復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式PPT課件

.,1,第四講復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式,4.1復(fù)數(shù)的三角形式4.2復(fù)數(shù)的指數(shù)形式4.3復(fù)數(shù)的應(yīng)用,在中學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)復(fù)數(shù)及其用代數(shù)形式a+bi表達(dá)的四則運(yùn)算法則及算律。,在大學(xué)數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)過(guò)建立在實(shí)數(shù)集合上的微積分稱(chēng)為實(shí)分析；同樣，在復(fù)數(shù)集合上也可以討論函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等問(wèn)題，這就是大學(xué)數(shù)學(xué)本科（或研究生）專(zhuān)業(yè)里一門(mén)必修課復(fù)變函數(shù),因此我們有必要對(duì)復(fù)數(shù)了解得更多些。,本講講三個(gè)問(wèn)題,.,2,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,一、復(fù)數(shù)的幅角與模,我們知道復(fù)數(shù)a+bi對(duì)應(yīng)著復(fù)平面上的點(diǎn)(a,b)，也對(duì)應(yīng)復(fù)平面上一個(gè)向量（如右圖所示）,這個(gè)向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)a+bi的模，記為|a+bi|，一般情況下，復(fù)數(shù)的模用字母r表示。,同時(shí)，這個(gè)向量針對(duì)x軸的正方向有一個(gè)方向角，我們稱(chēng)為幅角，記為arg(a+bi)，幅角一般情形下用希臘字母表示。,顯然,把它們代入復(fù)數(shù)的代數(shù)形式得：,.,3,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,這樣，我們把叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,引入復(fù)數(shù)三角形式的一個(gè)重要原因在于用三角形式進(jìn)行乘除法、乘方、開(kāi)方相對(duì)于代數(shù)形式較為簡(jiǎn)單。,所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方與開(kāi)方的運(yùn)算法則。,1、復(fù)數(shù)的乘法,設(shè),那么,.,4,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,1、復(fù)數(shù)的乘法,這說(shuō)明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘而幅角相加,即,這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：,將向量z1的模擴(kuò)大為原來(lái)的r2倍，然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角2，就得到z1z2。,.,5,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,2、復(fù)數(shù)的除法,.,6,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,2、復(fù)數(shù)的除法,即,這說(shuō)明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減,這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：,將向量z1的模縮小為原來(lái)的r2分之一，然后再將它繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角2，就得到z1z2。,3、復(fù)數(shù)的乘方。,利用復(fù)數(shù)的乘法不難得到,這說(shuō)明，復(fù)數(shù)的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。,.,7,4、復(fù)數(shù)的開(kāi)方,對(duì)于復(fù)數(shù)，根據(jù)代數(shù)基本定理及其推論知，任何一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都有n個(gè)不同的n次方根。,將向量z1的模變?yōu)樵瓉?lái)的n次方，然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角n，就得到zn。,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,3、復(fù)數(shù)的乘方。,這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：,設(shè)的一個(gè)n次方根為,.,8,4、復(fù)數(shù)的開(kāi)方,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,那么,所以,即,顯然，當(dāng)k從0依次取到n1,所得到的角的終邊互不相同，但k從n開(kāi)始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。,因此，復(fù)數(shù)z的n個(gè)n次方根為,.,9,4、復(fù)數(shù)的開(kāi)方,4.1、復(fù)數(shù)的三角形式,二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則,從求根公式可以看出，相鄰兩個(gè)根之間幅角相差,所以復(fù)數(shù)z的n個(gè)n次方根均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心，以它的模的n次算術(shù)根為半徑的圓周上。,因此，求一個(gè)復(fù)數(shù)z的全部n次方根，可以用下面的幾何手段進(jìn)行：,先作出圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，然后作出角的終邊,以這條終邊與圓的交點(diǎn)為分點(diǎn)，將圓周n等分，那么，每個(gè)等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)z的n次方根。,.,10,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,在對(duì)復(fù)數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的三角形式將復(fù)數(shù)的乘法“部分地”轉(zhuǎn)變成加法（模相乘，幅角相加）,這種改變運(yùn)算等級(jí)的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過(guò)體現(xiàn)：,對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù),前者將兩個(gè)同底冪的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將兩個(gè)真數(shù)積的對(duì)數(shù)變成兩個(gè)同底對(duì)數(shù)的和。,從形式上看，復(fù)數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系更為密切些：,.,11,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，復(fù)數(shù)應(yīng)該可以表示成某種指數(shù)形式,即復(fù)數(shù)應(yīng)該可以表示成的形式,這里有三個(gè)問(wèn)題需要解決：,（1）反映復(fù)數(shù)本質(zhì)特征的三個(gè)因素：模r、幅角、虛數(shù)單位i應(yīng)各自擺放在什么位置？,（2）在這些位置上它們應(yīng)呈現(xiàn)什么形態(tài)？