ch4-控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真.ppt

第4章控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與仿真,最優(yōu)化問(wèn)題提出背景:當(dāng)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型以及對(duì)控制系統(tǒng)的技術(shù)要求給定之后，為了確定控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，需要進(jìn)行大量的計(jì)算。通常的工作步驟是：設(shè)計(jì)者根據(jù)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的了解，先假設(shè)控制器參數(shù)的一組初始值，通過(guò)仿真或者直接在實(shí)際系統(tǒng)上做試驗(yàn)，求出系統(tǒng)對(duì)典型輸入的響應(yīng)特性；然后設(shè)計(jì)者分析所得結(jié)果，并依據(jù)理論分析和以往的經(jīng)驗(yàn)修改控制器參數(shù)；接著再進(jìn)行仿真計(jì)算（或試驗(yàn)）；再分析比較，再修改參數(shù),當(dāng)被控對(duì)象比較簡(jiǎn)單時(shí)以上做法可行。對(duì)于具有若干個(gè)輸入的多回路的復(fù)雜系統(tǒng)，即使花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力，也不見(jiàn)得能夠找到滿(mǎn)足工程要求的最佳控制器結(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的參數(shù)。為了獲得最佳的設(shè)計(jì)效果，出現(xiàn)了最優(yōu)化技術(shù)。為此，提出兩類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.1控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的基本概念,4.1.1兩類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題4.1.2問(wèn)題的提法及專(zhuān)用名詞4.1.3尋優(yōu)途徑及優(yōu)化方法的評(píng)價(jià)4.1.4控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成4.1.5數(shù)字仿真在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.1.1兩類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,1函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題也稱(chēng)為動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于控制器的結(jié)構(gòu)并不知道，需要設(shè)計(jì)出滿(mǎn)足某種優(yōu)化條件的控制器。,例如：應(yīng)該選擇PI控制器，還是PID控制器？,2參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題也稱(chēng)為靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題。在這類(lèi)問(wèn)題中，控制器的結(jié)構(gòu)、形式已經(jīng)確定，而需要調(diào)整或?qū)ふ铱刂破鞯膮?shù)，使得系統(tǒng)性能在某種指標(biāo)意義下達(dá)到最優(yōu)?！纠?.2】對(duì)于如圖4.2所示的PID控制系統(tǒng)，要求尋找理想的控制器參數(shù)，使系統(tǒng)性能指標(biāo)為最優(yōu)。圖4.2,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,在該例中，被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型G(s)已知，PID控制器的類(lèi)型和形式已確定，為式中，Kp,Ti,Td,為控制器參數(shù)。在某個(gè)給定信號(hào)r(t)作用下，測(cè)量系統(tǒng)輸入量r(t)與輸出量之間y(t)的偏差e(t)。顯然，e(t)是Kp,Ti,Td的函數(shù)。選擇作為指標(biāo)函數(shù)。式中，tf為系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,問(wèn)題提法是：如何選擇合適的參數(shù)值，使得目標(biāo)函數(shù)Q為最小，即有本章討論參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.1.2問(wèn)題的提法及專(zhuān)用名詞,1.控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的一般提法當(dāng)被控對(duì)象已知，控制器的結(jié)構(gòu)形式也已確定，需要調(diào)整或?qū)ふ铱刂破鞯哪承﹨?shù)，使系統(tǒng)性能在某種指標(biāo)意義下達(dá)到最優(yōu)。