工程力學(xué) 理論力學(xué) 約束、自由度與廣義坐標(biāo)PPT課件

問題,觀察運(yùn)動機(jī)構(gòu)所給的運(yùn)動條件,觀察運(yùn)動機(jī)構(gòu)所給條件運(yùn)動條件,約束、自由度與廣義坐標(biāo),一、問題的提出,物體系統(tǒng)根據(jù)其與外界環(huán)境之間的關(guān)系，可分成自由系統(tǒng)與非自由系統(tǒng)。,17世紀(jì)牛頓當(dāng)時的經(jīng)典力學(xué)所能解決的主要問題是屬于自由質(zhì)點或自由質(zhì)點系動力學(xué)。(兩體問題),18世紀(jì)產(chǎn)生了剛體動力學(xué)問題，也就是說提出了受約束質(zhì)點系的動力學(xué)問題。,今天大量工程實際問題作初步分析時，一般都是受約束系統(tǒng)的建模問題。首先要確定系統(tǒng)獨立的運(yùn)動學(xué)變量。,研究約束質(zhì)點系的力學(xué)問題，必須闡明約束，自由度與廣義坐標(biāo)的概念。,二、約束,1.約束概念,約束就是限制物體任意運(yùn)動的條件。,不受約束可以任意運(yùn)動的質(zhì)點系稱為自由質(zhì)點系,受有約束而不能任意運(yùn)動的質(zhì)點系則稱為非自由質(zhì)點系。,剛體靜力學(xué)研究約束,是探究約束的原因-約束力,運(yùn)動學(xué)研究約束,是探究約束的結(jié)果-運(yùn)動的限制,F,2.獨立坐標(biāo)、位形空間、約束方程的概念,(1)坐標(biāo),確定一個自由質(zhì)點在空間的位置需要三個獨立參數(shù)，這些參數(shù)或代表長度或代表角度，統(tǒng)稱坐標(biāo)。,(2)位形,對于由n個自由質(zhì)點組成的自由質(zhì)點系，則需要3n個獨立坐標(biāo)，這3n個的坐標(biāo)集合稱為自由質(zhì)點系的位形。,(3)約束方程,約束可以通過聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時間導(dǎo)數(shù)以及時間t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之為約束方程。,3.約束的分類,如果限制運(yùn)動的條件僅是幾何性質(zhì)的，則稱為幾何約束。,單擺:,曲面上的質(zhì)點：,（1）幾何約束與運(yùn)動約束,幾何約束,約束方程的一般形式：,(r=1,2,s),運(yùn)動約束,幾何約束,運(yùn)動約束,純滾動的圓輪：,如果運(yùn)動時速度也受到一定條件的限制，則這個條件稱為運(yùn)動約束。,約束方程的一般形式,(r=1,2,s),（2）定常約束與非定常約束,定常約束,當(dāng)約束方程中都不包含時間t時，這種約束稱為定常約束。,定常幾何約束,非定常幾何約束,若約束方程中明顯包含時間t，這種約束就稱為非定常幾何約束。,約束方程的一般形式：,（3）完整約束與非完整約束,約束方程中不包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)（即質(zhì)點系中各質(zhì)點速度的投影）的約束，稱為完整約束。,約束方程總是以微分形式表示，不可能積分成有限的形式的約束稱為非完整約束。,1位移約束-全部幾何約束,2運(yùn)動約束可積分-如純滾動的圓輪;,運(yùn)動約束不可積分-碰撞系統(tǒng),摩擦系統(tǒng)等。,約束方程的一般形式為：,（4）單面約束與雙面約束,雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的等號表示的約束。,OA為剛性桿：,單面約束：在約束方程含有不等號表示的約束。,OA為柔繩：,約束方程的一般形式：,約束方程的一般形式：,或0,n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，約束方程的一般形式為：,(r=1,s),約束方程的個數(shù)為：s,4.約束方程,靜力學(xué)問題中涉及的約束都是定常幾何約束。,本教材研究：定常、雙面、完整約束。,例:平面剛體位形的描述方法和約束方程,1.剛體基于兩點的描述和約束方程,位形描述:,約束方程:,2.剛體基于點線的描述和約束方程,位形描述:,約束方程:,三、廣義坐標(biāo)、自由度,自由度：唯一確定質(zhì)點系空間位置的獨立坐標(biāo)個數(shù),平面質(zhì)點:,空間質(zhì)點:,i=1,2,n,1.基本概念,自由度定義為質(zhì)點系解除約束時的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù)。,與自由度相對應(yīng)的獨立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo)。,2.自由剛體的自由度,最簡單的剛體由4個質(zhì)點用6根剛桿組成幾何不變體(形如四面體)，則自由剛體的自由度為：,此后每增加一個質(zhì)點就增加3根剛桿。,每一根剛桿相當(dāng)于一個約束，所以約束數(shù)為：,設(shè)節(jié)點數(shù)為n,約束數(shù)為s。則寫成,n=4,則一般地：,n4,n4,剛體的定點運(yùn)動的描述方法1歐拉坐標(biāo),繞z0軸轉(zhuǎn)過y角進(jìn)動角,繞x1軸轉(zhuǎn)過q角章動角,繞z2軸轉(zhuǎn)過j角自轉(zhuǎn)角,3.自由剛體的廣義坐標(biāo),剛體的定點運(yùn)動的描述方法2卡爾丹坐標(biāo),繞x0軸轉(zhuǎn)過a角,繞y1軸轉(zhuǎn)過b角,繞z2軸轉(zhuǎn)過g角,組成的6個獨立參變量就是自由剛體的廣義坐標(biāo)。,它們被用于描述剛體的位形。,4.受約束剛體的自由度,設(shè)剛體數(shù)為n，則受約束的空間剛體系的自由度數(shù)k=6n-s,受約束的平面剛體系的自由度數(shù)：k=？,若歐拉坐標(biāo)或卡爾丹坐標(biāo)的原點（基點）建立平動坐標(biāo),5.約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo),約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運(yùn)動形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運(yùn)動形式時的廣義坐標(biāo)數(shù)。,四實例:機(jī)構(gòu)如圖,輪C作純滾動,試寫出約束方程和確定自由度。,3.約束方程(在點O建立直角坐標(biāo)),1.剛體數(shù)目3;,2.定軸轉(zhuǎn)動剛體OA;平面運(yùn)動剛體AB及輪C;,總計8個約束方程,yC=yD-r,式中：,局部法,4.廣義坐標(biāo),5.自由度計算,廣義坐標(biāo)數(shù)為:3n-s=1,即:,自由度,約束方程數(shù)：s=8,或,剛體數(shù):n=3,選廣義坐標(biāo)為:,自由度恒等于廣義坐標(biāo)數(shù),或,整體法:,位形描述,約束方程:,整體法:,位形描述,約束方程:,點D的位置,點D的位置,總計8個約束方程,約束方程：,局部法:,廣義坐標(biāo),自由度,本例為質(zhì)點與剛體,具有同一點,問題,本運(yùn)動機(jī)構(gòu)的自由度,本運(yùn)動機(jī)構(gòu)的自由度,五、總結(jié),(1)檢查剛體(質(zhì)點)數(shù)目n。,(2)檢查各剛體的運(yùn)動形式。,(3)列寫出約束方程。,