2016年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 19 頁） 2016 年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求 1集合 A=x| 2 x 1， B=x| 1 x 2，則 A B=（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 1） C（ 2， 2） D（ 1， 2） 2數(shù) z 滿足（ 1+z）（ 1+2i） =i，則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z 的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 為實數(shù)，則 “=2（ k Z） ”是 “”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 4大學(xué)生甲、乙、丙為唐山世園會的兩個景區(qū)提供翻譯服務(wù)，每個景區(qū)安排一名或兩名大學(xué)生，則甲、乙被安排到不同景區(qū)的概率為（ ） A B C D 5執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入 M 的值為 1，則輸出的 S=（ ） A 6 B 12 C 14 D 20 6已知 a=b=c= a， b， c 的大小關(guān)系是（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 7若實數(shù) x， y 滿足 ，則 z=3x+4y 的最大值是（ ） A 3 B 8 C 14 D 15 8函數(shù) f（ x） =x+ ） +2x+ ）的最大值是（ ） A 1 B C 2D 9橢圓 =1（ 0 m 1）上存在點 P 使得 m 的取值范圍是（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A ， 1） B（ 0， C ， 1） D（ 0， 10在 ， ， 0， E 為 中點，則 =（ ） A 6 B 12 C 6 D 12 11在四棱錐 P ， 底面 面 正方形， B，該四棱錐被一平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） = x 在 0， 1）上的最大值為 m，在（ 1， 2上的最小值為n，則 m+n=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填寫在題中橫線上 13已知雙曲線 C 的焦點在 x 軸上，漸近線方程是 y= 2x，則 C 的離心率 e= 14已知 三邊長分別為 2， 3， ，則 面積 S= 15已知函數(shù) f（ x） =1，若 x 軸為曲線 y=f（ x）的切線，則 a= 16已知 球 O 的直徑， C， D 為球面上兩動點， 四面體 積的最大值為 9，則球 O 的表面積為 三、解答題：本大題共 70 分，其中（ 17） -（ 21）題為必考題，（ 22），（ 23），（ 24）題為選考題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17已知等差數(shù)列 前 n 項和為 7， （ ）求 通項公式； （ ）數(shù)列 足 ， =2數(shù)列 通項公式 18二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的某一型號二手汽車的使用年數(shù) x（ 0 x 10）與銷售價格 y（單位：萬元 /輛）進行整理，得到如表的對應(yīng)數(shù)據(jù)： 使用年數(shù) 2 4 6 8 10 售價 16 13 7 ）試求 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程；（參考公式： = ， = ） 第 3 頁（共 19 頁） （ ）已知每輛該型號汽車的收購價格為 w=元，根據(jù)（ ）中所求的回歸方程，預(yù)測 x 為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤 z 最大？ 19如圖，在矩形 ， ， ， E 為邊 中點，分別沿 疊，使平面 平面 與平面 直 （ ）證明： 平面 （ ）求點 E 到平面 距離 20已知拋物線 C： x，經(jīng)過點（ 4， 0）的直線 l 交拋物線 C 于 A， B 兩點， M（ 4，0）， O 為坐標(biāo)原點 （ ）證明： ； （ ）若直線 l 的斜率為 k（ k 0），求 的最小值 21設(shè)函數(shù) f（ x） = +（ 1 k） x （ ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ ）若 k 為正數(shù)，且存在 得 f（ k 的取值范圍 請考生在第（ 22），（ 23），（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 接于圓 O， 交于點 F， 圓 O 相切于點 A，與延長線相交于點 E， （ ）證明： A、 E、 D、 F 四點共圓； （ ） 證明： 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 （ 為參數(shù)， 0 ），曲線 曲線 于原點對稱，以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 極坐標(biāo)方程為 =2（ 0 ），過極點 O 的直線 l 分別與曲線 交于點 A， B， C （ ）求曲線 極坐標(biāo)方程； （ ）求 |取值范圍 選修 4等 式選講 第 4 頁（共 19 頁） 24已知函數(shù) f（ x） =|x+1|+m|x 1| （ ）當(dāng) m=2 時，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ ）若 m 0， f（ x） 2m，求 m 的最小值 第 5 頁（共 19 頁） 2016 年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求 1集合 A=x| 2 x 1， B=x| 1 x 2，則 A B=（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 1） C（ 2， 2） D（ 1， 2） 【考點】 并集及其 運算 【分析】 由 A 與 B，求出兩集合的并集即可 【解答】 