晶體的宏觀對稱性

.,.,2.宏觀對稱性的數(shù)學(xué)描述,晶體的對稱性有宏觀對稱性和微觀對稱性之分，前者指晶體的外形對稱性，后者指晶體微觀結(jié)構(gòu)的對稱性。本節(jié)我們主要學(xué)習(xí)晶體的宏觀對稱性。,1.宏觀對稱元素,4.群/對稱操作群5.宏觀對稱性與物理性質(zhì),3.三種幾何體的對稱操作,1-5晶體的宏觀對稱性,.,晶體的對稱性,晶體外部形態(tài)的對稱性，稱為宏觀對稱性。晶體外形具有有限的大小，所有的對稱元素都必須相交于晶體內(nèi)部的某一點(diǎn)。因此，宏觀對稱性又叫做點(diǎn)對稱性。（1.5，1.6節(jié)）晶體內(nèi)原子排列的對稱性稱為微觀對稱性，它是晶體內(nèi)部原子無限排列所具有的對稱性。（1.7節(jié)）晶體宏觀對稱性是微觀對稱性的外在表現(xiàn)，晶體微觀對稱性則是宏觀對稱性的基礎(chǔ)。,.,對稱是指物體相同部分作有規(guī)律的重復(fù)。不改變物體/圖形中任何兩點(diǎn)的距離而能使圖形復(fù)原的操作叫對稱操作。對稱操作據(jù)以進(jìn)行的幾何要素叫做對稱元素,旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)操作：將物體繞通過其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度使物體復(fù)原的操作。能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角（0除外）稱為基準(zhǔn)角；物體旋轉(zhuǎn)一周復(fù)原的次數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)軸的軸次n，n=360/；旋轉(zhuǎn)軸的符號(hào)為Cn；晶體只存在C2,C3,C4,C6旋轉(zhuǎn)軸；晶體中可存在一條或多條旋轉(zhuǎn)軸。,.,鏡面與反映操作：通過物體中心的一個(gè)假想面，將物體平分成互為鏡面反映的兩個(gè)相等部分，稱為反映操作；反映操作憑借的平面稱為反映面或鏡面；晶體中可存在一個(gè)或多個(gè)鏡面。對稱中心與反演操作：若物體中存在一點(diǎn)，使得物體中任意一點(diǎn)向此點(diǎn)引連線并延長到反方向等距離處而能使物體復(fù)原，則這種操作就是反演，這一點(diǎn)稱為反演中心i。晶體中最多可有一個(gè)對稱中心。,.,旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并不都是獨(dú)立的基本對稱素。如：,反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個(gè)復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫為In。,.,7,正四面體既無四度軸也無對稱心,.,反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個(gè)復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫為In。恒等元素E與恒等操作：即物體不動(dòng)的操作。,.,1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對稱操作。,1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。,(3)中心反演：i。,(4)鏡象反映：m。,C1，C2，C3，C4，C6（用熊夫利符號(hào)表示）,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示）,點(diǎn)對稱操作：,(2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：,(1)旋轉(zhuǎn)對稱操作：,獨(dú)立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，?；駽1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4。,.,立方體對稱性,(1)立方軸C4：,3個(gè)立方軸；,4個(gè)3度軸；,(2)體對角線C3：,(3)面對角線C2：,6個(gè)2度軸；,.,.,各種對稱操作相當(dāng)于坐標(biāo)變換，可用坐標(biāo)變換矩陣表示對稱操作保持圖形形狀和大小不變的幾何變換為正交變換。概括晶體宏觀對稱性的方法是考察晶體在正交變換下的不變性,三維情況下，正交變換的表示,其中矩陣是正交矩陣,宏觀對稱性的數(shù)學(xué)描述,.,繞z軸轉(zhuǎn)角的正交矩陣矩陣行列式等于1,中心反演的正交矩陣矩陣行列式等于1,空間轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演，矩陣行列式等于1,.,對稱操作：一個(gè)物體在某一個(gè)正交變換下保持不變的操作,例1：立方體的對稱操作,1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng),9個(gè)對稱操作,物體的對稱操作越多，其對稱性越高,.,共有6個(gè)對稱操作,2)繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動(dòng),8個(gè)對稱操作,3)繞4個(gè)立方體對角線軸轉(zhuǎn)動(dòng),4)不動(dòng)操作,.,立方體的對稱操作共有48個(gè),5)以上24個(gè)對稱操作加中心反演仍是對稱操作,.,例2正四面體的對稱操作,四個(gè)原子位于正四面體的四個(gè)頂角上，正四面體的對稱操作包含在立方體操作之中,.,1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng),共有3個(gè)對稱操作,8個(gè)對稱操作,2)繞4個(gè)立方體對角線軸轉(zhuǎn)動(dòng),3)不動(dòng)操作,1個(gè)對稱操作,注：立方軸、體對角線、面對角線都是參照立方體的體心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系來討論的,.,6個(gè)對稱操作,4)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng),加中心反演,6個(gè)對稱操作,正四面體的對稱操作共有24個(gè)，包含在正方體中。,.,例3正六角柱的對稱操作,1)繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng),5個(gè),3個(gè),3)繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng),3個(gè),4)不變操作,5)以上12個(gè)對稱操作加中心反演仍是對稱操作,正六面柱的對稱操作有24個(gè),2)繞對棱中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng),1個(gè),.,對稱素,對稱素：是指一個(gè)物體的旋轉(zhuǎn)軸或旋轉(zhuǎn)-反演軸，其簡潔明了地概括了一個(gè)物體的對稱性。