6.5 異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和坐標(biāo)變換

6.5 異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和坐標(biāo)變換 本節(jié)提要 異步電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì) 三相異步電動(dòng)機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型 坐標(biāo)變換和變換矩陣 三相異步電動(dòng)機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 三相異步電動(dòng)機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的狀態(tài)方程 一、 異步電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì) 2. 交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì) （1）異步電機(jī)變壓變頻調(diào)速時(shí)需要進(jìn)行電壓（或電流）和頻率的協(xié)調(diào)控制，有電壓（電流）和頻率兩種獨(dú)立的輸入變量。在輸出變量中，除轉(zhuǎn)速外，磁通也得算一個(gè)獨(dú)立的輸出變量。因?yàn)殡姍C(jī)只有一個(gè)三相輸入電源，磁通的建立和轉(zhuǎn)速的變化是同時(shí)進(jìn)行的，為了獲得良好的動(dòng)態(tài)性能，也希望對(duì)磁通施加某種控制，使它在動(dòng)態(tài)過(guò)程中盡量保持恒定，才能產(chǎn)生較大的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)矩。 多變量、強(qiáng)耦合的模型結(jié)構(gòu) 由于這些原因，異步電機(jī)是一個(gè)多變量（多輸入多輸出）系統(tǒng)，而電壓（電流）、頻率、磁通、轉(zhuǎn)速之間又互相都有影響，所以是強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)，可以先用圖來(lái)定性地表示。圖6-43 異步電機(jī)的多變量、強(qiáng)耦合模型結(jié)構(gòu) 模型的非線性 （2）在異步電機(jī)中，電流乘磁通產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)速乘磁通得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由于它們都是同時(shí)變化的，在數(shù)學(xué)模型中就含有兩個(gè)變量的乘積項(xiàng)。這樣一來(lái)，即使不考慮磁飽和等因素，數(shù)學(xué)模型也是非線性的。模型的高階性 （3）三相異步電機(jī)定子有三個(gè)繞組，轉(zhuǎn)子也可等效為三個(gè)繞組，每個(gè)繞組產(chǎn)生磁通時(shí)都有自己的電磁慣性，再算上運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電慣性，和轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)角的積分關(guān)系，即使不考慮變頻裝置的滯后因素，也是一個(gè)八階系統(tǒng)。 總起來(lái)說(shuō)，異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)高階、非線性、強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)。 二、 三相異步電動(dòng)機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型 假設(shè)條件： （1）忽略空間諧波，設(shè)三相繞組對(duì)稱，在空間互差120電角度，所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)沿氣隙周圍按正弦規(guī)律分布； （2）忽略磁路飽和，各繞組的自感和互感都是恒定的； （3）忽略鐵心損耗； （4）不考慮頻率變化和溫度變化對(duì)繞組電阻的影響。 1. 電壓方程 三相定子繞組的電壓平衡方程為 ： 電壓方程（續(xù)） 與此相應(yīng)，三相轉(zhuǎn)子繞組折算到定子側(cè)后的電壓方程為： 電壓方程的矩陣形式 將電壓方程寫(xiě)成矩陣形式，并以微分算子 p 代替微分符號(hào) d /dt 或?qū)懗桑?-67b） 2. 磁鏈方程 每個(gè)繞組的磁鏈?zhǔn)撬旧淼淖愿写沛満推渌@組對(duì)它的互感磁鏈之和，因此，六個(gè)繞組的磁鏈可表達(dá)為 ： 或?qū)懗桑?-68b） 電感矩陣 式中，L 是66電感矩陣，其中對(duì)角線元素 LAA， LBB， LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有關(guān)繞組的自感，其余各項(xiàng)則是繞組間的互感。 實(shí)際上，與電機(jī)繞組交鏈的磁通主要只有兩類：一類是穿過(guò)氣隙的相間互感磁通，另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過(guò)氣隙的漏磁通，前者是主要的。 電感的種類和計(jì)算 定子漏感 Lls 定子各相漏磁通所對(duì)應(yīng)的電感，由于繞組的對(duì)稱性，各相漏感值均相等； 轉(zhuǎn)子漏感 Lk 轉(zhuǎn)子各相漏磁通所對(duì)應(yīng)的電感。 定子互感 Lms與定子一相繞組交鏈的最大互感磁通； 轉(zhuǎn)子互感 Lmr與轉(zhuǎn)子一相繞組交鏈的最大互感磁通。 由于折算后定、轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)相等，且各繞組間互感磁通都通過(guò)氣隙，磁阻相同，故可認(rèn)為： 自感表達(dá)式 對(duì)于每一相繞組來(lái)說(shuō)，它所交鏈的磁通是互感磁通與漏感磁通之和，因此，定子各相自感為： 轉(zhuǎn)子各相自感為 ： 互感表達(dá)式 兩相繞組之間只有互感?；ジ杏址譃閮深悾?