如果目標(biāo)函數(shù)用Q()表示，需要優(yōu)化的一組參數(shù)用向量表示，則對(duì)于數(shù)學(xué)模型為（4.1）的控制系統(tǒng)（式中，t為時(shí)間，x為n維狀態(tài)向量，F(xiàn)為n維系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)構(gòu)向量，為m維尋優(yōu)參數(shù)構(gòu)成的向量），要求在滿(mǎn)足,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,不等式約束hi()0,i=1,2,q（4.2）等式約束gj()=0,j=1,2,p（4.3）等式終端約束Sk(,tf)=0,k=1,2,l（4.4）（式中，tf為終止時(shí)間）的情況下，尋找一組參數(shù)=*，使目標(biāo)函數(shù)滿(mǎn)足（4.5）稱(chēng)*為極小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Q(*)為極小值。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,2.優(yōu)化設(shè)計(jì)專(zhuān)用名詞（1）尋優(yōu)參數(shù)為m維尋優(yōu)參數(shù)向量，也稱(chēng)之為設(shè)計(jì)變量（或設(shè)計(jì)參數(shù)）。（2）約束條件在優(yōu)化過(guò)程中，尋優(yōu)參數(shù)的某些組合情況，可能會(huì)產(chǎn)生一些明顯不合理的設(shè)計(jì)，超出了某些允許范圍。在數(shù)學(xué)上可以化為約束條件。例如，在PID控制器的設(shè)計(jì)中，三個(gè)參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足約束條件Kp0,Ti0,Td0在許多工程問(wèn)題中，約束條件往往不能寫(xiě)成尋優(yōu)參數(shù)的顯函數(shù)形式，只要是“可計(jì)算”的函數(shù)就可以了。例如，在PID控制系統(tǒng)中，超調(diào)量%是控制器參數(shù)Kp,Ti,Td的函數(shù)，但是不一定能具體寫(xiě)出來(lái)。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,（3）目標(biāo)函數(shù)在控制器的所有可行設(shè)計(jì)中，有些設(shè)計(jì)方案比另一些“要好些”。好的設(shè)計(jì)比差的設(shè)計(jì)肯定具有更好的某種（或某些）性質(zhì)。如果這種性質(zhì)可以表示為尋優(yōu)參數(shù)的一個(gè)可計(jì)算的函數(shù)，那么只需要尋求這個(gè)函數(shù)的極值，就可以得到“最優(yōu)”的設(shè)計(jì)。這個(gè)用來(lái)使設(shè)計(jì)得以?xún)?yōu)化的函數(shù)就稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，為了強(qiáng)調(diào)它對(duì)尋優(yōu)參數(shù)的依賴(lài)性，將其寫(xiě)成Q()。同樣，在工程問(wèn)題中，Q()不一定能寫(xiě)成顯函數(shù)形式，只要求是“可計(jì)算”的函數(shù)。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,使目標(biāo)函數(shù)為極大時(shí),如何處理?此時(shí)只需要將目標(biāo)函數(shù)變成-Q()即可。因?yàn)楫?dāng)-Q()達(dá)到極小時(shí)，Q()就達(dá)到了極大。,（4）約束優(yōu)化問(wèn)題的無(wú)約束處理在工程問(wèn)題中，尋優(yōu)參數(shù)的取值范圍總是要受到限制的，即要在一定的約束條件下來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。若約束對(duì)于尋優(yōu)參數(shù)的限制是很寬的，以至于可以確信在*附近約束都能滿(mǎn)足的話(huà)，則把它看成是無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)處理。若在*附近約束條件可能被破壞，就需要將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)處理。例如,?。?.6）式中，Q0()不考慮約束條件時(shí)的目標(biāo)函數(shù)；gi()=0,i=1,2,p是p個(gè)等式約束條件；Ci正數(shù)權(quán)因子，表示第i個(gè)約束條件的重要性；Cigi2()第i個(gè)約束條件不滿(mǎn)足時(shí)的罰函數(shù)。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.1.3尋優(yōu)途徑及優(yōu)化方法的評(píng)價(jià),常見(jiàn)的最優(yōu)化問(wèn)題分類(lèi):,線(xiàn)性規(guī)劃(Linearprogramming)問(wèn)題舉例:,某人有一筆50萬(wàn)的資金可用于長(zhǎng)期投資,可供選擇的投資機(jī)會(huì)包括購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券、購(gòu)買(mǎi)公司債券、投資房地產(chǎn)、購(gòu)買(mǎi)股票和銀行儲(chǔ)蓄等。