2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【解析】分別求出集合A集合B范圍，根據(jù)得到A是B子集，根據(jù)范圍大小得到答案.【詳解】所以 故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的包含關(guān)系求取值范圍，屬于簡(jiǎn)單題.2已知AB是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 ()A2BCD【答案】B【解析】先設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的定義表示出弦長(zhǎng)，再由題意，即可求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】設(shè)，C的橫坐標(biāo)為，則，因?yàn)槭菕佄锞€的一條焦點(diǎn)弦，所以，所以，故.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，只需熟記拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.3如圖，圓柱的軸截面為正方形，為弧的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）ABCD【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接則異面直線與所成角即為，再利用余弦定理求得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接設(shè)則所以連接因?yàn)樗援惷嬷本€與所成角即為在中故選【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的計(jì)算，考查余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.4已知、都為銳角，且、，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和與差的公式即可求解.【詳解】因?yàn)?、都為銳角，且、，所以， ，由，且、都為銳角， 所以 故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和與差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.5設(shè)，.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b）的對(duì)數(shù)為（ ）.A1B2C3D4【答案】B【解析】試題分析：，又，注意到，只有這兩組故選B【考點(diǎn)】三角函數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，利用分類討論的方法，確定得到的可能取值.本題主要考查考生的邏輯思維能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.6已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)樵俳Y(jié)合雙曲線方程可解出，再利用三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則又，由得，即，故選B【點(diǎn)睛】本題易錯(cuò)在忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢。7已知等差數(shù)列的公差不為零，其前項(xiàng)和為，若，成等比數(shù)列，則（）ABCD【答案】C【解析】由題意，得，利用等差數(shù)列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，知，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，所以，解得，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8在中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，則的最小值為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意得出，再由，可得出，由三點(diǎn)共線得出，將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】如下圖所示：，即，、三點(diǎn)共線，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時(shí)要充分利用三點(diǎn)共線得出定值條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9如圖，點(diǎn)P在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論：三棱錐的體積不變；平面；平面平面其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】C【解析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解【詳解】對(duì)于，由題意知，從而平面，故BC上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面為底面，則三棱錐的體積不變，故正確；對(duì)于，連接，且相等，由于知：，所以面，從而由線面平行的定義可得，故正確；對(duì)于，由于平面，所以，若，則平面DCP，則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故錯(cuò)誤；對(duì)于，連接，由且，可得面，從而由面面垂直的判定知，故正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想10過(guò)三點(diǎn)，的圓截直線所得弦長(zhǎng)的最小值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)閳A心在弦AC的中垂線上，所以設(shè)圓心P坐標(biāo)為（a，-2），再利用，求得，確定圓的方程.又直線過(guò)定點(diǎn)Q，則可以得到弦長(zhǎng)最短時(shí)圓心與直線的定點(diǎn)Q與弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦長(zhǎng).【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)P為（a,-2），則r2，解得a=1，所以P（1，-2）.又直線過(guò)定點(diǎn)Q（-2，0），當(dāng)直線PQ與弦垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，根據(jù)圓內(nèi)特征三角形可知弦長(zhǎng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為故選B11如圖，三棱柱的高為6，點(diǎn)D，E分別在線段，上，E.點(diǎn)A，D，E所確定的平面把三棱柱切割成體積不相等的兩部分，若底面的面積為6，則較大部分的體積為A22B23C26D27【答案】B【解析】延長(zhǎng)AD與CC1的交點(diǎn)為P，連接PE與C1B1的交點(diǎn)為N，延長(zhǎng)PE交B1B為M，與面ABC交于點(diǎn)Q，得到截面為DNMA，由題意得A1D2DC1，由此能求出較大部分的體積【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD與的交點(diǎn)為P，連接PE與的交點(diǎn)為N，延長(zhǎng)PE交為M，與面ABC交于點(diǎn)Q，得到截面為DNMA，N分別為，的中點(diǎn)，下部分體積故選B【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中兩部分體積之比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間不規(guī)則幾何體體積的求解方法的培養(yǎng)12設(shè),其中，則的最小值為( )ABCD【答案】C【解析】分析：由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫(huà)出圖象，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.詳解：由題意，由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，由圖象可知三點(diǎn)共線時(shí)，且為曲線的垂線，此時(shí)取得最小值，即為切點(diǎn)，設(shè)，由，可得，設(shè)，則遞增，且，可得切點(diǎn)，即有，則的最小值為，故選C.點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解答中注意運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和拋物線的定義，以及三點(diǎn)共線等知識(shí)綜合運(yùn)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、填空題13已知函數(shù)，則_.【答案】-4【解析】先求，再求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則.故答案為-4.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題型.14已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若為的角平分線，則_.【答案】【解析】由題意可知：A在y軸左側(cè)，3，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知：|AF1|+|AF2|2a10，即可求得|AF2|的值【詳解】解：由題意可知：F1AMMAF2，設(shè)A在y軸左側(cè)，3，由|AF1|+|AF2|2a10，A在y軸右側(cè)時(shí)，|AF2|，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查15如圖（1），在等腰直角中，斜邊，D為的中點(diǎn)，將沿折疊得到如圖（2）所示的三棱錐，若三棱錐的外接球的半徑為，則_.