線性代數(shù)第一章 線性方程組與矩陣 習題課（課堂PPT）

1,第1章矩陣的初等變換與線性方程組習題課,典型例題,主要內(nèi)容,2,矩陣的初等變換,相關(guān)定理,初等變換,初等矩陣,等價矩陣,行階梯形矩陣,矩陣的標準形,行最簡矩陣,秩的定義,相關(guān)定理及性質(zhì),矩陣的秩,有解判別定理,方程組的解法,線性方程組,返回,下頁,3,一、初等變換,1.初等變換的定義,上頁,返回,下頁,4,三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換,上頁,返回,下頁,5,反身性,傳遞性,對稱性,2.矩陣的等價,上頁,返回,下頁,6,3.初等矩陣,三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣,由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣,(1)對調(diào)兩行(列),得初等矩陣E(i,j).,上頁,下頁,返回,7,(2)以數(shù)k(非零)乘某行(列),得初等矩陣E(i(k).,上頁,下頁,返回,8,(3)以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去,得初等矩陣E(ij(k).,上頁,下頁,返回,9,經(jīng)過初等行變換,可把矩陣化為行階梯形矩陣,其特點是：可畫出一條階梯線,線的下方全為0；每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元,例如,4.行階梯形矩陣,上頁,下頁,返回,10,經(jīng)過初等行變換,行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣,其特點是:非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在列的其它元素都為0,例如,5.行最簡形矩陣,上頁,下頁,返回,11,對行階梯形矩陣再進行初等列變換,可得到矩陣的標準形,其特點是:左上角是一個單位矩陣,其余元素都為0,例如,6.矩陣的標準形,上頁,下頁,返回,12,所有與A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類,標準形F是這個等價類中形狀最簡單的矩陣,上頁,下頁,返回,13,7.矩陣的秩,上頁,下頁,返回,14,行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù),8.矩陣秩的性質(zhì)及定理,上頁,下頁,返回,15,二、線性方程組,1.線性方程組有解判別定理,上頁,下頁,返回,16,齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣,寫出通解,非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣，寫出通解,2.線性方程組的解法,上頁,下頁,返回,17,上頁,下頁,返回,18,上頁,下頁,返回,19,三、初等矩陣與可逆矩陣的關(guān)系,上頁,下頁,返回,20,一、求矩陣的秩,二、求解線性方程組,三、求逆矩陣的初等變換法,四、解矩陣方程的初等變換法,典型例題,上頁,返回,下頁,21,求矩陣的秩有下列基本方法,(1)計算矩陣的各階子式,從階數(shù)最高的子式開始,找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個子式,則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩,一、求矩陣的秩,(2)用初等變換.即用矩陣的初等行(或列)變換,把所給矩陣化為階梯形矩陣,由于階梯形矩陣的秩就是其非零行(或列)的個數(shù),而初等變換不改變矩陣的秩,所以化得的階梯形矩陣中非零行(或列)的個數(shù)就是原矩陣的秩,上頁,返回,下頁,22,第一種方法當矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時,計算量很大，第二種方法則較為簡單實用,例1求下列矩陣的秩,解對A施行初等行變換化為階梯形矩陣,上頁,下頁,返回,23,注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形,上頁,下頁,返回,24,當方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相同時，一般用初等行變換求方程的解,當方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則,二、求解線性方程組,例2當a取何值時,下述齊次線性方程組有非零解,并且求出它的通解,上頁,下頁,返回,25,解法一系數(shù)矩陣A的行列式為,上頁,下頁,返回,26,從而得到方程組的通解,上頁,下頁,返回,27,解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣A化為階梯形,上頁,下頁,返回,28,上頁,下頁,返回,29,三、求逆矩陣的初等變換法,上頁,下頁,返回,30,例3求下述矩陣的逆矩陣,解,上頁,下頁,返回,31,注意：用初等行變換求逆矩陣時,必須始終用行變換,其間不能作任何列變換.同樣地,用初等列變