2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題23利用方程思想求解數(shù)列問題含解析20190426233.doc

問題23 利用方程思想求解數(shù)列問題一、考情分析數(shù)列與以前所學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、不等式、簡易邏輯等許多知識都有廣泛的聯(lián)系，方程（組）思想在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中得以較為充分的體現(xiàn)，數(shù)列中的絕大部分計算題都可看作方程應(yīng)用題，特別是求數(shù)列中的基本量都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組. 二、經(jīng)驗分享(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題(3)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解(4) 為使問題有確定的解應(yīng)使變量個數(shù)與方程組的個數(shù)相等 三、知識拓展在列方程時除了利用等差等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，有時還要用到以下結(jié)論：(1)在等差數(shù)列中anam(nm)d(n，mN*)若klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，構(gòu)成等差數(shù)列(2)在等比數(shù)列中anamqnm(n，mN*)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.四、題型分析(一) 方程思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用【例1.】已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和若a1a3，S510，則a9的值是_【分析】列出關(guān)于a1與d的方程組，求出a1與d，再求a9.【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可得，解得則a9a18d48320.【點評】數(shù)列的通項公式與前n項和的公式緊密地聯(lián)系著五個基本量，“知三求二”是一類最基本的運算.因此方程的觀點是解決此類問題的基本數(shù)學(xué)思想與方法. 或解得或p5，q4，pq9，故選D.【小試牛刀】【山東濟南外國語學(xué)校2019屆1月模擬】已知等差數(shù)列的公差為成等比數(shù)列，則的前n項和( )A B C D【答案】A【解析】等差數(shù)列an的公差為2，a2，a3，a6成等比數(shù)列，（a1+4）2（a1+2）（a1+10），解得a11，an的前n項和Snn+n2nn22nn（n2）故選A (四) 構(gòu)造一元二次方程求解數(shù)列問題【例5】已知等差數(shù)列滿足，則的取值范圍是 【分析】構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程【點評】含有雙變量的等式可看作關(guān)于其中一個變量的方程，利用方程思想求解【小試牛刀】已知數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則使不等式2018成立的最大正整數(shù)n的值為（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】設(shè)正項的遞增等比數(shù)列an的公比為q1，a1+a582，a2a481a1a5，所以是方程，解方程得a11，a581q481，解得q3an3n1數(shù)列的前n項和為Tn2223（1）則不等式化為：20181，即3n201836729，372187使不等式成立的最大正整數(shù)的值為6故選B五、遷移運用1【山東濟南2019屆期末】已知等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差為( )A-2 B2 C-3 D3【答案】B【解析】由題意可得： 5d25，解得d2故選B 2.【甘肅、青海、寧夏2019屆期末聯(lián)考】設(shè)等比數(shù)列的前項和為 ，若，則 A-60 B-40 C20 D40 【答案】B3.【廣東揭陽2019屆模擬】記等比數(shù)列的前項和為，已知，且公比，則=( )A-2 B2 C-8 D-2或-8【答案】C【解析】依題意，解得，故，故選C.4.【湖北宜昌2019屆元1月調(diào)研】等比數(shù)列的前項和為，若，則公比（ ）A1 B-1 C D-2【答案】C【解析】當(dāng)q=1時滿足，當(dāng)時，由，得，整理的 ，所以q=-1，綜上得q=，故選C。5.【浙江臺州2019屆期末】已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，則的值為（ ）A B C D【答案】A6.【山東濟南2019屆1月模擬】已知等差數(shù)列的公差為成等比數(shù)列，則的前n項和( )A B C D【答案】A【解析】等差數(shù)列an的公差為2，a2，a3，a6成等比數(shù)列，（a1+4）2（a1+2）（a1+10），解得a11，an的前n項和Snn+n2nn22nn（n2）故選A7.【黑龍江哈爾濱師大附中2019屆期末】已知等差數(shù)列滿足：，且，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（ ）A B C或 D或【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列a1a5，即（2+d）22（2+4d），整理得，解得d0或4an2，或an2+4（n1）4n2 當(dāng)d0時，數(shù)列an的前n項和為2n；當(dāng)d4時，則數(shù)列an的前n項和為2n2n2故選C8.【山東濟南外國語學(xué)校2019屆1月模擬】九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人所得與下三人等。問各得幾何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列。問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）。這個問題中，戊所得為（ ）A 錢 B錢 C 錢 D 錢【答案】B【解析】依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a2d，ad，a，a+d，a+2d，由甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，即a2d+ada+a+d+