第二節(jié)點線面的投影.ppt

1.2點、線、面的投影,1.2點的投影,點、線、面是構成物體形狀的基本幾何元素。為正確表達物體形狀，必須先掌握這些基本幾何元素的投影規(guī)律。,1.2.1點在一個投影面上的投影,過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。,采用多面投影。,過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。,點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。,1、點在一個投影面上的投影,a,1.2點的投影,二、點的三面投影,投影面,正面投影面（簡稱正面或V面）,水平投影面（簡稱水平面或H面）,側面投影面（簡稱側面或W面）,投影軸,OX軸V面與H面的交線,OZ軸V面與W面的交線,OY軸H面與W面的交線,三個投影面互相垂直,空間點A在三個投影面上的投影,空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不動,投影面展開,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,點的投影規(guī)律:,aaOX軸,aax=aaz=y=A到V面的距離,aax=aay=z=A到H面的距離,aay=aaz=x=A到W面的距離,aaOZ軸,例：已知點的兩個投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過作45線使aaz=aax,解法二:,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,例題1已知點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。,例題2已知A點的坐標為x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A點的三面投影圖。,例題3已知點A的三面投影，試確定點A的空間位置。,x=12,z=20,y=18,例題4已知點A在H面上，點B在W面上，點C在V面上，試求各點的投影。,O,三、兩點的相對位置,兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。,判斷方法：,x坐標大的在左,y坐標大的在前,z坐標大的在上,b,a,a,a,b,b,B點在A點之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,2.比較兩點的相對位置,重影點：,空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。,A、C為H面的重影點,a,a,c,被擋住的投影加(),(),ac,立體上的重影點,E,B,D,C,b,e,d,c,b,(a),(b),(c),A,1.2.2直線的投影,直線的投影可由直線上任兩點的同名投影來確定。如圖所示，分別作出直線AB上兩端點A、B的三面投影，用直線連接兩點的同面投影得到ab、ab和ab即為AB的三面投影。,各種位置直線的投影,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜,垂直于某一投影面,與三個投影面都傾斜的直線,(1)投影面平行線的投影特性,b,O,在其平行的那個投影面上，投影反映實長并反映直線與另兩投影面傾角。,另兩個投影面上，投影平行于相應的投影軸。,水平線,側平線,正平線,投影特性：,實長,實長,實長,(2)物體上平行線的投影分析,（1）投影面垂直線的投影特性,鉛垂線,正垂線,側垂線,在另外兩個投影上，反映線段實長且垂直于相應的投影軸。,在其垂直的投影面上，投影有積聚性。,投影特性:,（2）物體上垂直線的投影分析,一般位置直線,投影特性：,三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。,例1：判別下列直線的空間位置,鉛垂線,正平線,一般位置線,例1：判斷形體中直線的空間位置,AB是線AC是線CD是線,側垂線,鉛垂線,水平線,例2：試分析立體表面上各線段的空間位置。,例題：判斷下列直線的位置,直線上點的投影,（1）若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。,若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上（即不滿足從屬性）。,判別方法：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,等比性,從屬性,（2）直線上的點分割直線之比與其投影分割直線投影之比相等。即：,點C不在直線AB上,例1：判斷點C是否在線段AB上。,點C在直線AB上,例2：判斷點K是否在線段AB上。,a,b,因k不在ab上所以點K不在A上。,a,b,k,a,b,k,方法1：利用從屬性,方法2：利用等比性,兩直線的相對位置,空間兩直線的相對位置分為：,兩直線平行,平行、相交、交叉等三種情況。,V,H,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,結論:對于投影面平行線，只有這兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。若要用兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。,求出側面投影后可知：,AB與CD不平行。,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,求出側面投影,如何判斷？,兩直線相交,判別方法：,若空間兩直線相交，則其同名投影必交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律（三等）。,例：過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,例題8給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成四邊形的H投影。,1(2),3(4),兩直線交叉,投影特性：,（1）同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。,（2）“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,、在H面是重影點。,為什么？,兩直線相交嗎？,例、判定兩直線是否相交,X,YW,Z,YH,d,c,c,c,a,b,a,b,O,d,a,b,d,k,k,k,交點不符合投影規(guī)律,O,X,a,b,c,d,a,b,c,d,1(2),1,2,4(3),3,4,例：判斷兩直線的位置關系,交叉,判斷兩重影點其積聚性投影的可見性時，需要看兩重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。,判斷三棱錐可見性,1(2),3(4),相互垂直的二直線的投影,（a）立體圖,(b)二直相交線垂直,(c)二直相交線垂直,(d)二直相交線垂直,定理一垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。,1.2.3平面的投影,一、平面的表示方法,平面通常用確定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示，如圖所示。,圖1用幾何元素表示平面,平面的投影特性,投影特性,a、平面平行投影面投影反映實形,b、平面垂直投影面投影積聚成直線,c、平面傾斜投影面投影類似原平面,實形性,類似性,積聚性,（1）平面對一個投影面的投影特性,（2）各種位置平面的投影,平面對于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,H,(1)投影面垂直面的投影特性,a,b,c,a,c,b,c,b,a,積聚性,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個投影面上的投影有類似性。,為什么？,是什么位置的平面？,主、左視圖類似性,投影面平行面,投影面平行面的投影特性,實形性,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映實形。,另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。,積聚性,積聚性,這是什么位置平面？,水平面！,一般位置平面,c、一般位置平面,三個投影都是類似形。,投影特性：,1.2.4點、直線、平面的從屬關系,判斷直線在平面內的方法,（1）平面上取任意直線,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。,解法一：根據(jù)定理一,解法二：根據(jù)定理二,問：有多少解？,答：有無數(shù)解。,例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,答：唯一解！,問：有多少解？,2.在平面上作正平線和水平線,（2）平面上取點,先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,面上取點的方法：,首先面上取線,利用平面的積聚性求解,通過在面內作輔助線求解,例題設在四棱臺前側面BCED上有一點A。已知它的水平投影a，求正面投影a。,b,k,b,例2：已知AC為正平線，補全平行四邊形