符是,則密度矩陣元是,現(xiàn)在求粒子1的某物理量F(1)的平均值：,比較式,.,34,即,令,的意思是只對粒子2取跡，取跡后的仍是粒子1空間的算符，稱為描寫粒子1的約化密度算符；,它在粒子1的某一表象（例如以為基矢的表象）中的矩陣，稱為粒子1的約化密度矩陣。,.,35,這一表示完全與粒子2無關(guān)，是一個只在粒子1空間中的關(guān)系。,即,由上式可知，在一個雙粒子系統(tǒng)中，只討論一個粒子的物理量的平均值，其關(guān)系與粒子1處于一個單粒子狀態(tài)時的一樣。,這樣F(1)的平均值成為,.,36,這是一與式相同類型的密度算符。,.,37,14.3例題,關(guān)于自旋態(tài)的例子,例1設(shè)是自旋的本征態(tài)，分別對應(yīng)于本征值，比較下列的純態(tài)和混合態(tài),純態(tài):,混合態(tài):,解:,我們?nèi)”硐?，設(shè),.,38,（1）純態(tài):,.,39,注意：與通常方法所算出的平均值一樣。,同理可得,（2）混合態(tài):,由此算出,.,40,（3）討論,由所得結(jié)果可明顯看出，混合態(tài)確是兩個態(tài)的不相干疊加：在混合態(tài)中保存了原有兩態(tài)的特點，如在態(tài)中，的平均值均為零，即,在這兩個態(tài)的混合態(tài)中，平均值仍保持為零，而的平均值為原兩態(tài)的加權(quán)平均，即,.,41,所以可以說，處于混合態(tài)中的粒子，以權(quán)重處于態(tài)中，以權(quán)重處于態(tài)中。,.,42,因此不能說，處于純態(tài)中的粒子“部分地處于態(tài)，部分地處于態(tài)”。,可見當討論兩個態(tài)疊加成一個純態(tài)時，僅僅用一個算符（如）的本征態(tài)為例來說明是不夠的。只有用一個算符（如）的兩個非本征態(tài)才能明顯看出純態(tài)與同權(quán)重的混合態(tài)的不同。,而純態(tài)則不相同.本例的純態(tài)有意選擇，的平均值與混合態(tài)相同。但兩個態(tài)疊加后出現(xiàn)了原態(tài)中都沒有的性質(zhì):疊加態(tài)中平均值不再為零。,.,43,把表象基矢稍微改變一下，給換一相因子，取,在則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化：,由此得出,.,44,平均值也發(fā)生了很大變化，顯然已經(jīng)不是原來那個純態(tài)了。此時混合態(tài)的密度矩陣為,可見并沒有發(fā)生變化。這就是說，在相干疊加構(gòu)成純態(tài)時，兩個態(tài)的相因子非常重要。,嚴格來說，本例開頭問題的提法是不完全的，因為只給出了，而沒有給出其相對相位。選擇基矢時必須連同相位一起選定。,.,45,是密度算符，其本征矢量與本征值很容易算出為,解：這個態(tài)的密度矩陣是,可以算出,例2研究下列混合態(tài),.,46,例3討論一個約化密度矩陣。設(shè)有一個雙粒子系統(tǒng)，第一個是電子，第二個是質(zhì)子。設(shè)在二粒子自旋空間的直積空間中，4個基矢的次序及定義如下：,(14.38)式所表示的混合態(tài)，其密度矩陣是(14.37)式，與（14.36）式所表示的混合態(tài)密度矩陣相同。通常認為(14.36)式與（14.38）式是相同的混合態(tài)。前者的參與態(tài)是不正交的，而后者則是正交的。,（14.38）,.,47,現(xiàn)在取這個雙粒子系統(tǒng)的一個純態(tài),求其中電子自旋的平均值。,首先用整個系統(tǒng)的密度矩陣來做，然后再用約化