各種投資方式的參數(shù)見(jiàn)下表,投資者希望投資組合的平均年限不超過(guò)5年，平均期望收益率不低于13%，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)不超過(guò)4，增長(zhǎng)潛力不低于10%。問(wèn)在上述前提下如何選擇才能使平均年收益率最高？,求解過(guò)程：,建立線(xiàn)性規(guī)劃模型。設(shè)xi為第i種投資方式在總投資額中所占的比例，,使用Matlab的線(xiàn)性規(guī)劃求解函數(shù)linprog()解得x=0.5575,0.0195,0.4230,0,0,0,0,某廠在一計(jì)劃期內(nèi)擬生產(chǎn)甲、乙兩種大型設(shè)備.該廠有充分的生產(chǎn)能力來(lái)加工制造這兩種設(shè)備的全部零件，所需原材料和能源也可滿(mǎn)足供應(yīng)，但A、B兩種緊缺物資的供應(yīng)受到嚴(yán)格限制，每臺(tái)設(shè)備所需原材料如下表所示.問(wèn)該廠在本計(jì)劃期內(nèi)應(yīng)安排生產(chǎn)甲、乙設(shè)備多少臺(tái)，才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？,整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題舉例：,非線(xiàn)性規(guī)劃（nonlinearprogramming)問(wèn)題舉例:,f(x)=x1+x2,x10 x20 x12+x221x12+x222,s.t.,多目標(biāo)規(guī)劃（Multi-objectiveoptimization)問(wèn)題舉例:,求解最優(yōu)化問(wèn)題的方法:,線(xiàn)性規(guī)劃:單純形法、大M法,無(wú)約束非線(xiàn)性規(guī)劃：牛頓法、黃金分割法,有約束非線(xiàn)性規(guī)劃：懲罰函數(shù)法、二次規(guī)劃,整數(shù)規(guī)劃：分支定界法、隱枚舉法,智能優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法、微粒群優(yōu)化算法、差分進(jìn)化算法,3優(yōu)化方法的評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)一種優(yōu)化方法的優(yōu)劣，主要考慮下列因素。（1）收斂性尋優(yōu)過(guò)程就是逐步搜索滿(mǎn)足Q(*)=minQ()的值的迭代過(guò)程。迭代過(guò)程的收斂性好壞，表示某種優(yōu)化方法適用范圍的大小。（2）收斂速度為了求出同樣精度的極小值點(diǎn)，不同的優(yōu)化方法所需要的迭代次數(shù)不同。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,(3）每步迭代所需的計(jì)算量,4.1.4控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成,控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的目標(biāo)函數(shù)一般可分為兩大類(lèi)：加權(quán)性能指標(biāo)型目標(biāo)函數(shù)和誤差積分型目標(biāo)函數(shù)。1加權(quán)性能指標(biāo)型目標(biāo)函數(shù)這一類(lèi)目標(biāo)函數(shù)是根據(jù)經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)建立起來(lái)的，如系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的上升時(shí)間、調(diào)整時(shí)間、超調(diào)量以及振蕩次數(shù)等。對(duì)這些性能指標(biāo)的要求往往存在矛盾性，此時(shí)可以采用加權(quán)的方法建立目標(biāo)函數(shù)。例如，,式中，、為加權(quán)系數(shù)，滿(mǎn)足表示超調(diào)量在目標(biāo)函數(shù)中的成份，其具體取值為（4.12）、和分別為系統(tǒng)上升時(shí)間、調(diào)整時(shí)間和超調(diào)量的期望值。,2誤差積分型目標(biāo)函數(shù)對(duì)于一般隨動(dòng)系統(tǒng)，誤差e(t)定義為輸入信號(hào)r(t)和系統(tǒng)輸出c(t)之差，即e(t)=r(t)-c(t)（4.13）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,常用的目標(biāo)函數(shù)有如下幾種：誤差絕對(duì)值的積分（IAE）誤差平方的積分（ISE）時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分（ITAE）時(shí)間乘以誤差平方的積分（ITSE）時(shí)間平方乘以誤差絕對(duì)值的積分（ISTAE）時(shí)間平方乘以誤差平方的積分（ISTSE）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.2單純形法（該部分不做要求）,4.2.1單純形法原理4.2.2單純形的構(gòu)成4.2.3改進(jìn)單純形法,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.2.1單純形法原理,單純形法的基本思路預(yù)先計(jì)算出在若干個(gè)點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值，然后根據(jù)它們之間的大小關(guān)系，可以看出Q()變化的大致趨勢(shì)，為尋求Q()的下降方向提供參考信息。