（1） 定子三相彼此之間和轉(zhuǎn)子三相彼此之間位置都是固定的，故互感為常值； （2） 定子任一相與轉(zhuǎn)子任一相之間的位置是變化的，互感是角位移 的函數(shù) 第一類固定位置繞組的互感 三相繞組軸線彼此在空間的相位差是120，在假定氣隙磁通為正弦分布的條件下，互感值應(yīng)為， 于是， 第二類變化位置繞組的互感 定、轉(zhuǎn)子繞組間的互感，由于相互間位置的變化（見(jiàn)圖6-44），可分別表示為： 當(dāng)定、轉(zhuǎn)子兩相繞組軸線一致時(shí)，兩者之間的互感值最大，就是每相最大互感 Lms 。 磁鏈方程 將式（6-69）式（6-75）都代入式（6-68a），即得完整的磁鏈方程，顯然這個(gè)矩陣方程是比較復(fù)雜的，為了方便起見(jiàn)，可以將它寫(xiě)成分塊矩陣的形式 式中 值得注意的是，和兩個(gè)分塊矩陣互為轉(zhuǎn)置，且均與轉(zhuǎn)子位置有關(guān)，它們的元素都是變參數(shù)，這是系統(tǒng)非線性的一個(gè)根源。為了把變參數(shù)轉(zhuǎn)換成常參數(shù)須利用坐標(biāo)變換，后面將詳細(xì)討論這個(gè)問(wèn)題。 電壓方程的展開(kāi)形式 如果把磁鏈方程（6-68b）代入電壓方程（6-67b）中，即得展開(kāi)后的電壓方程 ： 式中，項(xiàng)屬于電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中的脈變電動(dòng)勢(shì)（或稱變壓器電動(dòng)勢(shì)），項(xiàng)屬于電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中與轉(zhuǎn)速成正比的旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)。 3. 轉(zhuǎn)矩方程 根據(jù)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換原理，在多繞組電機(jī)中，在線性電感的條件下，磁場(chǎng)的儲(chǔ)能和磁共能為 ： 而電磁轉(zhuǎn)矩等于機(jī)械角位移變化時(shí)磁共能的變化率（電流約束為常值），且機(jī)械角位移，于是 轉(zhuǎn)矩方程的矩陣形式 將式（6-81）代入式（6-82），并考慮到電感的分塊矩陣關(guān)系式（6-77）（6-79），得： 又由于 代入式（6-83）得： 該方程適用變壓變頻器供電含有電流諧波三相異步電動(dòng)機(jī) 轉(zhuǎn)矩方程的三相坐標(biāo)系形式 以式（6-79）代入式（6-84）并展開(kāi)后，舍去負(fù)號(hào)，意即電磁轉(zhuǎn)矩的正方向?yàn)槭?q 減小的方向，則 4. 電力拖動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程 在一般情況下，電力拖動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式是 TL 負(fù)載阻轉(zhuǎn)矩； J 機(jī)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； D 與轉(zhuǎn)速成正比的阻轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)； K 扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩系數(shù)。 運(yùn)動(dòng)方程的簡(jiǎn)化形式 對(duì)于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載，D = 0 ， K = 0 ，則 5. 三相異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型 將式（6-76），式（6-80），式（6-85）和式（6-87）綜合起來(lái)，再加上，便構(gòu)成在恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載下三相異步電機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型，用結(jié)構(gòu)圖表示出來(lái)如下圖所示：異步電機(jī)的多變量非線性動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 三、 坐標(biāo)變換和變換矩陣 上節(jié)中雖已推導(dǎo)出異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，但是，要分析和求解這組非線性方程顯然是十分困難的。在實(shí)際應(yīng)用中必須設(shè)法予以簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化的基本方法是坐標(biāo)變換。 1. 交流電機(jī)的物理模型 直流電機(jī)物理模型簡(jiǎn)單（勵(lì)磁繞組d軸上，電樞繞組在q軸上），如果能將交流電機(jī)的物理模型（見(jiàn)下圖）等效地變換成類似直流電機(jī)的模式，分析和控制就可以大大簡(jiǎn)化。坐標(biāo)變換正是按照這條思路進(jìn)行的。 在這里，不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。 （1）交流電機(jī)繞組的等效物理模型 （2）等效的兩相交流電機(jī)繞組 （3）旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機(jī)模型 再看圖c中的兩個(gè)匝數(shù)相等且互相垂直的繞組 M 和 T，其中分別通以直流電流和，產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì) F ，其位置相對(duì)于繞組來(lái)說(shuō)是固定的。 如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動(dòng)勢(shì) F 自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來(lái)，成為旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。 把這個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的大小和轉(zhuǎn)速也控制成與圖 a 和圖 b 中的磁動(dòng)勢(shì)一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當(dāng)觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，在他看來(lái)，M 和 T 是兩個(gè)通以直流而相互垂直的靜止繞組。 