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一線名師指點07年高考數(shù)學同步輔導第33講算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)【考點回放】1常用的基本不等式和重要的不等式(1) 當且僅當(2)(3),則(4)2最值定理:設(1)如積(2)如積即:積定和最小,和定積最大運用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等3 均值不等式:兩個正數(shù)的均值不等式:三個正數(shù)的均值不等是:n個正數(shù)的均值不等式:4四種均值的關系:兩個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術平均數(shù)、均方根之間的關系是不等式這部分知識,滲透在中學數(shù)學各個分支中,有著十分廣泛的應用因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性,這對同學們將所學數(shù)學各部分知識融會貫通,起到了很好的促進作用在解決問題時,要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案,最終歸結為不等式的求解或證明不等式的應用范圍十分廣泛,它始終貫串在整個中學數(shù)學之中諸如集合問題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題,無一不與不等式有著密切的聯(lián)系,許多問題,最終都可歸結為不等式的求解或證明【考點解析】1.設x0,y0,且xy(x+y)=1,則A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y(+1)2D.x+y(+1)2解析:x0,y0,xy()2.由xy(x+y)=1得()2(x+y)1.x+y2+2.答案:B2.已知x、yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,則M與N的大小關系是A.MNB.MNC.M=ND.不能確定解析:MN=x2+y2+1(x+y+xy)=(x2+y22xy)+(x22x+1)+(y22y+1)=(xy)2+(x1)2+(y1)20.答案:A3.設a0,b0,a2+=1,則a的最大值是_.解析:a2+=1a2+=.a=a=.答案:4.若記號“”表示求兩個實數(shù)a和b的算術平均數(shù)的運算,即ab=,則兩邊均含有運算符號“”和“+”,且對于任意3個實數(shù)a、b、c都能成立的一個等式可以是_.解析:ab=,ba=,ab+c=ba+c.答案:ab+c=ba+c.思考:對于運算“”分配律成立嗎?即a(b+c)=ab+ac.答案:不成立5(2020江蘇卷)設a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列等式中不恒成立的是(A)(B)(C)(D)【思路點撥】本題主要考查.不等式恒成立的條件,由于給出的是不完全提干,必須結合選擇支,才能得出正確的結論。【正確解答】運用排除法,C選項,當a-b0,且滿足的最小值是 .5.若a、b為實數(shù), 且a+b=2, 則3a+3b的最小值為 A 18 B 6 C 2 D 26.若正數(shù)a、b滿足aba+b+3,則ab的取值范圍是_。7.設p+q=1, p0, q0, 則不等式logxpq1成立的一個充分條件是 A 0x B x C x18.設M=, 且a+b+c=1(其中a、b、cR), 則M的取值范圍是D9函數(shù)的最大值是9,最小值是1,則a,b的值是( )A5,5B2,2C5,2D2,5【題型講解】例1 設a0 ,b0 則下列不等式中不成立的是()Aa+b+2 B (a+b)( +)4C a+b D 解法一:由于是選擇題,可用特值法,如取a=4,b=1, 代入各選項中的不等式,易判斷不成立解法二:可逐項使用均值不等式判斷 Aa+b+2+2=2,不等式成立 Ba+b20, +20,相乘得: (a+b)( +)4成立 C a2+b2=(a+b)22ab(a+b)22()2=()2 又a+b 成立 D a+b2,=,即不成立故選D例2 今有一臺壞天平,兩臂長不等,其余均精確,有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結果的和的一半就是物體的真實重量,這種說法對嗎?并說明你的結論解:不對設左、右臂長分別是 ,物體放在左、右托盤稱得重量分別為真實重量為為G,則由杠桿平衡原理有: , 得G2=, G=由于,故 ,由平均值不等式 知說法不對真實重量是兩次稱量結果的幾何平均值 點評:本小題平均值不等, 杠桿平衡原理知識、數(shù)學化能力及分析問題、解決問題的能力,屬跨學科(數(shù)學、物理)的創(chuàng)新問題例3設x0, y0, x2+=1,則的最大值為分析: x2+=1是常數(shù), x2與的積可能有最大值可把x放到根號里面去考慮,注意到x2與1+y2的積,應處理成2 x2解法一: x0, y0, x2+=1 =當且僅當x=,y=(即x2= )時, 取得最大值解法二: 令(0) 則=cos=當=,即=時,x=,y=時,取得最大值例4 若ab0, 求的最小值 分析: 的結構不對稱,關鍵是的分母(ab)b,而(ab)+b=a, 故問題突破口已顯然! 也可以逐步進行:先對b求最小值,然后在對a求最小值 解法一: =(ab)+b2 +22 +=4(ab)b+16 當且僅當b=(ab)且(ab)b=2,即a=2b=2時取等號,故的最小值為16 解法二: =當且僅當b=(ab)且,即a=2b=2時取等號,故的最小值為16點評:在運用均值不等式求最值時,湊出定值是關鍵!但在定值的過程中,不一定就能湊出定值來,實際上,分幾步湊也是可以的,只要每步取等號的條件相同便可例5 若x0,y0,x+y=1, 求證:(1+)(1+)9分析: x+y常數(shù),xy可有最大值證法一: 左邊(1+)(1+)=1+=1+=1+1+=9右邊 (當且僅當x=y=時取“=”號)證法二: 令x= y=, 0左邊(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+=1+=1+1+8=9右邊 020)逆用為ab()2 (a,b0)等還要注意“添拆項”技巧和公式等號成立的條件等3在用均值定理解決實際問題時,要理解題意,設變量時要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應的函數(shù)關系式,在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值【基礎演練】1 設a、b0,ab=1, 試比較大小: 2(填“”,“”或“=”)答案:2 比較大?。