解： A=x| 2 x 1， B=x| 1 x 2， A B=x| 2 x 2 故選： C 2數(shù) z 滿足（ 1+z）（ 1+2i） =i，則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z 的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 由（ 1+z）（ 1+2i） =i，得到 ，再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z 的點的坐標(biāo)，則答案可 求 【解答】 解：由（ 1+z）（ 1+2i） =i， 得 = ， 則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z 的點的坐標(biāo)為：（ ， ），位于第二象限 故選： B 3 為實數(shù)，則 “=2（ k Z） ”是 “”的（ ） A充分不必要條件 B必要 不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由 ，解得 = （ k Z），即可得出 【解答】 解：由 ，解得 = （ k Z）， “=2（ k Z） ”是 “”的充分不必要條件 故選： A 4大學(xué)生甲、乙、丙為唐山世園會的兩個景區(qū)提供翻譯服務(wù)，每 個景區(qū)安排一名或兩名大學(xué)生，則甲、乙被安排到不同景區(qū)的概率為（ ） 第 6 頁（共 19 頁） A B C D 【考點】 古典概型及其概率計算公式 【分析】 大學(xué)生甲、乙、丙為唐山世園會的兩個景區(qū)提供翻譯服務(wù)，每個景區(qū)安排一名或兩名大學(xué)生，利用列舉法求出基本事件總數(shù)和甲、乙被安排到同一景區(qū)包含的基本事件個數(shù) ，由此利用對立事件概率加法公式能求出甲、乙被安排到不同景區(qū)的概率 【解答】 解：大學(xué)生甲、乙、丙為唐山世園會的兩個景區(qū)提供翻譯服務(wù)，每個景區(qū)安排一名或兩名大學(xué)生， 基本事件總數(shù)有（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，乙丙）， 共 6 個基本事件， 其中，甲、乙被安排到同一景區(qū)包含的基本事件有（甲乙，丙），（丙，甲乙），包含兩個基本事件， 甲、乙被安排到不同景區(qū)的概率： p=1 = 故選： D 5執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入 M 的值為 1，則輸出的 S=（ ） A 6 B 12 C 14 D 20 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 M， S， k 的值，當(dāng) k=4 時不滿足條件 k 3，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 12 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 M=1， S=1， k=1 滿足條件 k 3， M=3， S=4， k=2 滿足條件 k 3， M=2， S=6， k=3 滿足條件 k 3， M=6， S=12， k=4 不滿足條件 k 3，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 12 故選： B 6已知 a=b=c= a， b， c 的大小關(guān)系是（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 第 7 頁（共 19 頁） 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)比較三個數(shù)與 1 和 2 的大小得答案 【解答】 解： a=1， b=1， c=， 而 a=， c a b 故選： D 7若實數(shù) x， y 滿足 ，則 z=3x+4y 的最大值是（ ） A 3 B 8 C 14 D 15 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義，即可得到結(jié)論 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由 z=3x+4y 得 y= x+ ， 平移直線 y= x+ 由圖象可知當(dāng)直線 y= x+ 經(jīng)過點 A 時，直線 y= x+ 的截距最大， 此時 z 最大， 由 ，解得 ， 即 A（ 2， 2）， 此時 z=3 2+4 2=6+8=14， 故選： C 8函數(shù) f（ x） =x+ ） +2x+ ）的最大值是（ ） 第 8 頁（共 19 頁） A 1 B C 2D 【考點】 三角函數(shù)的最值 【分析】 由三角函數(shù)公式整體可得 f（ x） =得函數(shù)的最大值為 1 【解答】 解：由三角函數(shù)公式可得 f（ x） =x+ ） +2x+ ） = x+ ） + +2x+ ） =x+ ） x+ ） 2x+ ） =x+ ） x+ ） = x+ ） = 函數(shù)的最大值為 1 故選： A 9 橢圓 =1（ 0 m 1）上存在點 P 使得 m 的取值范圍是（ ） A ， 1） B（ 0， C ， 1） D（ 0， 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由已知得短軸頂點 B 與焦點 成角 90，從而 m，由此能求出 m 的取值范圍 【解答】 解： 橢圓 =1（ 0 m 1）上存在點 P 使得 短軸頂點 B 與焦點 成角 90， m， 由 0 m 1，解得 0 m 故選： B 10在 ， ， 0， E 為 中點，則 =（ ） A 6 B 12 C 6 D 12 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 建立平面直角坐標(biāo)系，代入各點坐標(biāo)計算 【解答】 解以 在直線為 x 軸，以 A 為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系， 則 A（ 0， 0）， B（ 4， 0）， C（ 5， ）， D（ 1， ） E（ ， ） 第 9 頁（共 19 頁） =（ ， ）， =（ 3， ） = = 12， 故選： D 11在四棱錐 P ， 底面 面 正方形， B，該四棱錐被一平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是過 A 