線性代數綜合練習題

線性代數綜合練習題時間：120分鐘一、選擇題（每小題3分，共15分）:1設A是三階矩陣，將A的第一列與第二列交換得B，再把B的第二列加到第三列得C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。 2設A、B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有（ ）。（A）A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關；（B）A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關；（C）A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關；（D）A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關。3下列向量集按Rn的加法和數乘構成R上一個線性空間的是（ ）。（A）Rn中，坐標滿足x1+x2+xn=0的所有向量；（B）Rn中，坐標是整數的所有向量；（C）Rn中，坐標滿足x1+x2+xn=1的所有向量；（D）Rn中，坐標滿足x1=1，x2， xn可取任意實數的所有向量。4設=2是非奇異矩陣A的一個特征值，則矩陣（A2）-1有一個特征值等于（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。 5任一個n階矩陣，都存在對角矩陣與它（ ）。（A）合同； （B）相似； （C）等價； （D）以上都不對。二、填空題（每小題3分，共15分）1設矩陣A=，矩陣B滿足：ABA*=2BA*+E，其中A*為A的伴隨矩陣，E是三階單位矩陣，則|B|= 。2已知線性方程組無解，則= 。3若A=為正交矩陣，則= ，= 。4設A為n階矩陣，且|A|0，A*為A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。若A有特征值，則（A*）2+E必有特征值 。5若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，則t的取值范圍是 。三、（15分）設有齊次線性方程組： 試問取何值時，該方程組有非零解？并用一基礎解系表示出全部的解。四、（10分）設R3的兩組基為：和，向量=（2，3，3）T（1）求基到基的過渡矩陣；（2）求關于這兩組基的坐標。五、（15分）設三階實對稱矩陣A的特征值為1 = -2，2 = 1（2重），1=（1，1，1）T是屬于1 = -2的特征向量。試求：（1）屬于2 = 1（2重）的特征向量；（2）A的伴隨矩陣A*。六、（10分）設二次型通過正交變換化為：，求、。七、（10分）已知A ，B為n階可逆方陣，且滿足2A-1B=B-4E，其中E是n階單位矩陣，試證：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？八、（10分）設為階矩陣，且，其中是中元素的代數余子式（=1，2，n）。試證：的伴隨矩陣*的特征值是0和1，并說明各個特征值的重數。線性代數綜合練習參考答案一、選擇題：1（D）；2（A）；3（A）；4（B）；5C）；二、填空題： 1；2-1；3 ，；4；5-三、解：A=（1）當=0時，r(A)=14，故齊次線性方程組有非零解，其同解方程組為：x1+x2+x3+ x4=0由此得一基礎解系為：， 故全部解為： （其中為任意常數）（7分）（2）當0時，當=-10時，r（A）=34，故齊次線性方程組也有非零解，其同解方程組為：，解之，可得一個基礎解系為：y=（1，2，3，4）T，故全部解為：X=ky（其中k為任意常數）（15分）備注：此題也可另解|A|=（+10）3當|A|=0時，即=0或=-10時，齊次線性方程組有無窮解。四、解：（1）記B=（）=，C=（）=則有： 從而，由基到基的過渡矩陣為：A=B-1C=（5分）（2）設關于基的坐標為（）即：由此可得：，解之得：，故關于基的坐標為（0，1，1），又=即關于基的坐標為（1，1，2）（10分）五、解：（1）設A的屬于特征值2=1（2重）的特征向量為（x1，x2，x3）T，則A是實對稱矩陣，（x1，x2，x3）T與1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：2=（-1，1，0）T3=（-1，0，1）TA的屬于2=1的全部特征向量為：k12+ k23（k1，k2不同時為0）（5分）（2） A*=|A|A-1A*的特征值為：|A|（-），|A|1（2重） 又|A|=-2 A*的特征值為：1，-2（2重）（10分）A*（1，2，3）=（1，2，3）A*=（1，2，3）（1，2，3）-1=（15分）六、解：f的正交變換前后的矩陣分別為： 和于是，A、B相似，從而有相同的特征多項式即：|E-A|=|E-B|（5分）也即：3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比較上式等號兩邊的各冪次項系數有：（10分）七、證明：2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A（5分）即：AB-2B-4A=0（A-2E）（B-4E）=8E故A-2E可逆，且（A-2E）-1=（B-4E）（10分）八、證明：r（A）=n-1 r（A*）=1（2分）又齊次線性方程組（0E-A*）X=0的基礎解系含有n-1