n重旋轉(zhuǎn)軸：一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸2/n以及它的倍數(shù)不變時(shí)，這個(gè)軸稱為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作n。n重旋轉(zhuǎn)-反演軸：一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸2/n加上中心反演的聯(lián)合操作以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時(shí)，這個(gè)軸稱為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作。,.,面對角線為2重軸，計(jì)為2,例1：立方體,立方軸為4重軸，計(jì)為4,同時(shí)也是4重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為,同時(shí)也是2重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為,體對角線軸為3重軸，計(jì)為3,同時(shí)也是3重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為,.,例2：正四面體,體對角線軸是3重軸不是3重旋轉(zhuǎn)反演軸,立方軸是4重旋轉(zhuǎn)反演軸不是4重軸,面對角線是2重旋轉(zhuǎn)反演軸不是2重軸,.,一個(gè)特殊的對稱素,：先繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，再作中心反演,A”點(diǎn)實(shí)際上是A點(diǎn)在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像，即對稱素實(shí)際是個(gè)鏡面操作，用表示。,一個(gè)物體的全部對稱操作的集合，構(gòu)成對稱操作群,.,對稱操作群,群：代表一組“元素”的集合，GE,A,B,C,D這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，并且滿足下列性質(zhì),1)集合G中任意兩個(gè)元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素若A,BG,則AB=CG.叫作群的封閉性,2)存在單位元素E,使得所有元素滿足：AE=A,3)對于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E,4)元素間的“乘法運(yùn)算”滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C,.,例1：正實(shí)數(shù)群所有正實(shí)數(shù)(0除外)的集合,例2：整數(shù)群所有整數(shù)的集合,注意：一個(gè)物體全部對稱操作的集合滿足上述群的定義，其運(yùn)算法則為連續(xù)操作。,以普通乘法為運(yùn)算法則，1為單位元素，x的逆為1/x。,以加法為運(yùn)算法則。,一個(gè)物體的全部對稱操作的集合，構(gòu)成對稱操作群,.,1.單位元素不動(dòng)操作,2.任意元素的逆元素繞轉(zhuǎn)軸角度，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度；中心反演的逆操作仍是中心反演；,3.連續(xù)進(jìn)行A和B操作相當(dāng)于C操作,A操作繞OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)/2,B操作繞OC軸轉(zhuǎn)動(dòng)/2,S,上述操作中S和O沒動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到T點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動(dòng)2/3,.,上述操作中S和O沒動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到T點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動(dòng)2/3,表示為,群的封閉性,可以證明,滿足結(jié)合律,S,.,1.已知氯化鈉是立方晶體，其相對分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kgm-3,試計(jì)算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣常數(shù)。2.硅、鍺半導(dǎo)體材料具有金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)其晶格常數(shù)為a。畫出（110）面二維格子的原胞，并給出它的基矢。,3.對于六角密積結(jié)構(gòu)的晶體，其原胞基矢為試求1.倒格子基矢；2.晶面簇（210）的面間距。,4.對于立方晶格，密勒指數(shù)為(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的兩個(gè)平面之間的夾角余弦為,【1】已知氯化鈉是立方晶體，其相對分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kgm-3,試計(jì)算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣常數(shù)。【解】固體密度=Zm/V，其中V是晶胞體積，Z是晶胞中的分子數(shù)，m為分子的質(zhì)量。每個(gè)分子的質(zhì)量m為,于是得到,.,宏觀對稱性與物理性質(zhì),晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性，對稱性的性質(zhì)也會(huì)在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)。,介電常數(shù)表示為二階張量,電位移,對于立方對稱的晶體，其為對角張量,因此，介電常數(shù)可看作一個(gè)簡單的標(biāo)量,.,.,例：立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明,設(shè)對稱操作對應(yīng)的正交變換,且有,介電常數(shù),在坐標(biāo)變換下,.,.,例：立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明,設(shè)對稱操作對應(yīng)的正交變換,且有,介電常數(shù),在坐標(biāo)變換下,A為對稱變換,X,Y,繞z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)90,.,對于立方晶體，選取對稱操作A為繞Z軸旋轉(zhuǎn)/2,代入,.,進(jìn)一步選取對稱操作B為繞X軸旋轉(zhuǎn)/2，可得,最后得到,.,對于n階張量形式的物