上海：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)敬業(yè)中學張麗霞

課題：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教材：上海教育出版社高中一年級第二學期（試用本）第六章第二節(jié)授課教師：上海市敬業(yè)中學 張麗霞 教學目標（1）理解正切函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖像特征，研究并掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)（2）在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣（3）在解決問題的過程中，體驗克服困難取得成功的喜悅教學重點掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)教學難點正切函數(shù)的單調(diào)性及證明教學方法 教師啟發(fā)講授，學生積極探究教學手段計算機輔助教學過程一、 設置疑問，引入新課1、正切函數(shù)的定義有同學，類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，定義了一個正切函數(shù)：對于任意一個實數(shù)，都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數(shù)，表示為，叫做正切函數(shù) 大家認為這個定義是否完善？強調(diào)： (設計意圖：，是學生容易出錯的地方，通過學生之間的自我糾錯，理解不能取的理由)今天我們就要研究正切函數(shù)（）的圖像與性質(zhì)2、作函數(shù)圖像的常用的方法是什么？（1）描點法是作函數(shù)圖像最基本的方法；（2）利用基本初等函數(shù)圖像的變換作圖大家認為應該選擇哪種方法呢？學生的回答會選擇（1）教師引導：描點應該結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，描關鍵點、特殊點所以，首先研究函數(shù)的基本性質(zhì)二、 主動探究，解決問題（一）利用定義，研究函數(shù)的性質(zhì)學生自主研究探索正切函數(shù)的性質(zhì)1、 定義域：學生可以迅速解決2、 值域：R請學生回答，并講清楚理由，從而引出對正切線的復習復習正切線：正切線是角x與tanx關系的直觀體現(xiàn)，正切函數(shù)的性質(zhì)融于其中3、 奇偶性：奇函數(shù)學生會利用迅速做出判斷問：該函數(shù)是偶函數(shù)嗎？（可舉反例說明不是偶函數(shù)）4、 周期性：是最小正周期學生會利用，得到是函數(shù)的周期教師提問：能否說明是最小正周期？ 引導學生思考能否利用周期函數(shù)的定義證明呢？反證法：假設存在是的周期，則都有取，則，這與矛盾從而，是正切函數(shù)的最小正周期5、 單調(diào)性：函數(shù)在整個定義域上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)有學生可能會在正切線的復習中，認為是個增函數(shù)若學生這樣回答，則可以請同學思考，是否正確？如何說明？有學生可能說因為是周期函數(shù)，所以不是單調(diào)函數(shù)，就請同學繼續(xù)思考，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)的原因（舉反例：這與單調(diào)性的定義矛盾）對每一個，在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增（可以先作圖，通過圖觀察得到結(jié)論，然后證明）（二）結(jié)合性質(zhì)，作出函數(shù)的圖像（1）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以先畫出一個合適的、長度為的區(qū)間上的圖像，選擇哪一個呢？ 選擇區(qū)間；簡單說明選擇的理由（2）借助于正切線，描點，然后用光滑的曲線順次連接，得到函數(shù)在上的圖像（3）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數(shù)的圖像 （三）觀察圖像，進一步研究性質(zhì)請同學們認真觀察正切函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)有何特征？（正切函數(shù)的圖像是它的性質(zhì)的直觀表現(xiàn)）1、正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線x=kp+,kZ所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的2、對每一個，在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增（同學思考，完成證明）3、正切函數(shù)的圖像關于原點對稱；（問：還有其他的對稱中心嗎？）三、 通過練習，鞏固基礎例1已知函數(shù)y=tanx，（1）若,求y的取值范圍；（2）若,求y的取值范圍說明：（1） 利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增得到答案（2） 把y=tanx在區(qū)間上的圖像不斷向左、右擴展，也可得到正切函數(shù)的圖像因此， 有同學說正切函數(shù)在一個周期上遞增是錯誤的也可以對照說明，作正切函數(shù)圖時選擇的合理性例2寫出使不等式成立的x的集合說明：先求在上滿足條件的，然后擴展到整個定義域函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達形式，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系提供了“形”的直觀性它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，通過例題提醒學生重視數(shù)形結(jié)合的思想方法例3、研究函數(shù)的基本性質(zhì)改為呢？