圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

2.2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理,圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。,同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等.,半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直徑.,圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。,圓周角定理,圓心角定理,推論1,推論2,【溫故知新】,如果多邊形所有頂點都在一個圓上.那么這個多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓.,思考:任意三角形都有外接圓.那么任意正方形有外接圓嗎?為什么?任意矩形有外接圓嗎?為什么?等腰梯形呢?為什么?一般地,任意四邊形都有外接圓嗎?為什么?,需要具備什么樣的條件呢？,1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】,直接研究較困難，那么我們可以先從問題的反面思考：如果一個四邊形內(nèi)接于圓，那么這樣的四邊形有什么特征？我們應(yīng)該從哪些角度來思考呢？,1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】,如圖（1）連接OA,OC.則B=,D=,性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).,將線段AB延長到點E,得到圖（2）,（1）,性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.,1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】,性質(zhì)定理1的逆命題：如果一個四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個頂點共圓.,性質(zhì)定理1的逆命題：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.,性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.,1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】,假設(shè)：四邊形ABCD中，B+D=180求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.,分析：不共線的三點確定一個圓，經(jīng)過A、B、C三點可以做一個圓O,如果能由條件得出圓O過D就證明了.,（1）,顯然，點D與圓有且只有三種位置關(guān)系：,（1）點D在圓外；（2）點D在圓內(nèi)；（3）點D在圓上；,2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】,假設(shè)：四邊形ABCD中，B+D=180求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.,證明：(1)如果點D在O外部.,（1）,AEC+B=180,得AEC=D,這與“三角形外角大于任意不相鄰的內(nèi)角”矛盾.,故點D不可能在圓外.,E,因D+B=180,設(shè)E是AD與圓周的交點，連接EC,則有,點D在內(nèi)部怎么證明？,2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】,假設(shè)：四邊形ABCD中，B+D=180求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.,(2)如果點D在O內(nèi)部.,B+ADC=180E=ADC,綜上所述，點D只能在圓周上，即A、B、C、D四點共圓.,點D不可能在O內(nèi).,延長AD交圓于點E,連接CE,則B+E=180,這同樣與“三角形外角大于任意不相鄰的內(nèi)角”矛盾.,2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】,圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個頂點共圓.,當(dāng)問題的結(jié)論存在多種情形時,通過對每一種情形分別論證,最后獲證結(jié)論的方法-窮舉法,推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.,2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】,悟一法,判定四點共圓的方法常有：(1)如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點共圓(2)如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點共圓(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓(4)如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個三角形的四個頂點共圓,思維拓展,圓內(nèi)接平行四邊形一定是_形圓內(nèi)接梯形一定是_形圓形內(nèi)接菱形一定是_形,矩形,等腰梯形,正方形,證明：連接PQ。,在四邊形QFPC中，,FPBCFQAC.,FQA=FPC=90.,Q,F,P,C四點共圓。,QFC=QPC.,又CFAB,QFC與QFA互余.,而A與QFA也互余.,A=QFC.,A=QPC.,A,B,P,Q四點共圓,習(xí)題2.2,1.AD,BE是ABC的兩條高，求證：CED=ABC.,2.求證：對角線互相垂直的四邊形中，各邊中點在同一個圓周上。,3.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AB和DC相交于E,EG平分E,且與BC,AD分別相交于F,G.求證：CFG=DGF.,性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).,性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.,圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個頂點共圓.,推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.,【本節(jié)收獲】,悟一法,(1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理為幾何論證中角的相等或互補(bǔ)提供了一個理論依據(jù)，因而也為論證角邊關(guān)系提供了一種新的途徑(2)在解有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的幾何問題時，既要注意性質(zhì)定理的運(yùn)用，也要注意判定定理的運(yùn)用，又要注意兩者的綜合運(yùn)用(3)構(gòu)造全等或相似三角形，以達(dá)到證明線段相等、角相等或線段成比例等目的,5、如圖，已知四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是的直徑，且EBAD,AD與BC得延長線相交于F，求證：,證明：,連結(jié)AC,A