的平面截四棱錐 P 畫出圖形結(jié)合圖形求出截取部分的體積與剩余部分的體積之比是多少即可 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是過 平行于 平面截四棱錐 P 得的幾何體； 設(shè) ，則 截取的部分為三棱錐 E 的體積為 V 三棱錐 E 1 1 = ， 剩余部分的體積為 V 剩余部分 =V 四棱錐 P V 三棱錐 E 12 1 = ； 所以截取部分的體積與剩余部分的體積比為 ： =1： 3 故選： B 第 10 頁（共 19 頁） 12已知函數(shù) f（ x） = x 在 0， 1）上的最大值為 m，在（ 1， 2上的最小值為n，則 m+n=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考點】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 通過變形可知 f（ x） =1+ +而可知當(dāng) x 0， 1）時，函數(shù) g（ x） =+足 g（ 2 x） = g（ x），由此可知在區(qū)間 0， 1） （ 1， 2上，函數(shù) f（ x）關(guān)于點（ 1， 1）中心對稱，利用對稱性即得結(jié)論 【解答】 解： f（ x） = x=1+ + 記 g（ x） = +當(dāng) x 0， 1）時， g（ 2 x） = +2 x） = 即在區(qū)間 0， 1） （ 1， 2上，函數(shù) f（ x）關(guān)于點（ 1， 1）中心對稱， m+n=2， 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填寫在題中橫線上 13已知雙曲線 C 的焦點在 x 軸上，漸近線方程是 y= 2x，則 C 的離心率 e= 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)雙曲線的方程為 =1（ a， b 0），求出漸近線方程，可得 b=2a，由 a， b，c 的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值 【解答】 解：設(shè)雙曲線的方程為 =1（ a， b 0）， 由漸近線方程 y= x，可得 =2，即 b=2a， 可得 c= = a， 即有 e= = 故答案為： 14已知 三邊長分別為 2， 3， ，則 面積 S= 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由余弦定理可得一內(nèi)角的余弦值，進而可得正弦值，代入三角形的面積公式計算即可得解 第 11 頁（共 19 頁） 【解答】 解：在 ，由題意，不妨設(shè) 三邊長分別為 a=2， b=3， c= ， 則由余弦定理可得 = = ， = ， 則 面積 S= 3 = 故答案 為： 15已知函數(shù) f（ x） =1，若 x 軸為曲線 y=f（ x）的切線，則 a= 1 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點（ m， 0），代入 f（ x）和導(dǎo)數(shù)式，可得 a， m 的方程，可得 a ，構(gòu)造 g（ a） =a 出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值點，即可得到方程的解為 1 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =1 的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =a， 設(shè)切點為（ m， n），即有 n=0， n=1， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得， a=0， 化為 a ， 由 g（ a） =a 導(dǎo)數(shù)為 g（ a） =1（ 1+= 當(dāng) a 1 時， g（ a） 0， g（ a）遞減；當(dāng) 0 a 1 時， g（ a） 0， g（ a）遞增 可得 a=1 處 g（ a）取得極大值，且為最大值 1 即有方程 a 的解為 1 故答案為： 1 16已知 球 O 的直徑， C， D 為球面上兩動點， 四面體 積的最大值為 9，則球 O 的表面積為 36 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 由題意， 等腰直角三角形，高為球 O 的半徑時，四面體 體積最大，利用四面體 積的最大值為 9，求出 R，即可求出球 O 的表面積 【解答】 解：由題意， 等腰直角三角形，高為球 O 的半徑時，四面體 體積最大， 最大值為 =9， R=3， 球 O 的表面積為 46 故答案為： 36 三、解答題：本大題共 70 分，其中（ 17） -（ 21）題為必考題，（ 22），（ 23），（ 24）題為選考題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17已知等差數(shù)列 前 n 項和為 7， （ ）求 通項公式； （ ）數(shù)列 足 ， =2數(shù)列 通項公式 第 12 頁（共 19 頁） 【考點】 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式 【分析】 （ ）由 得 ，從而可得 d= =2，從而求得通項公式； （ ）由方程可得 =4而求得 以 為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列，從而求通項公式 【解答】 解：（ ）由 得 a1+ 7+， ， d= =2， 所以 前 n 項和： Sn=d = 7n+n（ n 1） =8n， 7+2（ n 1） =2n 9 （ ）由題設(shè)得 =2 ， =2 ， 兩式相除得 =4 又 = ， ， =2 =2 即 以 為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列， 故 n 5 18二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營 的某一型號二手汽車的使用年數(shù) x（ 0 x 10）與銷售價格 y（單位：萬元 /輛）進行整理，得到如表的對應(yīng)數(shù)據(jù)： 使用年數(shù) 2 4 6 8 10 售價 16 13 7 ）試求 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程；（參考公式： = ， = ） （ ）已知每輛該型號汽車的收購價格為 w=元，根據(jù)（ ）中所求的回歸方程，預(yù)測 x 為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤 z 最大？ 