《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教案.docx

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教案主講教師_ 所在單位_授課班級_ 專業(yè)_ 撰寫時間_教案編號07-0204教案內(nèi)容4.5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布學(xué)時1教學(xué)目標(biāo)基本要求(1) 掌握離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求解過程；(2) 掌握連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求解過程。能力要求1. 培養(yǎng)能力要求：a) 掌握概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的基本概念和性質(zhì)并能夠運用到復(fù)雜工程問題的適當(dāng)表述之中；b) 能夠針對工程應(yīng)用系統(tǒng)或過程的特點選擇合適的概率分布來描述隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性；教學(xué)重點離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求解過程；連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求解過程。教學(xué)難點連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求解過程。教學(xué)方法提問、講授、啟發(fā)、討論工具儀器多媒體教具、教材、教案、教學(xué)課件、考勤表、平時成績登記表教學(xué)安排考勤、復(fù)習(xí)相關(guān)知識點、新課內(nèi)容概述、組織教學(xué)、布置作業(yè)、課后小結(jié)教學(xué)過程教學(xué)組織、具體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法、手段、時間分配及其它說明備 注第一部分：舊知識點復(fù)習(xí)和新課內(nèi)容概述(2分鐘)在上一節(jié)的引理中已經(jīng)接觸過相關(guān)概念：即某一個隨機(jī)變量可能是另一個隨機(jī)變量的函數(shù)。在實際應(yīng)用中，某些人們關(guān)心的隨機(jī)變量Y往往不能直接測量得到，而它可能是某個能測量的隨機(jī)變量的函數(shù)X。比如我們有時很關(guān)心圓柱軸截面的面積S，但無法直接獲得，而我們能夠獲得圓柱軸截面的直徑D，而隨機(jī)變量S是隨機(jī)變量D的函數(shù)，即S=(1/4)D2本節(jié)就是解決怎樣由已知的隨機(jī)變量X的概率分布求它的函數(shù)Y=g(X)的概率分布，其中g(shù)()是連續(xù)函數(shù)我們通過例子來總結(jié)出一般的步驟第二部分：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布（10分鐘）例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律，試求Y=(X1)2的分布律X 1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4解：首先獲得Y的所有可能取值：0，1，4求解各取值的概率PY=0P(X1)2=0= PX=1=0.1PY=1P(X1)2=1= P(X=0+PX=2=0.7PY=4P(X1)2=4= P(X=1=0.2即得Y的分布律為Y 0 1 4pk 0.1 0.7 0.2對于離散型隨機(jī)變量PY=yk等于所有滿足ykg(X)的X的取值的概率之和。第三部分：連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布（30分鐘）例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 fX(x)=，求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度解：分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，先求FY(y)FY(y)PYy將Y=2X+8代入 P2X8y表示為關(guān)于X的概率 PX(y8)/2即 FX(y8)/2)將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)得 fY(y)dFY(y)/dy=dFX(y8)/2)/dy = fX(y8)/2) d (y8)/2)/dy =注意：代入時，如果F(x)是分段函數(shù)，則x的取值范圍用g1(y)來代求解連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的概率密度的一般步驟：已知fX(x)，Y=g(X)，求fY(y)1先寫出Y的分布函數(shù)定義式：FY(y)PYy 由Y=g(X)確定Y的值域，當(dāng)y不在值域范圍內(nèi)時單獨討論2將Y=g(X)代入上式 Pg(X)y3由g(X)y求解X的范圍 PX|g(X)y 表示為y的形式4由X的分布函數(shù)FX(x)表示以上概率，得到關(guān)于y的表達(dá)式FY(y)，其中原自變量x用關(guān)于y的表達(dá)式來代。5求導(dǎo)得fY(y)dF(y)/dy例3：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x)，x，求Y=X2的概率密度解：1FY(y)PYy，由Y=X20，當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)0 2代入Y=X2得FY(y)PYyP X2y 3 PX 4由FX(x)得 FY(y)FX()FX()5fY(y)dF(y)/dy在Y=g(X)，且g(X)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時的一般結(jié)果：定理：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x)，x0(或g(x)0的情況 FY(y)PYyPg(X)y 此時g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以h(y)也是單調(diào)增函數(shù)，且有y的取值范圍為g()yg()，因此當(dāng)y時，F(xiàn)Y(y)0 當(dāng)y時，F(xiàn)Y(y)1當(dāng) y時，F(xiàn)Y(y)PYyPg(X)yh(y)也是單調(diào)增函數(shù) PXh(y) = FX(h(y)求導(dǎo)fY(y)dF(y)/dydFX(h(y)/dyg(x)0的情況，此時h(y)0(或g(x)0)，ming(a)，g(b)，maxg(a)，g(b)例4：正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性變換問題已知隨機(jī)變量XN(，2)，試證明X的線性函數(shù)Y=aX+b(a0)也服從正態(tài)分布。證：X的概率密度為f(x)，x現(xiàn)在yg(x)=ax+b，由這一式子解得xh(y)=(y-b)/a，且有h(y)1/a顯然g(x)是嚴(yán)格單調(diào)的由定理有fY(y)，y，y所以有Y= aX+bN(ab，(a)2)特別的當(dāng)a1/，b/時，Y=(X)/=N(0，1)即上一節(jié)的引理的結(jié)果第四部分：總結(jié)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求解過程（3分鐘） 對于離散型隨機(jī)變量，其函數(shù)Y=f(X)也是離散型隨機(jī)變量，X的分布率PX=xk=pk, Y=f(X)的分布率Y=f(X)f(X1) f(X1) f(Xk) pkP1 p2 pk 若f(Xk)中有值相同的，應(yīng)將相應(yīng)的pk合并。 對于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求 Y= g (X) 的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用 X 的分布來求 P g(X) y .PPT板書講解板書