單純形法的尋優(yōu)過(guò)程(二維情況，見(jiàn)圖4.4)尋優(yōu)參數(shù)為1和2，圖中的實(shí)線(xiàn)為Q()=C（C為常數(shù)）的等高線(xiàn)族。先取1、2、3點(diǎn)并計(jì)算這3點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值，對(duì)它們的大小進(jìn)行比較，C1最大，故將1點(diǎn)拋棄，在1點(diǎn)的對(duì)面取一點(diǎn)4，構(gòu)成一個(gè)新的三角形。計(jì)算4點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值，再比較三點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，C2最大，,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,將2點(diǎn)拋棄，在2點(diǎn)的對(duì)面取一點(diǎn)5，3、4、5點(diǎn)又構(gòu)成一個(gè)新的三角形。如此不斷重復(fù)上述過(guò)程，直至最后找到極小值點(diǎn)。,圖4.4,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.2.2單純形的構(gòu)成,在一切幾何圖形（或超幾何圖形）中以單純形（參數(shù)空間內(nèi)簡(jiǎn)單的規(guī)則形體）的頂點(diǎn)為最少，所以尋優(yōu)所用的幾何圖形以單純形為最合適，在m維空間中，其頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為m+1。求出正規(guī)單純形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)的方法若已選定(0)和任意兩點(diǎn)之間的距離a（即正規(guī)單純形的邊長(zhǎng)），于是（m+1）個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,顯然，(0)-(1)，(0)-(2)，(0)-(m)為m個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量。,（4.20）,（4.21）,（4.22）,有,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4.2.3改進(jìn)單純形法,改進(jìn)單純形法的基本思想是：給定初始點(diǎn)(0)和步長(zhǎng)a，產(chǎn)生初始單純形S0，通過(guò)反射、擴(kuò)張、收縮和緊縮等一系列動(dòng)作將單純形翻滾、變形，從而產(chǎn)生一系列的單純形S1，S2，S3，,逐漸向極小值點(diǎn)靠攏。當(dāng)滿(mǎn)足精度指標(biāo)時(shí)，迭代停止，取當(dāng)前單純形的“最好點(diǎn)”作為極小點(diǎn)的近似。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,改進(jìn)單純形法的迭代規(guī)則:假設(shè)當(dāng)前單純形為Sk,對(duì)組成單純形的(m+1)個(gè)頂點(diǎn)，記L為“最好點(diǎn)”,H為“最壞點(diǎn)”,G為“次壞點(diǎn)”,即首先，計(jì)算當(dāng)前單純形的(m+1)個(gè)頂點(diǎn)中去掉最壞點(diǎn)H后的形心(4.26)判別是否滿(mǎn)足終止條件，即計(jì)算(4.27),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,如果error(為給定的精度指標(biāo)),則停止迭代,取當(dāng)前單純形的“最好點(diǎn)”L作為所極小值點(diǎn)*的近似。否則,計(jì)算“最壞點(diǎn)”H關(guān)于形心的反射點(diǎn)R（4.28）對(duì)二維單純形，如圖4.5所示。圖4.5根據(jù)反射點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值的大小,共有四種可能：1Q(R)Q(L),即R比“最好點(diǎn)”L還要好。2Q(L)Q(R)Q(G),即R雖不優(yōu)于“最好點(diǎn)”L,但優(yōu)于“次壞點(diǎn)”G。,3Q(G)Q(R)1為擴(kuò)張因子。如圖4.6所示。圖4.6,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,如果Q(E)Q(L)，則擴(kuò)張成功，以E作為新頂點(diǎn)，取代“最壞點(diǎn)”H，構(gòu)成新單純形Sk+1,，如圖4.7所示。圖4.7反之，擴(kuò)張失敗，以R作為新頂點(diǎn)，取代“最壞點(diǎn)”，構(gòu)成新單純形Sk+1，如圖4.8所示。圖4.8,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,情況2以R取代“最壞點(diǎn)”H，構(gòu)成新單純形Sk+1，如圖4.8所示。情況3計(jì)算收縮點(diǎn)（4.30）式中，01為收縮因子。如圖4.9所示。圖4.9,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,如果Q(C)Q(H)，以C作為新頂點(diǎn)，取代“最壞點(diǎn)”H，構(gòu)成新單純形Sk+1，如圖4.10所示。