喝鬭b0, 則 (填“”,“2 若x, yR+, 且xy=s, xy=p, 則下列命題中正確的是( )A 當且僅當x=y時,s有最小值2 B當且僅當x=y時,p有最大值 C當且僅當p為定值時,s有最小值2 D若s為定值,則當且僅當x=y時,p有最大值答案:D4 若x, yR+, xy4,則下列不等式中成立的是( ) A B1 C 2 D1答案:B 提示:2215 下列說法中不正確的是( ) A由a、bR,可得a2b22ab(a2b2) B對于命題“a、bR+”,把條件改為a、b均為非負數(shù)后依然成立 C若ab0, nZ, n1,則ab D若a、b、cR+,則答案:D提示:=6 下列不等式中恒成立的是( )Actgtg2 Bx12 C2 Dxyz (xyz=1)答案:B7 當xR+ 時可得到不等式x2, x= 3, 由此可以推廣為xn1, 取值p等于( ) Ann Bn 2 Cn Dn1答案:A 提示:xn1,p= nn8 x、y0, xy=1, 且 a恒成立, 則a的最小值為( ) A/2 B2 C2 D答案:D 提示:2=9 在區(qū)間(0, +)上,當x= 時,函數(shù)y=3x有最小值 答案:2;9 提示:y=3x3=9, 10 函數(shù)y=m2的值域為 答案:1, +)提示:y=m2= y=(m21)1211 已知x、y、z0,且xyz=1, 則的最大值為 ; 最小值為 答案:;112 已知:abc=1, a2b2c2=1, 且abc,則ab的取值范圍是 ;a2b2 的取值范圍是 答案:(1, );(, 1)13 若a1, b1, c1, ab=10,求證:log aclog bc4lgc, 并指出什么時候等號成立答案:a=b=時等號成立 提示:a1, b1, c1, ab=10, log aclog bc=lgclgc=4lgc, 當lga=lgb時,即a=b=時等號成立14 若a0, b0,且=1, 求證:(I) ab4; (II) 對于一切nN, (ab)nanbn22n2n1成立提示:(I) =1, ab=()(ab)=114, (II) 當n=1時, 左式0,右式0,n=1時成立,假設n=k時成立,即(ab)kakbk22k2k1, 則當n=k1時,(ab)k1ak1bk1=(ab) (ab)kak1bk1(ab)(akbk22k2k1) ak1bk1=abkbak(ab)(22k2k1)22k1422k42k1=22k22k2, n=k1時命題成立【實戰(zhàn)演練】1.設a0, b0,則以下不等式中不恒成立的是 ( ) (A)4 (B)(C) (D)2.若函數(shù)f(x)、g(x)的定義域和值域為R, 則f(x)g(x)(xR)成立的充要條件是 ( )A 有一個xR, 使得f(x)g(x) B 有無窮多個xR, 使得f(x)g(x) C 對R中的x都有f(x)g(x)+1 D R中不存在x,使得f(x)g(x)3.已知02a1,若A=1+a2, B=, 則A與B的大小關系是 . Ab+c,5若0,已知下列不等式:a+b|b| a2,其中正確的不等式的序號為 . ,6.已知、是實數(shù), 給出四個論斷:|+|=|+|; |-|+|; |2,|2; |+|5. 以其中的兩個論斷作為條件, 其余論斷作為結論, 寫出你認為正確的一個命題 .14. 或.7.若f(x)()x,a、bR,Af(),Gf(),Hf(),則A、G、H的大小關系為A.AGHB.AHGC.HGAD.GHA8.若0ab1,則logab,logba,logb之間的大小關系是_. logblogablogba9、 若m0,且m+n0,則下列不等式中成立的是( )CA、-nmn-m B、-nm-mn C、m-nn-m D、m-n-mn 10、 已知,則下列不等式中成立的是B11、 下列不等式中解集為實數(shù)集R的是( )D12、設則( )D13、設,則中最小的是( )C14若為正實數(shù),則A,G,H的大小關系為( )AAGHBAHGCHGADGHA15設,若、且,則下列不等式必定成立的是( ) A B C D16、已知證明:17 已知a、b為正常數(shù),且滿足+=1,試求正數(shù)x,y的和x+y何時取得最小值,并求出這個最小值. 解:當18 在四面體ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,AC=BD.當AC、BD變化時,求該四面體體積的最大值.解:設E、F分別為BD、AC之中點,AC=BD=2x,依題設不難得到AEBD,CEBD,AE=EC.從而BD平面AEC,且EF為AEC邊AC上的高,令當且僅當a時,四面體有最大體積19、某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省?【解】由題意得 xy+x2=8,y=(0x4). 于定, 框架用料長度為 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 當(+)x=,即x=84時等號成立. 此時, x2.343,y=22.828. 故當x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.20、某工廠擬建一座平面圖為矩形,且面積為200平方米的三級污水處理池(如圖),由于地形限制,長、寬都不能超過16米,如果,四周圍池壁建造單價為每米長400元,中間兩道隔墻建造單價為每米長248元,池底建造單價為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計,試設計污水池的長和寬,使總造價最低,并求出最低造價。 解:設污水池長為x米,則寬為米 于是總造價 即 注意到 下面研究在上的單調(diào)性, 對任意,且,有 , 即 在上是減函數(shù) 從而
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