如果控制磁通的位置在 M 軸上，就和直流電機(jī)物理模型沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時(shí)，繞組M相當(dāng)于勵(lì)磁繞組，T 相當(dāng)于偽靜止的電樞繞組。 等效的概念 由此可見(jiàn)，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)為準(zhǔn)則，圖a的三相交流繞 組、圖b的兩相交流繞組和圖c中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效?；蛘哒f(shuō)，在三相坐標(biāo)系下的，在兩相坐標(biāo)系下的和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系下的直流是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。 現(xiàn)在的問(wèn)題是，如何求出與和之間準(zhǔn)確的等效關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的任務(wù)。 2. 三相-兩相變換（3/2變換） 現(xiàn)在先考慮上述的第一種坐標(biāo)變換在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組之間的變換，或稱三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的變換，簡(jiǎn)稱 3/2 變換。 三相和兩相坐標(biāo)系與繞組磁動(dòng)勢(shì)的空間矢量 : 設(shè)磁動(dòng)勢(shì)波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在軸上的投影都應(yīng)相等， 寫(xiě)成矩陣形式，得: 考慮變換前后總功率不變，在此前提下，可以證明匝數(shù)比應(yīng)為: 為求兩項(xiàng)到三項(xiàng)的變換陣將三項(xiàng)到兩項(xiàng)的變換陣增廣成可逆的方陣，物理意義在兩項(xiàng)系統(tǒng)上人為加入零軸磁動(dòng)勢(shì)并定義 滿足功率不變的條件 可以求得如下關(guān)系： 這表明保持坐標(biāo)變換前后的功率不變，又要維持磁鏈相同，變換 前后兩項(xiàng)繞組每相匝數(shù)應(yīng)為原三項(xiàng)繞組匝數(shù)的倍于此同時(shí)利用上述關(guān)系得三項(xiàng)/兩項(xiàng)變換方陣： 如要從兩相坐標(biāo)系變換到三相坐標(biāo)系2/3變換可求反變換： N3 /N2 值代入式（6-89），得： 3. 兩相兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換） 從上圖等效的交流電機(jī)繞組和直流電機(jī)繞組物理模型的圖 b 和圖 c 中從兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 M、T 變換稱作兩相兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱 2s/2r 變換，其中 s 表示靜止，r 表示旋轉(zhuǎn)。 把兩個(gè)坐標(biāo)系畫(huà)在一起，即得下圖。 兩相靜止和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與磁動(dòng)勢(shì)（電流）空間矢量 2s/2r變換公式 兩相旋轉(zhuǎn)兩相靜止坐標(biāo)系的變換矩陣 寫(xiě)成矩陣形式，得： 式中 是兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣。 對(duì)式（6-96）兩邊都左乘以變換陣的逆矩陣，即得 ： 兩相靜止兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣 則兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣是 ： 電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動(dòng)勢(shì)）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。 四、 三相異步電動(dòng)機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 前已指出，異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，坐標(biāo)變換的目的就是要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。第6.6.2節(jié)的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型是建立在三相靜止的ABC坐標(biāo)系上的，如果把它變換到兩相坐標(biāo)系上，由于兩相坐標(biāo)軸互相垂直，兩相繞組之間沒(méi)有磁的耦合，僅此一點(diǎn)，就會(huì)使數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單了許多。 1.異步電機(jī)在兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（dq坐標(biāo)系）上的數(shù)學(xué)模型 兩相坐標(biāo)系可以是靜止的，也可以是旋轉(zhuǎn)的，其中以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系為最一般的情況，有了這種情況下的數(shù)學(xué)模型，要求出某一具體兩相坐標(biāo)系上的模型就比較容易了。 變換關(guān)系 設(shè)兩相坐標(biāo)軸與三相坐標(biāo)軸的夾角為， 而為坐標(biāo)系相對(duì)于定子的角轉(zhuǎn)速，為坐標(biāo)系相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速。 變換過(guò)程 具體的變換運(yùn)算比較復(fù)雜， 根據(jù)式（6-98）另0軸為假想軸d軸和A軸夾角為 可得： 寫(xiě)成矩陣形式： 合并以上兩個(gè)方程式得三相靜止ABC坐標(biāo)系到兩項(xiàng)旋轉(zhuǎn)dq0坐標(biāo)系的變換式 （1）磁鏈方程 利用變換將定子的三項(xiàng)磁鏈和轉(zhuǎn)子的三項(xiàng)磁鏈變換到dqo坐標(biāo)系中去，定子磁鏈的變換陣是其中d軸與A軸的夾角為，轉(zhuǎn)子磁鏈的變換陣是是旋轉(zhuǎn)三相坐標(biāo)系變換到不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系。