否則，將當(dāng)前單純形的各個(gè)頂點(diǎn)向“最好點(diǎn)”L緊縮，即(4.31)如圖4.11所示。,圖4.10,圖4.11,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,情況4計(jì)算收縮點(diǎn)C（4.32）式中，0main后，顯示如圖4.24所示的空白界面。點(diǎn)擊選擇文件欄，選擇系統(tǒng)模型名稱(chēng)：ccontroller。在系統(tǒng)模型參數(shù)欄中填入對(duì)應(yīng)的參數(shù)，控制器名稱(chēng)：corrector；待調(diào)參數(shù)個(gè)數(shù)：2；待調(diào)參數(shù)名稱(chēng)：T1，T2；待調(diào)參數(shù)初始值：55；仿真時(shí)間：1.5；目標(biāo)函數(shù)：ISE。選擇精度指標(biāo)：0.0000001。點(diǎn)擊“開(kāi)始仿真”按鈕，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)行后得到如圖4.29所示的仿真尋優(yōu)結(jié)果。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,圖4.29,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,3運(yùn)行結(jié)果分析一般而言，如果將任意選定的參數(shù)初始值的控制器直接加入到系統(tǒng)中，該系統(tǒng)都不穩(wěn)定。例如，當(dāng)T1(0)=15，T2(0)=10時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖4.30所示。,圖4.30（T1=15，T2=10）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,給定三組不同的參數(shù)初始值，經(jīng)過(guò)參數(shù)尋優(yōu)后，得到了三組不同的優(yōu)化參數(shù)及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值：T1(0)=15,T2(0)=10,T1*=1.9535,T2*=0.41391,Q(T1*,T2*)=0.054648T1(0)=5,T2(0)=5,T1*=1.9454,T2*=0.41220,Q(T1*,T2*)=0.054648T1(0)=10,T2(0)=15,T1*=1.9553,T2*=0.41449,Q(T1*,T2*)=0.054648仿真結(jié)果表明，3組優(yōu)化參數(shù)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)比較相似，沒(méi)有本質(zhì)上的差異。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,圖4.31所示為第一組優(yōu)化參數(shù)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。圖4.31（T1=1.9535，T2=0.41391）從仿真結(jié)果中可以看出，系統(tǒng)的阻尼比太小，超調(diào)量偏大。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,三種不同的優(yōu)化參數(shù)均表明，采用誤差積分型目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)存在兩個(gè)問(wèn)題：尋優(yōu)結(jié)果不可預(yù)斷。因?yàn)檎`差積分型目標(biāo)函數(shù)是系統(tǒng)整個(gè)過(guò)渡過(guò)程的一個(gè)綜合性指標(biāo)，它反映不出系統(tǒng)性能指標(biāo)的具體要求（例如，超調(diào)量，上升時(shí)間等性能指標(biāo)），人們不能確信優(yōu)化結(jié)果結(jié)果在實(shí)際中是否有意義；當(dāng)優(yōu)化結(jié)果不滿(mǎn)足要求時(shí)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)無(wú)法進(jìn)行調(diào)整。由此可見(jiàn)，在許多場(chǎng)合下利用誤差積分型目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)的效果不一定好。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,4采用參考模型法目標(biāo)函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果及分析采用圖4.18的目標(biāo)函數(shù)模型(controller.mdl)，同樣給定三組不同的參數(shù)初始值，經(jīng)過(guò)參數(shù)尋優(yōu)后，得到了三組不同的優(yōu)化參數(shù)及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值：T1(0)=15,T2(0)=10,T1*=2.188,T2*=0.20661,Q(T1*,T2*)=0.0029808T1(0)=5,T2(0)=5,T1*=2.1875,T2*=0.20684,Q(T1*,T2*)=0.0029809T1(0)=10,T2(0)=15,T1*=2.188,T2*=0.20634,Q(T1*,T2*)