模糊數(shù)學(xué)建模方法

數(shù)學(xué)建模模糊數(shù)學(xué)方法,郝永花,2018年8月31日,?,模糊數(shù)學(xué)是研究什么的？,序言,現(xiàn)象的劃分,確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫；隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看哪一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠概率統(tǒng)計(jì)去刻畫;模糊現(xiàn)象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很帥”等等。此話準(zhǔn)確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫。,模糊現(xiàn)象,模糊概念源自于實(shí)踐模糊概念（現(xiàn)象）無處不在,風(fēng)的強(qiáng)弱,人的胖瘦,年齡大小,個(gè)子高低,非此即彼？,“高個(gè)子”“年輕”現(xiàn)實(shí)世界中的很多概念具有模糊性模糊性：客觀事物差異的中間過渡中的不分明性，難以劃定界限。非此即彼？亦此亦彼，模糊概念,模糊現(xiàn)象：“亦此亦彼”的不分明現(xiàn)象。,模糊數(shù)學(xué)研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。,什么是模糊數(shù)學(xué),眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的.然而，與精確性相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價(jià)值的.甚至可以這樣說，有時(shí)模糊性比精確性還要好。例如,你要到某時(shí)某地去迎接一個(gè)“大胡子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”。盡管這里只提供了一個(gè)精確信息男人，而其他信息大胡子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個(gè)人。,L.A.Zadeh教授1965年，發(fā)表文章FuzzySets,基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于,模糊數(shù)學(xué)可以對(duì)不精確數(shù)據(jù)以及語言進(jìn)行構(gòu)模,例如：近似為3，大約在7-8之間，很高，略微有點(diǎn)等,模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立及基本思想,三大數(shù)學(xué)模型,處理現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型可分為三大類：確定性數(shù)學(xué)模型：背景對(duì)象具有確定性或固定性；隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型：背景對(duì)象的發(fā)生具有或然性或隨機(jī)性；模糊性數(shù)學(xué)模型：背景對(duì)象及其關(guān)系均具有模糊性。,模糊數(shù)學(xué)有什么用,模糊數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性,模糊技術(shù)是21世紀(jì)的核心技術(shù)，其應(yīng)用滲透到自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的很多領(lǐng)域：1）軟科學(xué)方面：投資決策、企業(yè)效益評(píng)估、經(jīng)濟(jì)宏觀調(diào)控等；2）地震科學(xué)方面：地震預(yù)報(bào)、地震危害分析；3）工業(yè)過程控制方面：模糊控制技術(shù)是復(fù)雜系統(tǒng)控制的有效手段；4）家電行業(yè)：模糊家電產(chǎn)品,提高了機(jī)器的“IQ”；5）航空航天及軍事領(lǐng)域：飛行器對(duì)接C3I指揮自動(dòng)化系統(tǒng)，NASA；6）人工智能與計(jì)算機(jī)高技術(shù)領(lǐng)域：模糊推理機(jī)、F專家系統(tǒng)、F數(shù)據(jù)庫、F語言識(shí)別系統(tǒng)、F機(jī)器人等；7）其它：核反應(yīng)控制、醫(yī)療診斷等。,模糊數(shù)學(xué)方法的范例,模糊綜合評(píng)判法產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評(píng)價(jià)等；模糊聚類分析土壤分類、市場(chǎng)分析等；模糊模式識(shí)別識(shí)別當(dāng)前的通貨膨脹程度、害蟲危害程度等。,第一部分模糊數(shù)學(xué)基本概念,1.1模糊集合,1.2模糊關(guān)系,1.1模糊集合,經(jīng)典集的隸屬程度只能取0或1如何亦此亦彼？