機(jī)械動(dòng)力學(xué)演示文稿（四）.ppt

五.模態(tài)分析,n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的一般性質(zhì)：,主振型之間有聯(lián)系，主要反映在主振型的正交性（重要性質(zhì)）,（一）主振型的正交性：,正交性的證明：任選取兩個(gè)不同主振型,由特征值問題方程：,(1),(2),（sr）,(1)式兩端前乘,(2)式兩端前乘得：,（3）,（4）,將（4）式兩邊轉(zhuǎn)置：,（5）,（3）-（5）式得：,（6）式代入（3）式得：,4-1,（6）和（7）說明不同的兩個(gè)主振型（r階與s階）存在著對(duì)質(zhì)量矩陣（6）式和剛度矩陣（7）式的正交性。統(tǒng)稱主振型的正交性。若對(duì)（1）式兩邊前乘得：,因，因此二齊次函數(shù)（二次型）：,稱第r階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量,稱第r階主剛度或模態(tài)剛度,（r=1,2,n）,(8)兩邊除得,上式說明，第r階固有頻率平方等于第r階主剛度與第r階主質(zhì)量的比值（與單自由度公式類似）,歸納如下：,4-2,主振型正交性:數(shù)學(xué)上“線性獨(dú)立”,（二）主振型正交性的物理意義：,“主振型”數(shù)學(xué)上是一個(gè)向量，當(dāng)為單位矩陣時(shí)，是向量的正交性。當(dāng)向量表示空間有向線段時(shí)，是幾何上線段“相互垂直”，當(dāng)向量大于三維時(shí)，是相互線性獨(dú)立性（任一向量不能用其它向量線性表示）,如圖車床刀架簡(jiǎn)化模型，當(dāng)?shù)都茏魑⒎駝?dòng)時(shí)，認(rèn)為這兩彈簧彼此獨(dú)立，經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)主振型為：,第一階主振型，沿坐標(biāo)原點(diǎn)斜率為的直線作振動(dòng)。,第二階主振型，沿坐標(biāo)原點(diǎn)斜率為的直線作振動(dòng)。,通過證明（兩條線段相互垂直）,單質(zhì)點(diǎn)的平面（二自由度）振動(dòng)和空間（三自由度）振動(dòng)，主振型的正交性同幾何上方向垂直概念相同。多自由度多質(zhì)點(diǎn)系的振動(dòng)，主振型正交性無(wú)法用幾何上方向垂直說明。其正交性只能從能量的觀點(diǎn)說明。,主振型正交性：物理意義,4-3,說明每一個(gè)主振動(dòng)，動(dòng)能和勢(shì)能之和永遠(yuǎn)是常數(shù)。,多自由度系統(tǒng)動(dòng)能T，勢(shì)能U表達(dá)式：,則：,某一r階主振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和為常數(shù)：,系統(tǒng)振動(dòng)過程中，每一主振動(dòng)內(nèi)部動(dòng)能和勢(shì)能可相互轉(zhuǎn)化，象一獨(dú)立單自由度系統(tǒng)一樣。從能量觀點(diǎn)：各階主振動(dòng)之間相互獨(dú)立，之間不會(huì)發(fā)生能量傳遞。,4-4,將系統(tǒng)n個(gè)主振型（主模態(tài)）每一個(gè)作為一列按階次排列在一個(gè)矩陣，便組成n階方陣。,（三）模態(tài)矩陣（振型矩陣）,稱模態(tài)矩陣（振型矩陣）前面已證,因此:,根據(jù)正交性：上式=,模態(tài)質(zhì)量矩陣（主質(zhì)量矩陣）,=,4-5,同樣：,可得,模態(tài)剛度矩陣（主剛度矩陣）,例：前面求出,模態(tài)矩陣,4-6,求模態(tài)質(zhì)量矩陣：,求模態(tài)剛度矩陣：,4-7,（四）主坐標(biāo)與模態(tài)分析,用可使都變成對(duì)角矩陣，自然會(huì)用作為變換矩陣，對(duì)一般物理坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換：,坐標(biāo)變換,并在方程兩邊前乘得：,展開,(25),方程（25）是以新的廣義坐標(biāo)表達(dá)，是模態(tài)剛度矩陣，是模態(tài)質(zhì)量矩陣（都是對(duì)角矩陣）。因此用廣義坐標(biāo)表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程組是一個(gè)互不耦合，相互獨(dú)立的。這正是坐標(biāo)變換的目的。,模態(tài)分析定義：用由系統(tǒng)各主振型組成的模態(tài)矩陣為變換矩陣，對(duì)原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，可使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都同時(shí)對(duì)角線化；得到一組互不耦合的模態(tài)方程，其中每一個(gè)方程的結(jié)構(gòu)都和一個(gè)單自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程相同，可用解單自由度系統(tǒng)的方法分別求解，得多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)。這樣一個(gè)過程，通常稱為模態(tài)分析。用這種方法求得的解是各主振型的線性疊加，故又稱為振型疊加法。,4-8,坐標(biāo)變換物理意義：展開形式：,原廣義坐標(biāo)是系統(tǒng)各階主振型的線性組合。,振動(dòng)系統(tǒng)的任何可能的運(yùn)動(dòng)都是各階主振型按一定比例疊加起來(lái)的。這n個(gè)比例因子，就是n個(gè)新的廣義坐標(biāo)的值。稱新的廣義坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。