2020高中數(shù)學(xué) 1.1變化率與導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)講解 新人教A版選修2-2

變化率與導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)講解一、求導(dǎo)的基本方法導(dǎo)數(shù)極限定義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)，正好就等于函數(shù)曲線在點(diǎn)M（x0，f（x0）的切線斜率.我們看看這個(gè)結(jié)論是如何得出的.右邊這個(gè)圖，在x0右邊距離為x的地方另取 一點(diǎn)，那么曲線上相應(yīng)的點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（x0+x，f（x0+x），我們將點(diǎn)M和M1連起來(lái)，得到一條直線，我們稱(chēng)之為“割線”，顯然它不是我們所要的切線.這條割線的斜率是多少呢？割線MM1的斜率=請(qǐng)注意，如果這時(shí)我們沿著曲線f（x）移動(dòng)點(diǎn)M1，使它逐漸接近點(diǎn)M（也就是讓x縮小，最后變成0），割線MM1就會(huì)逐步移動(dòng)，漸漸靠近切線MT，向切線MT逼近.從圖中可以看出，當(dāng)M1沿著曲線逐漸向M靠攏時(shí)，MM1的斜率也會(huì)向MT的斜率逐漸靠近.我們可以把上面這句話寫(xiě)成：當(dāng)x0，MM1的斜率MT的斜率.用式子表示：切線MT的斜率=這就是導(dǎo)數(shù)的定義.x中在x前面的那個(gè)三角形，是一個(gè)大寫(xiě)希臘字母，讀作delta，相當(dāng)于英文字母的D.據(jù)說(shuō)牛頓年輕的時(shí)候，由于先天有某種障礙缺陷，無(wú)法精通某種秘密的握手方式，結(jié)果不幸因此被一個(gè)名稱(chēng)中帶的兄弟會(huì)拒絕了他的入會(huì)申請(qǐng).當(dāng)時(shí)他當(dāng)然非常失望，他后來(lái)幽默地用了這個(gè)讓他畢生最傷心的字母，作為他一生最偉大的成就（微積分）的基石.他用x這個(gè)符號(hào)，來(lái)代表x的微小變化.導(dǎo)數(shù)的定義還可以有其他形式，比如用h替代x：還可以用x替代x0，得到：我們假設(shè)，這樣，當(dāng)x0，就相當(dāng)于xx0，可以把式子改寫(xiě)成：從外表看，似乎跟原來(lái)的定義不一樣了，但實(shí)質(zhì)是一回事.什么時(shí)候我們會(huì)用到導(dǎo)數(shù)的極限定義去計(jì)算導(dǎo)數(shù)呢？只有在考核對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解時(shí)才會(huì)遇到，平時(shí)是不會(huì)用到的.二、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率.它把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，使導(dǎo)數(shù)成為函數(shù)知識(shí)與解析幾何知識(shí)交匯的一個(gè)重要載體.因此，用導(dǎo)數(shù)解決與切線有關(guān)的問(wèn)題將是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用涉及如下幾類(lèi)問(wèn)題.一、切線的夾角問(wèn)題例1已知拋物線yx24與直線yx2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線分別為l1和l2.(1)求直線l1與l2的夾角.解析：由方程組，解得A(2，0)，B(3，5)，由y2x，則y|x24，y|x36，設(shè)兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式，tan|,所以arctan.點(diǎn)撥：解答此類(lèi)問(wèn)題分兩步：第一步根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線兩條切線的斜率；第二步利用兩條直線的夾角公式求出結(jié)果(注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)).二、兩條曲線的公切線問(wèn)題例2已知拋物線C1：yx22x和C2：yx2a.如果直線l同時(shí)是C1和C2的切線，稱(chēng)直線l是C1和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱(chēng)為公切線段.(1)a取什么值時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線？寫(xiě)出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.解析：(1)函數(shù)yx22x的導(dǎo)數(shù)y2x2，曲線C1在點(diǎn)P(x1，x2x1)處的切線方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx，函數(shù)yx2a的導(dǎo)數(shù)y2x，曲線C2在點(diǎn)Q(x2，xa)處的切線方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa，如果直線l是過(guò)P和Q的公切線，則式和式都是直線l的方程，所以，消去x2得方程2x2x11a0.當(dāng)判別式442(1a)0時(shí)，即a時(shí)，解得x1，此時(shí)點(diǎn)P和Q重合，即當(dāng)a時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線，由得公切線的方程為yx.（）證明：略點(diǎn)撥：解答此類(lèi)問(wèn)題分三步：第一步分別