【考點】 線性回歸方程 【分析】 （ ）由表中數(shù)據(jù)計算 、 ，求出 、 ，即可寫出回歸直線方程； （ ）寫出利潤函數(shù) z=y w，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出 x=3 時 z 取得最大值 【解答】 解：（ ）由表中數(shù)據(jù)得， = （ 2+4+6+8+10） =6， 第 13 頁（共 19 頁） = （ 16+13+=10， 由最小二乘法求得 = = =10（ 6= 所以 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程為 y= （ ）根據(jù)題意，利潤函數(shù)為 z=y w=（ （ = 所以，當(dāng) x= =3 時，二次函數(shù) z 取得最大值 ； 即預(yù)測 x=3 時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤 z 最大 19如圖，在矩形 ， ， ， E 為邊 中點，分別沿 疊，使平面 平面 與平面 直 （ ）證明： 平面 （ ）求點 E 到平面 距離 【考點】 點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）證明四邊形 平行四邊形，可得 用線面平行的判定定理證明： 平面 （ ）利用 A 點 E 到平面 距離 【解答】 （ ）證明：分別取 點 M， N，連接 由已知可得 為腰長為 4 的等腰直角三角形， 所以 又 平面 平面 交線為 平面 同理可得： 平面 N， 四邊形 平行四邊形 又 面 面 平面 （ ）解：點 E 到平面 距離，也就是三棱錐 E 高 h 連接 第 14 頁（共 19 頁） 在 有 =2 ， 在 有 =4 可得 以 直角三角形 由 A Ch= C 可知 h= 點 E 到平面 距離為 20已知拋物線 C： x，經(jīng)過點（ 4， 0）的直線 l 交拋物線 C 于 A， B 兩點， M（ 4，0）， O 為坐標(biāo)原點 （ ）證明： ； （ ）若直線 l 的斜率為 k（ k 0），求 的最小值 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ I）設(shè)直線方程為 x=，代入拋物線方程得出交點的坐標(biāo)關(guān)系，分別求出 用根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得出結(jié)論； （ k= 和（ I）中的 入 化簡，利用基本不等式得出最值 【解答】 證明：（ ）設(shè) l： x=， A（ B（ 將 x= 代入 x 得 416=0， y1+m， 16 = = = ， 同理： ， 解：（ ） 直線 l 的斜率為 k， k= m 0 = = = （ 164） = =m+ 4， 第 15 頁（共 19 頁） 當(dāng)且僅當(dāng) m= 2 時等號成立， 的最小值為 4 21設(shè)函數(shù) f（ x） = +（ 1 k） x （ ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ ）若 k 為正數(shù)，且存在 得 f（ k 的取值范圍 【考 點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ ）求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，討論 k 的取值，分別解出 f（ x） 0， f（ x） 0 即可得出， （ ）由（ ）可求得函數(shù)的最小值， f（ 其轉(zhuǎn)化成 +1 0，構(gòu)造輔助函數(shù)，判斷其單調(diào)性，即可求得 k 的取值范圍 【解答】 解：（ ） f（ x） =x+1 k = = ， （ ） k 0 時， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增； （ ） k 0 時， x （ 0， k）， f（ x） 0； x （ k， +）， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， k）上單調(diào)遞減， f（ x）在（ k， +）上單調(diào)遞增 （ ）因 k 0，由（ ）知 f（ x） +的最小值為 f（ k） += +k ， 由題意得 +k 0，即 +1 0 令 g（ k） = +1 ，則 g（ k） = + = 0， g（ k）在（ 0， +）上單調(diào)遞增，又 g（ 1） =0， k （ 0， 1）時， g（ k） 0，于是 +k 0； k （ 1， +）時， g（ k） 0，于是 +k 0 故 k 的取值范圍為 0 k 1 請考生在第（ 22），（ 23），（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 接于圓 O， 交 于點 F， 圓 O 相切于點 A，與延長線相交于點 E， （ ）證明： A、 E、 D、 F 四點共圓； （ ）證明： 第 16 頁（共 19 頁） 【考點】 弦切角；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定 【分析】 （ ）由題意證明 已知 證 而可得 A， E， D， F 四點共圓 （ ）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得 而可證 可證明 【解答】 （ 本題滿分為 10 分） 證明：（ ）因為 圓 O 相切于點 A， 所以 因為四邊形 接于圓 O， 所以 又已知 所以 故 A， E， D， F 四點共圓 （ ）由（ ）得 又 弧所對的圓周角相等）， 所以 故 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 （ 為參數(shù)， 0 ），曲線 曲線 于原點對稱，以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 極坐標(biāo)方程為 =2（ 0 ），過極點 O 的直線 l 分別與曲線 交于點 A， B， C （ ）求曲線 極坐標(biāo)方程； （ ）求 |取值范圍 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極