打破這個(gè)限制表現(xiàn)“亦此亦彼”的模糊概念,設(shè)X是論域，,則稱A是X上的模糊集。,X上全體模糊集集合記為F(X).,A(x)稱為x屬于A的隸屬度.,1.模糊集合（Fuzzysets）,當(dāng)映射A(x)只能取0或1時(shí)，模糊集A就是經(jīng)典集，而A(x)就是它的特征函數(shù)。可見經(jīng)典集就是模糊集的特殊情形。,例1.1,(1)向量表示法,(2)Zadeh表示法,當(dāng)論域X有限時(shí)，模糊集合可表示如下：,2.模糊集合的表示,例2.2“20歲左右”,論域（年齡）：.,17,18,19,20,21,22,23,.“20歲左右”這個(gè)模糊集可以表示為：0.8/18+0.9/19+1/20+0.9/21+0.8/220.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23.,隸屬度,集合元素,例2.3X=上海，北京，天津，西安為城市的集合。模糊集合C=“對(duì)城市的愛好”可以表示為：C=(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6),（3）序偶表示法,3.模糊集的運(yùn)算,并：,交：,余：,例2.4,1.2模糊關(guān)系,在日常生活中，“關(guān)系”的概念隨處可見，如父子關(guān)系、同事關(guān)系、身高與體重之間的關(guān)系、兩個(gè)人的相像關(guān)系等。在數(shù)學(xué)上，有大于、包含、近似相等、遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于等關(guān)系。在各種各樣的關(guān)系中，有些是明確的，如父子、同事、大于、包含等關(guān)系；許多則是界限不明確的關(guān)系，如朋友關(guān)系、身高與體重之間的關(guān)系、兩個(gè)人的相像關(guān)系、近似相等、遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于等，對(duì)于這類關(guān)系用簡(jiǎn)單的“肯定”或“否定”，即用“1”或者“0”來刻畫顯然是不合適的。模糊關(guān)系將關(guān)系的值域擴(kuò)充為0,1，從而引入了模糊關(guān)系的概念。,1.模糊關(guān)系（Fuzzyrelation）,例2.5,2.模糊矩陣,對(duì)于有限論域X=x1,x2,xn和Y=y1,y2,ym，則X到Y(jié)模糊關(guān)系R可用nm階模糊矩陣表示，即其中rij0,1表示xi與yj具有模糊關(guān)系R的程度。,有限論域上的模糊關(guān)系,例2.6,設(shè)A=徐某，張某，王某，B=英，日，俄，法，若用成績(jī)除以100折合成隸屬度來描述掌握外語的程度，則可得如下表1中的模糊關(guān)系，即小組成員“掌握外語程度”的模糊關(guān)系。,表1掌握外語的程度,例2.7設(shè)有一組同學(xué)（徐某，張某，王某），他們選修英，日，俄，法四種外語中的任幾門，他們選修和結(jié)業(yè)成績(jī)?nèi)缦拢盒炷秤⒄Z85徐某日語70徐某俄語75張某英語90王某英語70王某法語80,3.模糊關(guān)系的運(yùn)算,將矩陣乘法中乘積改為取小，加改為取大,4.模糊關(guān)系的合成,特殊模糊關(guān)系,自反關(guān)系：,主對(duì)角線上元素全為1,對(duì)稱關(guān)系：,矩陣為對(duì)稱陣,傳遞關(guān)系：,R為傳遞關(guān)系,相似關(guān)系：,自反+對(duì)稱,等價(jià)關(guān)系：,自反+對(duì)稱+傳遞,特殊模糊關(guān)系,第二部分模糊數(shù)學(xué)的基本應(yīng)用,2.1模糊綜合評(píng)判,2.2模糊聚類分析,2.3模糊模式識(shí)別,2.1模糊綜合評(píng)判法,根據(jù)多個(gè)因素對(duì)事物進(jìn)行評(píng)定，稱為綜合評(píng)判。在日常生活中，當(dāng)要對(duì)某種東西作出好、較好、不好等評(píng)價(jià)時(shí)，常常感到不易判斷。因?yàn)檫@是一個(gè)模糊的概念，同時(shí)涉及的因素很多。如果運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)的方法，將可以較好地解決這個(gè)問題，解決此類問題的方法叫模糊綜合評(píng)判法。,1.模糊綜合評(píng)判法步驟：,（6）得到歸一化后的模糊變換結(jié)果：（7）根據(jù)最大隸屬度原則，對(duì)做出評(píng)價(jià)判斷。,2.模糊綜合評(píng)判應(yīng)用實(shí)例例2.1（網(wǎng)絡(luò)課程評(píng)價(jià)）我們對(duì)于某學(xué)校的校園網(wǎng)絡(luò)一期建設(shè)情況進(jìn)行評(píng)判，設(shè)包括三個(gè)因素，即硬件建設(shè)，軟件建設(shè)、人員培訓(xùn)，用論域U表示為：U=硬件建設(shè)（u1），軟件建設(shè)（u2），人員培訓(xùn)（u3）而評(píng)語論域V表示為：V=很好（v1），較好（v2），一般（v3），不好（v4）亦即分為四個(gè)等級(jí)，并用百分比或小數(shù)表示。