圖（1） 圖（2） 【答案】【解析】根據(jù)題意，先找到球心的位置，再根據(jù)球的半徑是，以及已有的邊的長(zhǎng)度和角度關(guān)系，分析即可解決【詳解】解：球是三棱錐CABD的外接球，所以球心O到各頂點(diǎn)的距離相等，如圖根據(jù)題意，CD平面ABD，取CD的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)G，連接CG，DG，因?yàn)锳DBD，CD平面ABD，所以A和B關(guān)于平面CDG對(duì)稱，在平面CDG內(nèi)，作線段CD的垂直平分線，則球心O在線段CD的垂直平分線上，設(shè)為圖中的O點(diǎn)位置，過(guò)O作直線CD的平行線，交平面ABD于點(diǎn)F，則OF平面ABD，且OFDE1，因?yàn)锳F在平面ABD內(nèi)，所以O(shè)FAF，即三角形AOF為直角三角形，且斜邊OAR，AF2，所以，BF2，所以四邊形ADBF為菱形，又知ODR，三角形ODE為直角三角形，OE2，三角形ADF為等邊三角形，ADF，故ADB，故填：【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球的問(wèn)題，找到球心的位置是解決本題的關(guān)鍵屬于中檔題16設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P點(diǎn)為函數(shù)的“類對(duì)稱中心點(diǎn)”，則函數(shù)的“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的坐標(biāo)是_.【答案】【解析】由求導(dǎo)公式求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件求出切線方程，再求出yg（x），設(shè)F（x）f（x）g（x），求出導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)后利用分類討論和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出F（x）的單調(diào)性和最值，從而可判斷出的符號(hào)，再由“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的定義確定“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的坐標(biāo)【詳解】解：由題意得，f（x），f（x0）（x0），即函數(shù)yf（x）的定義域D（0，+），所以函數(shù)yf（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0）處的切線方程l方程為：y（）（）（xx0），則g（x）（）（xx0）+（），設(shè)F（x）f（x）g（x）lnx（）（xx0）+（），則F（x0）0，所以F（x）fx）g（x）（） 當(dāng)0x0e時(shí)，F(xiàn)（x）在（x0，）上遞減，x（x0，）時(shí)，F(xiàn)（x）F（x0）0，此時(shí)，當(dāng)x0e時(shí)，F(xiàn)（x）在（，x0）上遞減；x（，x0）時(shí)，F(xiàn)（x）F（x0）0，此時(shí)，yF（x）在（0，e）（e，+）上不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”若x0e，0，則F（x）在（0，+）上是增函數(shù)，當(dāng)xx0時(shí)，F(xiàn)（x）F（x0）0，當(dāng)xx0時(shí)，F(xiàn)（x）F（x0）0，故，即此時(shí)點(diǎn)P是yf（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，綜上可得，yF（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，e是一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，又f（e），所以函數(shù)f（x）的“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的坐標(biāo)是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)的最值問(wèn)題、新定義的問(wèn)題，考查了分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)變形能力，此題是難題三、解答題17在平面四邊形中，.（1）求；（2）若E是的中點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出C；（2）利用向量法求出CE【詳解】（1）由題設(shè)及余弦定理得：，BD2AB2+DA22ABDAcosA5+4cosC，所以cosC，；（2）由，得所以.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查了向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題18如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.（）證明：G是AB的中點(diǎn)；（）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積【答案】（）見(jiàn)解析；（）作圖見(jiàn)解析，體積為.【解析】試題分析：證明由可得是的中點(diǎn).（）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，即為在平面內(nèi)的正投影.根據(jù)正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面體的體積試題解析：（）因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以所以平面，故又由已知可得，從而是的中點(diǎn).（）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得，又,所以,因此平面，即點(diǎn)為在平面內(nèi)的正投影.連結(jié)，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.由（）知，是的中點(diǎn)，所以在上，故由題設(shè)可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得所以四面體的體積【考點(diǎn)】線面位置關(guān)系及幾何體體積的計(jì)算【名師點(diǎn)睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關(guān)系的證明及幾何體體積的計(jì)算,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,注意防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.19設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B已知橢圓的離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限若的面積是面積的2倍，求的值【答案】（1）；(2)【解析】分析：（I）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得.則橢圓的方程為.（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，或.經(jīng)檢驗(yàn)的值為.詳解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得由,從而所以，橢圓的方程為（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為由的面積是面積的2倍，可得，從而，即易知直線的方程為，由方程組消去y，可得由方程組消去，可得由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意所以，的值為點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題20如圖，四邊形是平行四邊形，平面平面，G為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）根據(jù)余弦定理求出BD，繼而得到BDAD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）先判斷出直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，再根據(jù)余弦定理和解直角三角形即可求出答案【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理可得，進(jìn)而，即，又平面平面，平面，平面平面，平面，平面，平面平面.（2），直線與平面所成的角即為直線與平面所形成的角，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，連接，又平面平面，由（1）知平面，直線與平面所成的角為，在，由余弦定理得，在中，直線與平面所成角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題21設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn).（1）設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；（2）設(shè)，是兩條互相垂直，且均經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線，與拋物線交于點(diǎn)A，B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，若點(diǎn)G滿足，求點(diǎn)G的軌跡方程.【答案】（1）最大值為；（2）【解析】（1）求得A的坐標(biāo)，設(shè)出過(guò)A的直線為yk（x），ktan，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，求得傾斜角，可得所求最大值；（2）求得F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），設(shè)l1：yk（x1），聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為1，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及消元，可得所求軌跡方程【詳解】（1）A是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，可得，設(shè)過(guò)A的直線為，聯(lián)立拋物線方程可得，由直線和拋物線相切可得，解得，可取，可得切線的傾斜角為45，由拋物線的定義可得，而的最小值為45，的最大值為；（2）由，可得，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立拋物線，可得，即有，由兩直線垂直的條件，可將k換為，可得，點(diǎn)G滿足，可得，即為，可得，則G的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直