高等數(shù)學(xué)課件完整版31935PPT課件VIP

,.,2,一、基本概念,1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.,組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素.,有限集,無(wú)限集,.,3,數(shù)集分類(lèi):,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實(shí)數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,例如,不含任何元素的集合稱(chēng)為空集.,例如,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,.,4,2.區(qū)間:,是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為閉區(qū)間,.,5,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,有限區(qū)間,無(wú)限區(qū)間,區(qū)間長(zhǎng)度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線(xiàn)段的長(zhǎng)度)稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度.,.,6,3.鄰域:,.,7,4.常量與變量:,在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為常量,注意,常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱(chēng)為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x,y,t等表示變量.,.,8,5.絕對(duì)值:,運(yùn)算性質(zhì):,絕對(duì)值不等式:,.,9,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,二、函數(shù)概念,.,10,自變量,因變量,對(duì)應(yīng)法則f,函數(shù)的兩要素:,定義域與對(duì)應(yīng)法則.,約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.,.,11,定義:,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),.,12,(1)符號(hào)函數(shù),幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例,.,13,(2)取整函數(shù)y=xx表示不超過(guò)的最大整數(shù),階梯曲線(xiàn),.,14,(3)狄利克雷函數(shù),.,15,(4)取最值函數(shù),.,16,.,17,例1,脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.,解,單三角脈沖信號(hào)的電壓,.,18,.,19,例2,解,故,.,20,三、函數(shù)的特性,有界,無(wú)界,1函數(shù)的有界性:,.,21,2函數(shù)的單調(diào)性:,.,22,.,23,3函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),.,24,奇函數(shù),.,25,4函數(shù)的周期性:,（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,.,26,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).,四、反函數(shù),.,27,五、小結(jié),基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對(duì)值.,函數(shù)的概念,函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.,反函數(shù),.,28,思考題,.,29,思考題解答,設(shè),則,故,.,30,練習(xí)題,.,31,.,32,練習(xí)題答案,.,34,一、基本初等函數(shù),1.冪函數(shù),.,35,2.指數(shù)函數(shù),.,36,3.對(duì)數(shù)函數(shù),.,37,4.三角函數(shù),正弦函數(shù),.,38,余弦函數(shù),.,39,正切函數(shù),.,40,余切函數(shù),.,41,正割函數(shù),.,42,余割函數(shù),.,43,5.反三角函數(shù),.,44,.,45,.,46,冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).,.,47,二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù),1.復(fù)合函數(shù),定義:,.,48,注意:,1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;,2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.,2.初等函數(shù),由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù).,.,49,例1,解,.,50,綜上所述,.,51,三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),奇函數(shù).,偶函數(shù).,1.雙曲函數(shù),.,52,奇函數(shù),有界函數(shù),.,53,雙曲函數(shù)常用公式,.,54,2.反雙曲函數(shù),奇函數(shù),.,55,.,56,奇函數(shù),.,57,四、小結(jié),函數(shù)的分類(lèi):,函數(shù),初等函數(shù),非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)),代數(shù)函數(shù),超越函數(shù),有理函數(shù),無(wú)理函數(shù),有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)),有理分函數(shù)(分式函數(shù)),.,58,思考題,.,59,思考題解答,不能,.,60,一、填空題:,練習(xí)題,.,61,.,62,練習(xí)題答案,.,63,.,65,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、概念的引入,.,66,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正形的面積,.,67,2、截丈問(wèn)題：,“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”,.,68,二、數(shù)列的定義,例如,.,69,注意：,1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),.,70,播放,三、數(shù)列的極限,.,71,問(wèn)題:,當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問(wèn)題:,“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.,通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,.,72,.,73,如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,.,74,幾何解釋:,其中,.,75,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,.,76,例2,證,所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.,.,77,例3,證,.,78,例4,證,.,79,四、數(shù)列極限的性質(zhì),1.有界性,例如,有界,無(wú)界,.,80,定理1收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.,.,81,2.唯一性,定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,.,82,例5,證,由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.,不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).,.,83,3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a,.,84,五.小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.,.,85,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當(dāng)時(shí)，必有成立,.,86,思考題解答,（等價(jià)）,證明中所采用的,實(shí)際上就是不等式,即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大”的值,.,87,從而時(shí)，,僅有成立，,但不是的充分條件,反而縮小為,.,88,練習(xí)題,.,89,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,.,90,三、數(shù)列的極限,.,91,三、數(shù)列的極限,.,92,三、數(shù)列的極限,.,93,三、數(shù)列的極限,.,94,三、數(shù)列的極限,.,95,三、數(shù)列的極限,.,96,三、數(shù)列的極限,.,97,三、數(shù)列的極限,.,98,三、數(shù)列的極限,.,99,三、數(shù)列的極限,.,100,三、數(shù)列的極限,.,101,三、數(shù)列的極限,.,102,三、數(shù)列的極限,.,104,播放,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,105,通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,問(wèn)題:,如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.,.,106,.,107,2.另兩種情形:,.,108,3.幾何解釋:,.,109,例1,證,.,110,二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限,.,111,.,112,2.幾何解釋:,注意：,.,113,例2,證,例3,證,.,114,例4,證,函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.,.,115,例5,證,.,116,3.單側(cè)極限:,例如,.,117,左極限,右極限,.,118,左右極限存在但不相等,例6,證,.,119,三、函數(shù)極限的性質(zhì),1.有界性,2.唯一性,.,120,推論,3.