19六年級(jí)奧數(shù)專題十九：近似值與估算

六年級(jí)奧數(shù)專題十九：近似值與估算關(guān)鍵詞：近似 四舍 近似值 千分 四舍五入法 四舍五入 尾數(shù) 奧數(shù) 舍去 截取在計(jì)數(shù)、度量和計(jì)算過程中，得到和實(shí)際情況絲毫不差的數(shù)值叫做準(zhǔn)確數(shù)。但在大多數(shù)情況下，得到的是與實(shí)際情況相近的、有一定誤差的數(shù)，這類近似地表示一個(gè)量的準(zhǔn)確值的數(shù)叫做這個(gè)量的近似數(shù)或近似值。例如，測量身高或體重，得到的就是近似數(shù)。又如，統(tǒng)計(jì)全國的人口數(shù)，由于地域廣人口多，統(tǒng)計(jì)的時(shí)間長及統(tǒng)計(jì)期間人口的出生與死亡，得到的也是近似數(shù)。用位數(shù)較少的近似值代替位數(shù)較多的數(shù)時(shí)，要有一定的取舍法則。要保留的數(shù)位右邊的所有數(shù)叫做尾數(shù)，取舍尾數(shù)的主要方法有：（1）四舍五入法。四舍，就是當(dāng)尾數(shù)最高位上的數(shù)字是不大于4的數(shù)時(shí)，就把尾數(shù)舍去；五入，就是當(dāng)尾數(shù)最高位上的數(shù)字是不小于5的數(shù)時(shí)，把尾數(shù)舍去后，在它的前一位加1。例如：7.3964，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。（2）去尾法。把尾數(shù)全部舍去。例如：7.3964，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。（3）收尾法（進(jìn)一法）。把尾數(shù)舍去后，在它的前一位加上1。例如：7.3964，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。表示近似值近似的程度，叫做近似數(shù)的精確度。在上面的三種方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似數(shù)，截到哪一位，就說精確到哪一位。例1有13個(gè)自然數(shù)，它們的平均值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)是26.9。那么，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是多少？分析與解：13個(gè)自然數(shù)之和必然是整數(shù)，因?yàn)榇撕筒皇?3的整數(shù)倍，所以平均值是小數(shù)。由題意知，26.85平均值26.95，所以13個(gè)數(shù)之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。26.8513349.05，26.9513350.35。因?yàn)樵?49.05與350.35之間只有一個(gè)整數(shù)350，所以13個(gè)數(shù)之和是350。3501326.923當(dāng)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)時(shí)，是26.92。例1中所用的方法可稱為“放縮法 ”。對于一個(gè)數(shù)，如例1中13個(gè)數(shù)的平均數(shù)，如果不知道它的確切數(shù)值，那么可以根據(jù)題設(shè)條件，適當(dāng)?shù)貙⑺糯蠡蚩s小，再進(jìn)一步確定它的具體數(shù)值。當(dāng)然，這里的“放大”與“縮小”都要適當(dāng)，如果放得過大或縮得過小，則可能無法確定正確值，這時(shí)“放縮”就失敗了。分析與解：真正計(jì)算出這個(gè)算式，再取近似值，幾乎是不可能的。因?yàn)轭}目要求精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)，所以只要能大概知道小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)的情況就可以了。若分子縮小、分母擴(kuò)大，則分?jǐn)?shù)變?。蝗舴肿訑U(kuò)大、分母縮小，則分?jǐn)?shù)變大。利用這一點(diǎn)，使用放縮法就能估計(jì)算式的值的范圍。分子、分母各取兩位小數(shù)，有由0.2037 原式0.2549，無法確定原式小數(shù)點(diǎn)后三位的近似值?？s放的范圍太大，應(yīng)使范圍縮小些。分子、分母各取三位小數(shù)，有仍然無法確定，還應(yīng)使范圍縮小。分子、分母各取四位小數(shù)，有由 0.2395原式0.2398知，原式小數(shù)點(diǎn)后三位肯定是“239”，第四位在5和8之間。按四舍五入法則，精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)的近似值是0.240。由例2進(jìn)一步看出“放縮”適度的重要性。取的位數(shù)少了，范圍太大，無法確定；取的位數(shù)多了，例如取十位小數(shù)，計(jì)算量太大，繁瑣且沒有必要。例3 求下式的整數(shù)部分：分析與解：對分母使用放縮法，有所以199.1原式200，原式整數(shù)部分是199。例4 求下式的整數(shù)部分：1.228.03+1.238.02+1.248.01。分析與解：在1.228.03， 1.238.02與1.248.01中，各式的兩個(gè)因數(shù)之和都相等。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近，這兩個(gè)數(shù)的乘積越大，于是得到1.228.031.238.021.248.01。因?yàn)?.228.031.228，所以原式1.2283=29.28；因?yàn)?1.248.011.258，所以原式1.2583=30。由29.28原式30知，原式的整數(shù)部分是29。前面講過，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在實(shí)際問題中，一定要注意靈活運(yùn)用，特別要注意有些問題不宜使用四舍五入的原則。例5某人執(zhí)行爆破任務(wù)時(shí)，點(diǎn)燃導(dǎo)火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒。已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/秒。問：導(dǎo)火線的長度至少多長才能確保安全？（精確到0.1米）解：0.112（705）0.112101.121.2（米）答：導(dǎo)火線至少長1.2米。此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米，執(zhí)行任務(wù)的人還沒跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太危險(xiǎn)了。例6某飛機(jī)所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時(shí)，飛去時(shí)速度為900千米/時(shí)，飛回時(shí)速度為850千米/時(shí)。問：該飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出多少千米就應(yīng)返回？（精確到1千米）解：設(shè)該飛機(jī)最遠(yuǎn)能飛出x千米，依題意有答：飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1748千米就應(yīng)返回。此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到x1749，當(dāng)飛機(jī)真的飛出1749千米再返回時(shí)，恐怕在快著陸的瞬間就要機(jī)毀人亡了。練習(xí)191.有17個(gè)自然數(shù)，它們的平均值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)是21.3，那么精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)是多少？2.老師在黑板上寫了14個(gè)自然數(shù)，讓小明計(jì)算平均數(shù)（保留三位小數(shù)），小明計(jì)算出的答案是16.387。老師說小數(shù)點(diǎn)后第二位錯(cuò)了，其它的數(shù)字都對。正確答案應(yīng)該是多少？3.計(jì)算下式的精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)的近似值：13579024688642097531。4.求下式的整數(shù)部分：1122123313441788。5.求下式的整數(shù)部分：2. 454.052.464.042.474.032. 484.022.494.01。6.為了修水電站，需要在極短的時(shí)間內(nèi)向河道中投入300米3石料，以截?cái)嗪恿?。如果每臺(tái)大型運(yùn)輸車一次可運(yùn)石料17.5米3，那么為保障一次截流成功，至少需多少臺(tái)運(yùn)輸車？7.一條單線鐵路全長 240