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六年級(jí)奧數(shù)專題十九:近似值與估算關(guān)鍵詞:近似 四舍 近似值 千分 四舍五入法 四舍五入 尾數(shù) 奧數(shù) 舍去 截取在計(jì)數(shù)、度量和計(jì)算過程中,得到和實(shí)際情況絲毫不差的數(shù)值叫做準(zhǔn)確數(shù)。但在大多數(shù)情況下,得到的是與實(shí)際情況相近的、有一定誤差的數(shù),這類近似地表示一個(gè)量的準(zhǔn)確值的數(shù)叫做這個(gè)量的近似數(shù)或近似值。例如,測(cè)量身高或體重,得到的就是近似數(shù)。又如,統(tǒng)計(jì)全國(guó)的人口數(shù),由于地域廣人口多,統(tǒng)計(jì)的時(shí)間長(zhǎng)及統(tǒng)計(jì)期間人口的出生與死亡,得到的也是近似數(shù)。用位數(shù)較少的近似值代替位數(shù)較多的數(shù)時(shí),要有一定的取舍法則。要保留的數(shù)位右邊的所有數(shù)叫做尾數(shù),取舍尾數(shù)的主要方法有:(1)四舍五入法。四舍,就是當(dāng)尾數(shù)最高位上的數(shù)字是不大于4的數(shù)時(shí),就把尾數(shù)舍去;五入,就是當(dāng)尾數(shù)最高位上的數(shù)字是不小于5的數(shù)時(shí),把尾數(shù)舍去后,在它的前一位加1。例如:7.3964,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.40。(2)去尾法。把尾數(shù)全部舍去。例如:7.3964,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.39。(3)收尾法(進(jìn)一法)。把尾數(shù)舍去后,在它的前一位加上1。例如:7.3964,截取到千分位的近似值是7.397,截取到百分位的近似值是7.40。表示近似值近似的程度,叫做近似數(shù)的精確度。在上面的三種方法中,最常用的是四舍五入法。一般地,用四舍五入法截得的近似數(shù),截到哪一位,就說精確到哪一位。例1有13個(gè)自然數(shù),它們的平均值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)是26.9。那么,精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是多少?分析與解:13個(gè)自然數(shù)之和必然是整數(shù),因?yàn)榇撕筒皇?3的整數(shù)倍,所以平均值是小數(shù)。由題意知,26.85平均值26.95,所以13個(gè)數(shù)之和必然不小于26.85的13倍,而小于26.95的13倍。26.8513349.05,26.9513350.35。因?yàn)樵?49.05與350.35之間只有一個(gè)整數(shù)350,所以13個(gè)數(shù)之和是350。3501326.923當(dāng)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)時(shí),是26.92。例1中所用的方法可稱為“放縮法 ”。對(duì)于一個(gè)數(shù),如例1中13個(gè)數(shù)的平均數(shù),如果不知道它的確切數(shù)值,那么可以根據(jù)題設(shè)條件,適當(dāng)?shù)貙⑺糯蠡蚩s小,再進(jìn)一步確定它的具體數(shù)值。當(dāng)然,這里的“放大”與“縮小”都要適當(dāng),如果放得過大或縮得過小,則可能無法確定正確值,這時(shí)“放縮”就失敗了。分析與解:真正計(jì)算出這個(gè)算式,再取近似值,幾乎是不可能的。因?yàn)轭}目要求精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù),所以只要能大概知道小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)的情況就可以了。若分子縮小、分母擴(kuò)大,則分?jǐn)?shù)變小;若分子擴(kuò)大、分母縮小,則分?jǐn)?shù)變大。利用這一點(diǎn),使用放縮法就能估計(jì)算式的值的范圍。分子、分母各取兩位小數(shù),有由0.2037 原式0.2549,無法確定原式小數(shù)點(diǎn)后三位的近似值??s放的范圍太大,應(yīng)使范圍縮小些。分子、分母各取三位小數(shù),有仍然無法確定,還應(yīng)使范圍縮小。分子、分母各取四位小數(shù),有由 0.2395原式0.2398知,原式小數(shù)點(diǎn)后三位肯定是“239”,第四位在5和8之間。按四舍五入法則,精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)的近似值是0.240。由例2進(jìn)一步看出“放縮”適度的重要性。取的位數(shù)少了,范圍太大,無法確定;取的位數(shù)多了,例如取十位小數(shù),計(jì)算量太大,繁瑣且沒有必要。例3 求下式的整數(shù)部分:分析與解:對(duì)分母使用放縮法,有所以199.1原式200,原式整數(shù)部分是199。例4 求下式的整數(shù)部分:1.228.03+1.238.02+1.248.01。分析與解:在1.228.03, 1.238.02與1.248.01中,各式的兩個(gè)因數(shù)之和都相等。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí),這兩個(gè)數(shù)越接近,這兩個(gè)數(shù)的乘積越大,于是得到1.228.031.238.021.248.01。因?yàn)?.228.031.228,所以原式1.2283=29.28;因?yàn)?1.248.011.258,所以原式1.2583=30。由29.28原式30知,原式的整數(shù)部分是29。前面講過,四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在實(shí)際問題中,一定要注意靈活運(yùn)用,特別要注意有些問題不宜使用四舍五入的原則。例5某人執(zhí)行爆破任務(wù)時(shí),點(diǎn)燃導(dǎo)火線后往70米開外的安全地帶奔跑,其奔跑的速度為7米/秒。已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/秒。問:導(dǎo)火線的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)才能確保安全?(精確到0.1米)解:0.112(705)0.112101.121.2(米)答:導(dǎo)火線至少長(zhǎng)1.2米。此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米,執(zhí)行任務(wù)的人還沒跑到安全地帶,炸藥就被引爆,那可就太危險(xiǎn)了。例6某飛機(jī)所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時(shí),飛去時(shí)速度為900千米/時(shí),飛回時(shí)速度為850千米/時(shí)。問:該飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出多少千米就應(yīng)返回?(精確到1千米)解:設(shè)該飛機(jī)最遠(yuǎn)能飛出x千米,依題意有答:飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1748千米就應(yīng)返回。此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則,那么得到x1749,當(dāng)飛機(jī)真的飛出1749千米再返回時(shí),恐怕在快著陸的瞬間就要機(jī)毀人亡了。練習(xí)191.有17個(gè)自然數(shù),它們的平均值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)是21.3,那么精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)是多少?2.老師在黑板上寫了14個(gè)自然數(shù),讓小明計(jì)算平均數(shù)(保留三位小數(shù)),小明計(jì)算出的答案是16.387。老師說小數(shù)點(diǎn)后第二位錯(cuò)了,其它的數(shù)字都對(duì)。正確答案應(yīng)該是多少?3.計(jì)算下式的精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)的近似值:13579024688642097531。4.求下式的整數(shù)部分:1122123313441788。5.求下式的整數(shù)部分:2. 454.052.464.042.474.032. 484.022.494.01。6.為了修水電站,需要在極短的時(shí)間內(nèi)向河道中投入300米3石料,以截?cái)嗪恿?。如果每臺(tái)大型運(yùn)輸車一次可運(yùn)石料17.5米3,那么為保障一次截流成功,至少需多少臺(tái)運(yùn)輸車?7.一條單線鐵路全長(zhǎng) 240
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