現(xiàn)邀請(qǐng)一些專門人員進(jìn)行評(píng)價(jià)，若用人數(shù)的百分比來表示評(píng)價(jià)結(jié)果如表2所示,表2評(píng)價(jià)結(jié)果,現(xiàn)在假定根據(jù)實(shí)際需要，在對(duì)校園網(wǎng)絡(luò)一期建設(shè)做出要求時(shí)，主要是硬件建設(shè)（0.5）,其次是人員培訓(xùn)（0.3），對(duì)軟件建設(shè)要求稍低（0.2）。這就構(gòu)成一個(gè)由三個(gè)權(quán)數(shù)分配構(gòu)成的一行模糊向量：,現(xiàn)要做出綜合評(píng)判，必須進(jìn)行模糊變換:為了明確地顯示綜合評(píng)判的結(jié)果，還需做歸一化處理,歸一化后的模糊變換結(jié)果為：=（0.33，0.27，0.20，0.20）.此結(jié)果表示，對(duì)該學(xué)校的校園網(wǎng)一期建設(shè)情況而言，將硬件建設(shè)、軟件建設(shè)、人員培訓(xùn)同時(shí)考慮的結(jié)果，根據(jù)最大隸屬度法，該校園網(wǎng)建設(shè)仍然是“很好”占最大比重（0.33）。,電腦綜合評(píng)判,某同學(xué)想購(gòu)買一臺(tái)電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個(gè)指標(biāo)“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”;“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；價(jià)格”。于是請(qǐng)同宿舍同學(xué)一起去買電腦。為了數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，先令,例2.2,=“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；,=“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；,=“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；,=“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；,=“價(jià)格”。,稱,為因素集。,評(píng)語集,其中,=“很受歡迎”；,=“較受歡迎”；,=“不太受歡迎”；,=“不受歡迎”；,任選幾臺(tái)電腦，請(qǐng)同學(xué)和購(gòu)買者對(duì)各因素進(jìn)行評(píng)價(jià)。,若對(duì)于運(yùn)算功能有20%的人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%的人認(rèn)為“較受歡迎”，30%的人認(rèn)為“不太受歡迎”，沒有人認(rèn)為“不受歡迎”，則的單因素評(píng)價(jià)向量為,同理，對(duì)存儲(chǔ)容量，運(yùn)行速度，外設(shè)配置和價(jià)格,分別作出單因素評(píng)價(jià)，得,組合成評(píng)判矩陣,據(jù)調(diào)查，近來用戶對(duì)微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價(jià)格便宜，而對(duì)運(yùn)算和存儲(chǔ)量則要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配向量：,作模糊變換：,存儲(chǔ)容量,運(yùn)行速度,外設(shè)配置,價(jià)格,運(yùn)算功能,若進(jìn)一步將結(jié)果歸一化得：,結(jié)果表明，用戶對(duì)這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為0.32，“較受歡迎”和“不太受歡迎”的程度為0.27，“不受歡迎”的程度為0.14。按最大隸屬原則，結(jié)論是：“很受歡迎”。,2.2模糊聚類分析,聚類分析是按照一定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)事物進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法?，F(xiàn)實(shí)問題的分類多數(shù)伴隨著模糊性。因此，聚類分析用模糊數(shù)學(xué)語言來描述、表達(dá)，將顯得更自然和方便。模糊聚類分析根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系。