其中 d 軸與 軸的夾角為 。 則磁鏈的變換式為： 把定子和轉(zhuǎn)子的磁鏈表達(dá)成電感陣和電流向量乘積，在用和的反變換陣把電流變換到dq0坐標(biāo)上： 磁鏈的零軸分量為 它們各自獨(dú)立對(duì)dq軸磁鏈沒(méi)有影響，可以不考慮則可以簡(jiǎn)化。 控制有關(guān)。 代入?yún)?shù)計(jì)算，并去掉零軸分量則dq坐標(biāo)系磁鏈方程為 或?qū)懗?式中 dq坐標(biāo)系定子與轉(zhuǎn)子同軸等效繞組間的互感； dq坐標(biāo)系定子等效兩相繞組的自感； dq坐標(biāo)系轉(zhuǎn)子等效兩相繞組的自感。 異步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型圖6-50 異步電動(dòng)機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型 （2）電壓方程 利用上式A得定子電壓變換的關(guān)系為 先討論A相的關(guān)系 同理 在ABC坐標(biāo)系下A相的電壓方程， 代入得 為dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系對(duì)于定子的角速度 由于為任意值因此下式三式成立 同理轉(zhuǎn)子電壓方程為 式中為dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角速度 同理利用B相和C相的電壓方程求出的結(jié)果與上面一致。 （2）電壓方程 上面的方程整理有定子和轉(zhuǎn)子的電壓方程 令 旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)向量 則式（6-106a）變成 這就是異步電機(jī)非線性動(dòng)態(tài)電壓方程式。與第6.6.2節(jié)中ABC坐標(biāo)系方程不同的是：此處電感矩陣 L 變成 44 常參數(shù)線性矩陣，而整個(gè)電壓方程也降低為4維方程。 （3）轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)方程 dq坐標(biāo)系上的轉(zhuǎn)矩方程為 運(yùn)動(dòng)方程與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)，仍為 其中電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度。 階數(shù)下降，但非線性、強(qiáng)耦合、多變量性質(zhì)未變。 異步電機(jī)在dq坐標(biāo)系上的動(dòng)態(tài)等效電路 2. 異步電機(jī)在坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 在靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型是任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)速等于零時(shí)的特例。當(dāng)時(shí)，即轉(zhuǎn)子角轉(zhuǎn)速的負(fù)值，并將下角標(biāo)改成，則式（6-105）的電壓矩陣方程變成 而式（6-103a）的磁鏈方程改為 利用兩相旋轉(zhuǎn)變換陣，可得 代入式（6-107）并整理后，即得到坐標(biāo)上的電磁轉(zhuǎn)矩 式（6-108）式（6-110）再加上運(yùn)動(dòng)方程式便成為坐標(biāo)系上的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型。這種在兩相靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型又稱作Kron的異步電機(jī)方程式或雙軸原型電機(jī)（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。 3. 異步電機(jī)在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 另一種很有用的坐標(biāo)系是兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，其坐標(biāo)軸仍用d，q表示，只是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)速度等于定子頻率的同步角轉(zhuǎn)速。而轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為，因此 dq 軸相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速，即轉(zhuǎn)差。代入式（6-105），即得同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的電壓方程 在二相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的電壓方程 磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程均不變。 兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的突出特點(diǎn)是，當(dāng)三相ABC坐標(biāo)系中的電壓和電流是交流正弦波時(shí)，變換到dq坐標(biāo)系上就成為直流。 4、按轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向下的數(shù)學(xué)模型 在dq坐標(biāo)系放在同步旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)下使d軸與轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)的方向重合此時(shí)轉(zhuǎn)子的d軸的磁通分量為0，既有下式。帶入式（6-111） 三四行出現(xiàn)零元素，減少了耦合，簡(jiǎn)化了模型 上式中解得，帶入dq坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)矩方程有如下結(jié)果， 這個(gè)關(guān)系和直流電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程非常接近了，如果是鼠