,主坐標(biāo)的含義：（以某一r階主坐標(biāo)說明）,表示第r階主振型對(duì)運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)，也可以說，主坐標(biāo)相當(dāng)于r階主振型的參與因子。,總之，每一個(gè)主坐標(biāo)的值，等于其對(duì)應(yīng)各階主振型分量在系統(tǒng)原坐標(biāo)值中占有成份的大小。,4-9,六動(dòng)力響應(yīng)多自由度系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)力作用下，激起受迫振動(dòng)方程是：,（1）,用模態(tài)分析法對(duì)方程求解，先從無(wú)阻尼討論，再討論有阻尼情況,（一）無(wú)阻尼情況,（2）,（1）一般解題步驟：a).求系統(tǒng)各階固有頻率各階主振型并組成模態(tài)矩陣,b).作坐標(biāo)變換：,（3）,將方程變換為模態(tài)方程：,或：,（4）,4-10,（5）,或,c).按單自由度系統(tǒng)的方法分別求解方程中各方程（4），得：,d).把求得的回代到式（3）最后得系統(tǒng)原廣義坐標(biāo)上的響應(yīng),分不同激振形式：簡(jiǎn)諧激勵(lì)初始激勵(lì)討論：,（2）簡(jiǎn)諧激勵(lì)：當(dāng)系統(tǒng)受到同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)：有方程：,（a）,設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)為,按上述解題步驟：,4-11,a.求自由振動(dòng)時(shí)各階,b.坐標(biāo)變換：,得模態(tài)方程：,c.用單自由度系統(tǒng)的方法求解模態(tài)方程：,設(shè)解為：,代入模態(tài)方程：,4-12,d.將（6）回代,受迫振動(dòng)的振幅列陣為,（3）初始激振：,設(shè)：t=0時(shí)節(jié),系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)，是系統(tǒng)在給定初始條件下的自由振動(dòng)。n自由度系統(tǒng)，給出2n個(gè)初始條件，能確定方程一組特解，此特解就是對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)。（數(shù)學(xué)上稱微分方程組的初值問題）。此類問題仍可用模態(tài)分析法求解，步驟與前面一樣。,a.求自由振動(dòng)時(shí)各階,b.坐標(biāo)變換：得自由振動(dòng)的方程（模態(tài)方程）,4-13,（8）,c).按求單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解一樣，求各模態(tài)坐標(biāo)的通解：,其待定常數(shù)可由初始條件（t=0時(shí)）：,表示,與單自由度系統(tǒng)中初始條件決定待定常數(shù)情況一樣，有：,問題：需要初始條件是而不是因此必需,4-14,解決辦法：由公式反變換,因此在模態(tài)坐標(biāo)系下的初始值：,求出，后代入（8）式，得模態(tài)坐標(biāo)對(duì)初始激勵(lì)響應(yīng),實(shí)際工程計(jì)算中由于求很難，通常不直接求能夠，而用以下公式求：,求,因?yàn)閮蛇吳俺?與（9）式比較得,求容易，為（對(duì)角矩陣），矩陣轉(zhuǎn)置很方便。因此用式（11）求容易得多。,因此（10）式：,4-15,d).將求得的,回代到坐標(biāo)變換式，可求出原坐標(biāo)所表達(dá)的響應(yīng)：,例：上例，如圖系統(tǒng)對(duì)初始條件t=0時(shí),求系統(tǒng)響應(yīng)。,解：求自由振動(dòng)時(shí)各階,（a）,4-16,坐標(biāo)變換,模態(tài)方程式,按求解單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)，求各模態(tài)坐標(biāo)的通解,（b）,由公式求模態(tài)坐標(biāo)的初始值。,4-17,代入（b）式得。將求得回代公式得原坐標(biāo)系表示的響應(yīng)：,4-18,結(jié)果表明：給定初始條件，系統(tǒng)自由振動(dòng)同時(shí)包含三種振動(dòng)分量（三種頻率振動(dòng)）,4-19,（二）有阻尼情況：,模態(tài)分析法關(guān)鍵是用模態(tài)矩陣為坐標(biāo)變換矩陣解除方程耦合。無(wú)阻尼系統(tǒng)，特征值與特征向量是實(shí)數(shù)，是實(shí)模態(tài)矩陣，求解方便。有阻尼系統(tǒng)，特征值與特征向量是復(fù)數(shù)，是復(fù)模態(tài)矩陣，求解困難得多。一定條件下，有阻尼系統(tǒng)仍可用無(wú)阻尼實(shí)模態(tài)矩陣求解（不介紹有關(guān)復(fù)模態(tài)問題).,有阻尼多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程：以實(shí)模態(tài)矩陣作坐標(biāo)變換得：,因此方程（15）并未完全解除耦合（通過速度項(xiàng)相互耦合）。,對(duì)小阻尼系統(tǒng)（一般0.2）,各固有頻率彼此又不相等，且不太接近，系統(tǒng)響應(yīng)主要受主對(duì)角元素影響，非對(duì)角元素影響很小?？山谱鲗?duì)角矩陣處理。（誤差不大）。這樣模態(tài)分析法有效推廣到有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題上。,上式為對(duì)角矩陣。,（14）,（15）,4-20,（對(duì)角矩陣）,其中：（16）,（