說明：大多數(shù)同學能夠掌握的圖像可以通過的圖像向左平移個單位得到，從而方便地結(jié)合圖像研究性質(zhì)研究的性質(zhì)要困難的多希望同學能類比研究正弦、余弦函數(shù)時的方法解決，必要時通過代換來解決四、 總結(jié)思考，提高能力（一）小結(jié)：學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)（1） 理解了正切函數(shù)的定義；理解了正切函數(shù)的圖像特征；掌握了正切函數(shù)的基本性質(zhì)（2） 運用了舉反例、類比、反證法等數(shù)學方法，體會了數(shù)形結(jié)合的思想（3） 體驗了成功的快樂（二）思考：（1）函數(shù)和是同一個函數(shù)嗎？（2）研究函數(shù)的基本性質(zhì)（3）研究函數(shù)的基本性質(zhì)，作出大致圖像五、 分層作業(yè)，鞏固拓展1、全體同學完成課本95頁第4、5題2、每位同學結(jié)合今天研究的內(nèi)容，設計一道回家作業(yè)題，并完成教學設計說明一、教學內(nèi)容的分析1、 教材的地位和作用本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，又一具體的三角函數(shù)為后面學習反正切函數(shù)及解析幾何中直線斜率與傾斜角的關系等內(nèi)容做好知識儲備，從內(nèi)容和方法上都起著承上啟下的作用學生在前面的學習中，已經(jīng)掌握了正切和正切線的定義，為本節(jié)課的學習提供了知識的保障學生在研究指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦、余弦函數(shù)過程中，積累了一些研究函數(shù)問題的方法當時主要是通過觀察具體的圖像特征，歸納得出函數(shù)性質(zhì)的本節(jié)課的內(nèi)容為引導學生用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究數(shù)學問題、用嚴謹?shù)拇鷶?shù)論證解決數(shù)學問題提供了很好的條件正切函數(shù)的性質(zhì)都可以利用學生已掌握的知識加以證明，這種在研究方法上的突破與飛躍，對培養(yǎng)、提高學生的數(shù)學能力是十分有意義的三角函數(shù)與函數(shù)概念是特殊與一般的關系，在教學中可以充分發(fā)揮學生頭腦中函數(shù)概念及在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的學習中建立的經(jīng)驗的指導作用通過聯(lián)系和類比，使學生明確三角函數(shù)之間的通性，同時認識到各自的特殊性，真正掌握研究函數(shù)的方法2、 教學重點和難點學生在學習函數(shù)的過程中已經(jīng)知道：證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性必須嚴格用定義論證在研究正弦、余弦函數(shù)的過程中，主要強調(diào)的是數(shù)形結(jié)合，從形中觀察得到結(jié)論由于知識儲備的不足（和差化積還沒有學習），暫時沒有證明但我們在教學中強調(diào)的是：數(shù)形結(jié)合，觀察得到的結(jié)論應該盡量用代數(shù)證明代數(shù)論證是學生比較薄弱的一個環(huán)節(jié)，而研究正切函數(shù)的性質(zhì)，恰好為我們提供了一個培養(yǎng)學生代數(shù)論證能力的機會所以本節(jié)課的重點是：研究、掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)教學難點是：正切函數(shù)的單調(diào)性及證明二、教學目標的確定根據(jù)課程標準、教材的特點、教學要求以及學生的認知水平，我從不同的方面確定了以下教學目標(1) 理解正切函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖像特征，研究并掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)（2）在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣（3）在解決問題的過程中，體驗克服困難取得成功的喜悅并在教學中使學了解問題的來龍去脈；強調(diào)解決問題方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成 三、教學方法的選擇1教學方法根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標，考慮到學生基礎比較扎實,思維比較活躍,勇于表達自己的觀點這節(jié)課，我想引導學生通過已掌握的知識去主動的探究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，希望學生在自主地開展探究活動的過程中，能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，體驗研究函數(shù)的方法，提高解決問題的能力教師在這個過程中對學生的活動給與合理的評價和適時的啟發(fā)、點撥，保證教學活動的有效性2教學手段 教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識四、本節(jié)課的特點對教材有比較深刻的理解和把握，根據(jù)我校學生的實際情況，對教材進行了有效的挖掘從“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)”，讓學生經(jīng)歷正切函數(shù)性質(zhì)與圖