吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高中數(shù)學(xué)4.1.5第五講圓內(nèi)接四邊形教案新人教選修4

第五講 圓內(nèi)接四邊形教學(xué)目標(biāo)知識與技能：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理.過程與方法：用運(yùn)動變化的思想，從圓內(nèi)接四邊形運(yùn)動到極端情形（有兩個頂點(diǎn)重合），由“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”猜想“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”；獲得猜想后，應(yīng)用分類思想，把弦切角分為三類（以弦過圓心為分界點(diǎn)），先證明弦過圓心時命題成立，再把其他兩種情形化歸為弦過圓心時的情形?？梢钥吹?，在弦切角定理的內(nèi)容展開過程中，滲透和明確了運(yùn)動變化思想、特殊化思想、分類討論思想、化歸思想。情感態(tài)度價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學(xué)重點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理教學(xué)難點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理課時3課時一基礎(chǔ)知識回顧1、如圖15-61，A、B、C三點(diǎn)都在O上，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，AOC=140，CBD的度數(shù)為（ ）A40 B50C70 D110答案:C.2、如圖15-62，BC是O的直徑，則BAECBD= 答案:90.3、如圖15-63，BAC=50，則DE= 答案:230.4、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABC=524，則D= ；若AC=72，B比D大30，則A= ，D= CDBA圖15-63EOCOEBA圖15-62DCODBA圖15-61答案:140,140,75.二典型例題講解例1如圖15-64，1和O2都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線CD與O1交于點(diǎn)C，與O2交于點(diǎn)D.經(jīng)過點(diǎn)B的直線EF與O1交于點(diǎn)E，與O2交于點(diǎn)FO2O1FEDCBA圖15-64求證：CEDF分析：要證明CEDF，只要證明EF=180或CD=180證明：連結(jié)AB ABEC是O1的內(nèi)接四邊形， BAD=E ADFB是O2的內(nèi)接四邊形， BADF=180 EF=180 CEDF評析：本題通過連結(jié)兩圓的公共弦AB，在兩圓中同時出現(xiàn)了圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)使問題得以解決.本題還可以再通過延長EF（或FD）來證明CEDF如圖，若該題再作如下兩種圖形上的變化，結(jié)論CEDF依然成立O1O2DABCEFACDBEFO1O2例如圖15-66，設(shè)ABC為銳角三角形，高BE與以AC為直徑的圓交于點(diǎn)P，Q，高CF與以AB為直徑的圓交于點(diǎn)M，N，求證：P，M，Q，N四點(diǎn)共圓分析：要證明P，M，Q，N四點(diǎn)共圓，就是要證明四邊形PMQN的對角互補(bǔ)或兩個頂點(diǎn)對一條線段的張角相等證明：連結(jié)PN，PM，MQ 設(shè)ABC的高交于點(diǎn)H，則BC邊上的高AD過點(diǎn)HADC=90，AFC=90，CBADNFQPEM圖15-65H D，F(xiàn)都在以AC為直徑的圓上 AD與PQ相交于點(diǎn)H， HPHQ=HAHD同理可得：HMHN= HAHD HPHQ= HMHN PHN=MHQ， PHNMHQ HNP=HQM 即MNP=PQM P，M，Q，N四點(diǎn)共圓評析：事實(shí)上，本題的證明中得到HPHQ= HMHN后就可以得到P，M，Q，N四點(diǎn)共圓這是圓冪定理的逆定理這個逆定理也可以用來判定四點(diǎn)共圓例3如圖15-65，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA 交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC（1）求證：FB=FC；（2）求證：FB2=FAFD；（3）若AB是ABC外接圓的直徑，EAC=120，BC=6cm，求AD的長分析：要證明FB=FC，就是證明ABC是等腰三角形，即證明FBC=FCB解：（1）AD平分EAC， FEDCBA圖15-66EAD=DAC 四邊形AFBC內(nèi)接于圓， DAC=FBC EAD=FAB=FCB， FBC=FCB FB=FC（2）FAB=FCB=FBC ，AFB=BFD， FBAFDB FB2=FAFD（3）AB是圓的直徑， ACB=90 EAC=120， DAC=EAC=60，BAC=60D=30 BC= 6， AC= AD=2AC= 4cm評析：圖中FB與FC在同一個三角形中，因此可以通過圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和同弧所對的圓周角證明角相等.將第（2）題中的乘積式轉(zhuǎn)化為比例式不難發(fā)現(xiàn)只需證明FBAFDB即得第（3）問實(shí)際上是解一個直角三角形三精選試題演練PACBD圖15-671、四邊形ABCD內(nèi)接于O，若ABCD=234m，則m= ；這個四邊形的最大內(nèi)角是 ，最小內(nèi)角是 答案:3，120，60.2.如圖15-67已知P是圓外一點(diǎn)，直線PB、PD分別與圓交于點(diǎn)A、B和C、D，若AC=3，BD=5，PD=10，則PA= 答案:6.3、如圖15-68，四邊形ABCD內(nèi)接于O，CEBD，與AB的延長線交于點(diǎn)E圖15-68DECBAO求證：提示：連結(jié)AC，證ADCCBE；ABCDE圖15-694、如圖15-69，AD是ABC外角EAC的平分線，AD與三角形的外接圓交于點(diǎn)D求證：DB=DC提示：證DBC=DCB；5、如圖15-70，ABC內(nèi)接于O，ABAC，BAC外角的平分線交O于E，EFAB，垂足為F，求證：ABAC=2AF提示：在BA上截取BG=CA，連結(jié)EB、EC、EG，證EBGECA，可得EG=EA，從而有AG=2AF，即ABAC=2AF；FEABC圖15-70O6、如圖15-71，已知ABC內(nèi)接于O，弦AB的垂直平分線與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，與O交于F、G，與BC的延長線交于點(diǎn)H求證：（1）CG平分ACH；（2）ODDH=ADDC提示：連結(jié)OA、AG、GB，（1）ACG=ABG=BAG=GCH，CG平分ACH；FEDCBA圖15-71GHO（2）證AODHCD；PDCBA圖15-72O7、如圖15-72，已知O是等邊ABC的外接圓，P是BC上的點(diǎn)，CP、AB的延長線交于點(diǎn)D，求證：（1）D=CBP；（2）AC2=CPCD提示：連結(jié)AP，（1）證D=CAP=CBP；（2）證CAPCDA；8、如圖15-73，（1）ABCD為圓內(nèi)接四邊形，延長兩組對邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AED，AFB的角平分線交于M，求證：EMFM；（2）在四邊形ABCD中，AB，DC的延長線交于點(diǎn)E，AD，BC的延長線交于點(diǎn)F，AED，AFB的角平分線交于M，且EMFM，求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓OCBA圖15-73FEGH提示：（1）設(shè)ED與HF交于點(diǎn)K，證明EH=EK；（2）證ABCD=180；DM9、如圖15-74，設(shè)AB，CD是O的兩條弦，且AB過CD的中點(diǎn)M，CP，DP均為O的切線，求證：PO平分APB提示：連結(jié)OA、OBPO過CD的中點(diǎn)，O，C，D，P四點(diǎn)共圓，OMMP=MCMD=MAMB，O，P，A，B四點(diǎn)共圓，OAB=OPB，OB