,（3）作為指數(shù)形式的底應(yīng)該用什么常數(shù)？,先來(lái)研究第一個(gè)問(wèn)題.,.,12,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,再重新觀(guān)察下面的等式,首先，顯然模r應(yīng)該占據(jù)中系數(shù)y的位置,其次，幅角應(yīng)該占據(jù)中指數(shù)x的位置,對(duì)于虛數(shù)單位i，如果放到系數(shù)y的位置會(huì)怎樣？,由于,等式右邊是實(shí)數(shù)，對(duì)于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。,因此幅角也應(yīng)該占據(jù)指數(shù)的位置。,這樣第二個(gè)問(wèn)題就產(chǎn)生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上是什么關(guān)系？（相加？相乘？）,.,13,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,幅角與虛數(shù)單位i是相加的關(guān)系會(huì)怎樣？,先考察模為1的復(fù)數(shù),如果寫(xiě)成的形式,一方面，由于,與的形式差別不是很大，,其次,在復(fù)數(shù)的乘方法則中，應(yīng)該僅是幅角的n倍而沒(méi)有虛數(shù)單位也要n倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應(yīng)該是相加關(guān)系，而應(yīng)該是相乘關(guān)系,現(xiàn)在來(lái)審查乘法、除法和乘方法則是否吻合,.,14,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本質(zhì)特征,下面來(lái)解決最后一個(gè)問(wèn)題：應(yīng)該選用哪個(gè)常數(shù)作為底數(shù)？,我們暫時(shí)將形式化地看做r與的“二元函數(shù)”,數(shù)學(xué)是“形式化的科學(xué)”，因此，一些形式化的性質(zhì)應(yīng)該“形式化”地保持不變。,下面我們將等式兩邊對(duì)形式化地求“偏微分”,.,15,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,于是由,這樣我們利用不太嚴(yán)格的推理得到了復(fù)數(shù)的第三種表現(xiàn)形式指數(shù)式,從復(fù)數(shù)的模與幅角的角度看，復(fù)數(shù)的指數(shù)形式其實(shí)是三角形式的簡(jiǎn)略化,對(duì)于指數(shù)形式的嚴(yán)格證明可以參讀復(fù)數(shù)的指數(shù)形式的證明,.,16,的證明：泰勒級(jí)數(shù)法,寫(xiě)成泰勒級(jí)數(shù)形式：,將,代入可得：,eiz=cosz+isinz（歐拉公式）zR,將函數(shù),.,17,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,由復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式，我們很容易得到下面的兩個(gè)公式：,這兩個(gè)公式被統(tǒng)稱(chēng)為歐拉公式,在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,或,.,18,數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但卻不能理解它。,它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的五個(gè)數(shù)字就這么神秘地聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率；三個(gè)單位虛數(shù)單位i、自然數(shù)的乘法單位1和加法單位0。,或,4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,關(guān)于自然對(duì)數(shù)的底e和圓周率，這里我想多說(shuō)那么幾句：它們是迄今為止人類(lèi)所發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)彼此獨(dú)立的超越數(shù)，盡管從理論上我們知道，超越數(shù)比有理數(shù)、代數(shù)數(shù)（可以表示為有理系數(shù)一元多項(xiàng)式的根的數(shù)）要多得多，但為人類(lèi)所認(rèn)識(shí)的超越數(shù)卻僅此兩個(gè)！,令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個(gè)簡(jiǎn)單關(guān)系彼此聯(lián)系著。,在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,.,19,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,利用復(fù)數(shù)的三角形式，我們可以比較容易地解決一些數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域里的問(wèn)題。由于我們這門(mén)課的特點(diǎn)，我們僅限于在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里舉兩個(gè)例子。,例1：三角級(jí)數(shù)求和,那么對(duì)任何自然數(shù)k，有,于是,.,20,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,例1：三角級(jí)數(shù)求和,解：,另一方面,.,21,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,例1：三角級(jí)數(shù)求和,解：,.,22,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,例1：三角級(jí)數(shù)求和,即,所以,.,23,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,例2：設(shè)M是單位圓周x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)M構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，并且MNAM成逆時(shí)針?lè)较?，?dāng)M點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡。,分析：此題若用一般解析幾何的方法尋找點(diǎn)M與N之間的顯性關(guān)系是比較困難的。下面用復(fù)數(shù)的乘法的幾何意義來(lái)尋找這種關(guān)系。,設(shè)M、N、A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為：,那么向量AM可以用向量AN繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)300度得到,用復(fù)數(shù)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)變換就是,.,24,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,例2：設(shè)M是單位圓周x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)M構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，并且MNAM成逆時(shí)針?lè)较颍?dāng)M點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡。,即,所以,但,.,25,故,4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用,例2：設(shè)M是單位圓周x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)M構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，并且MNAM成逆時(shí)針?lè)较?，?dāng)M點(diǎn)移動(dòng)時(shí)