不等式性質(zhì),定理(保序性),.,121,定理(保號(hào)性),推論,.,122,4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),定義,定理,.,123,證,.,124,例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.,.,125,例7,證,.,126,二者不相等,.,127,四、小結(jié),函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,(見(jiàn)下表),.,128,.,129,思考題,.,130,思考題解答,左極限存在,右極限存在,不存在.,.,131,一、填空題:,練習(xí)題,.,132,.,133,練習(xí)題答案,.,134,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,135,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,136,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,137,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,138,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,139,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,140,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,141,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,142,一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,.,144,一、無(wú)窮小,1.定義:,極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小.,.,145,例如,注意,1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).,.,146,2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,.,147,意義,1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);,3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):,定理2在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.,證,.,148,注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.,.,149,定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,證,.,150,推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,都是無(wú)窮小,.,151,二、無(wú)窮大,絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.,.,152,特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大,注意,1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,3.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.,.,153,不是無(wú)窮大,無(wú)界，,.,154,證,.,155,三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,定理4在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.,證,.,156,意義關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.,.,157,四、小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.,2、幾點(diǎn)注意:,無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.,（1）無(wú)窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；,（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.,（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.,.,158,思考題,.,159,思考題解答,不能保證.,例,有,.,160,一、填空題:,練習(xí)題,.,161,.,162,練習(xí)題答案,.,164,一、極限運(yùn)算法則,定理,證,由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得,.,165,.,166,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.,推論2,有界，,.,167,二、求極限方法舉例,例1,解,.,168,小結(jié):,.,169,解,商的法則不能用,由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得,例2,.,170,解,例3,(消去零因子法),.,171,例4,解,(無(wú)窮小因子分出法),.,172,小結(jié):,無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.,.,173,例5,解,先變形再求極限.,.,174,例6,解,.,175,例7,解,左右極限存在且相等,.,176,三、小結(jié),1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;,2.極限求法;,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,.,177,思考題,在某個(gè)過(guò)程中，若有極限，無(wú)極限，那么是否有極限？為什么？,.,178,思考題解答,沒(méi)有極限,假設(shè)有極限，,有極限，,由極限運(yùn)算法則可知：,必有極限，,與已知矛盾，,故假設(shè)錯(cuò)誤,.,179,一、填空題:,練習(xí)題,.,180,二、求下列各極限:,.,181,.,182,練習(xí)題答案,.,184,一、無(wú)窮小的比較,例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,.,185,定義:,.,186,例1,解,例2,解,.,187,常用等價(jià)無(wú)窮小:,用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:,例如,.,188,二、等價(jià)無(wú)窮小替換,定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理),證,.,189,例3,解,不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.,對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.,注意,.,190,例4,解,解,錯(cuò),.,191,例5,解,.,192,三、小結(jié),1.無(wú)窮小的比較:,反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.,2.等價(jià)無(wú)窮小的替換:,求極限的又一種方法,注意適用條件.,高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.,.,193,思考題,任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？,.,194,思考題解答,不能,例當(dāng)時(shí),都是無(wú)窮小量,但,不存在且不為無(wú)窮大,故當(dāng)時(shí),.,195,練習(xí)題,.,196,.,197,.,198,練習(xí)題答案,.,199,.,201,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,.,202,2.連續(xù)的定義,.,203,.,204,例1,證,由定義2知,.,205,3.單側(cè)連續(xù),定理,.,206,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù),.,207,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn).,例如,.,208,例3,證,.,209,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),.,210,1.跳躍間斷點(diǎn),例4,解,.,211,2.可去間斷點(diǎn),例5,.,212,解,注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,.,213,如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).,特點(diǎn),.,214,3.第二類(lèi)間斷點(diǎn),例6,解,.,215,例7,解,注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).,.,216,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn).,僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.,.,217,在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).,判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型:,.,218,例8,解,.,219,三、小結(jié),1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件;,3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.,第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.,間斷點(diǎn),(見(jiàn)下圖),.,220,可去型,第一類(lèi)間斷點(diǎn),跳躍型,無(wú)窮型,振蕩型,第二類(lèi)間斷點(diǎn),.,221,思考題,.,222,思考題解答,且,.,223,但反之不成立.,例,但,.,224,練習(xí)題,.,225,.,226,練習(xí)題答案,.,227,.,229,一、四則運(yùn)算的連續(xù)性,定理1,例如,.,230,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,.,231,定理3,證,.,232,將上兩步合起來(lái):,.,233,意義,1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;,例1,解,.,234,例2,解,同理可得,.,235,定理4,注意定理4是定理3的特殊情況.,例如,.,236,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,.,237,定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,(均在其定義域內(nèi)連續(xù)),定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,.,238,1.初等函數(shù)僅