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設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則對(duì)于任意的x()，積分存在，,注意：積分上限x與被積表達(dá)式f(x)dx中的積分變量x是兩個(gè)不同的概念，在求積時(shí)(或說(shuō)積分過(guò)程中)上限x是固定不變的，而積分變量x是在下限與上限之間變化的,2-9變上限定積分,，因此常記為,是上限x的函數(shù).,定理(積分中值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)c，使得,證,即,幾何意義：,在上至少存在一點(diǎn),使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的矩形的面積.,說(shuō)明:,可把,故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對(duì),因,定理2,證,由此推出,因而,證畢.,由上述結(jié)論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以通過(guò)求原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分.,定理2也稱作原函數(shù)存在定理,例1設(shè),解,則,由,和,復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).,則,例2設(shè),解,說(shuō)明:,1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,2)變限積分求導(dǎo):,同時(shí)為,通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路.,

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