模糊聚類分析在天氣預(yù)報(bào)、農(nóng)林、醫(yī)學(xué)、生物、化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。,問題：,基于模糊等價(jià)關(guān)系的模糊聚類分析法的一般步驟：,絕對(duì)值減數(shù)法,例2.3,環(huán)境單元分類,每個(gè)環(huán)境單元包括空氣、水分、土壤、作物,四要素，環(huán)境單元的污染狀況由污染物在四,要素中含量的超限量來描述，現(xiàn)設(shè)有五個(gè)環(huán),境單元，它們的污染數(shù)據(jù)如下：,空氣,水分,土壤,作物,單元,要素,全體歸為一類,全體歸為一類,2.3模糊模式識(shí)別,模式:,供模仿用的標(biāo)本,模式識(shí)別:,模糊模式識(shí)別:,標(biāo)本或待識(shí)別的事物具有模糊性時(shí)，利用模糊數(shù)學(xué)方法處理模式識(shí)別問題。,已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個(gè)具體對(duì)象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識(shí)別。,模型識(shí)別在實(shí)際問題中是普遍存在的。例如，學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機(jī))在分揀信件時(shí)要識(shí)別郵政編碼等等，這些都是模型識(shí)別。,模式識(shí)別方法：,最大隸屬原則(直接)：用于個(gè)體的識(shí)別,擇近原則(間接)：用于群體的識(shí)別,1.個(gè)體模糊模式識(shí)別,問題：,最大隸屬原則：,例2.4,35歲應(yīng)相對(duì)屬于中年人,例2.5細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別,細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別就是幾何圖形的模糊識(shí)別,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€(gè)三角圖形,故設(shè)論域?yàn)槿切稳w.即X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC。標(biāo)準(zhǔn)模型庫=E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，測(cè)得其三個(gè)內(nèi)角分別為94,50,36,即待識(shí)別對(duì)象為x0=(94,50,36).問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形？,先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫中各種三角形的隸屬函數(shù).,直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：(1)當(dāng)A=90時(shí),R(A,B,C)=1;(2)當(dāng)A=180時(shí),R(A,B,C)=0;(3)0R(A,B,C)1.,因此，不妨定義R(A,B,C)=1-|A-90|/90.則R(x0)=0.955.,正三角形的隸屬函數(shù)E(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：,(1)當(dāng)A=B=C=60時(shí),E(A,B,C)=1;(2)當(dāng)A=180,B=C=0時(shí),E(A,B,C)=0;(3)0E(A,B,C)1.,因此，不妨定義E(A,B,C)=1(AC)/180.則E(x0)=0.677.,等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：,(1)當(dāng)A=B或者B=C時(shí),I(A,B,C)=1;(2)當(dāng)A=120,B=60,C=0時(shí),I(A,B,C)=0;(3)0I(A,B,C)1.,因此，不妨定義I(A,B,C)=1(AB)(BC)/60.則I(x0)=0.766.,等腰直角三角形的隸屬函數(shù)(IR)(A,B,C)=I(A,B,C)R(A,B,C);,(IR)(x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隸屬函數(shù)T(A,B,C)=IcRcEc=(IRE)c.,T(x0)=(0.7660.9550.677)c=(0.955)c=0.045.,通過以上計(jì)算,R(x0)=0.955最大,所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形.,閾值原則：,貼近度：,2.群體模式識(shí)別,內(nèi)積：,外積：,相關(guān)定義,稱為A,B的格貼近度.,擇近原則：,問題：,群體模糊模式識(shí)別,茶葉等級(jí)識(shí)別,茶葉分為I，II，III，IV，V種，識(shí)別