平面的基本性質(zhì).ppt

平靜的水面,1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論,復(fù)習(xí)回顧：,初中幾何中點(diǎn)和直線的基本性質(zhì)：連接兩點(diǎn)的線中，線段最短；過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線探索：幾何中的點(diǎn)，直線都是抽象概念，我們通過觀察，想象來探討幾何平面的概念及性質(zhì)。,同學(xué)們看到的平靜的水面給了我們以平面的形象.和點(diǎn)、直線一樣,平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念.,問題:那我們?cè)鯓觼碚J(rèn)識(shí)和表示一個(gè)平面呢?,桌面,黑板面,平靜的水面,平面的形象,幾何里的平面是無限延展的.,平面的概念,平面的畫法,我們常常把水平的平面畫成一個(gè)平行四邊形，用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍,被遮擋部分用虛線表示,平面的畫法,為了增強(qiáng)立體感，常常把被遮擋部分用虛線畫出來,平面的表示,平面,常把希臘字母、等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面、平面等；也可以用代表平面的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱,A,點(diǎn)與平面的位置關(guān)系,平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外都可以用元素與集合的屬于、不屬于關(guān)系來表示,如果直線l與平面有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面內(nèi)？,思考,平面公理,實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：把一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放到桌面上，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上,思考,平面公理,如果直線l與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l是否在平面內(nèi)？,文字語言,圖形語言,符號(hào)語言,m,B,A,.,.,作用？,平面公理,在生產(chǎn)、生活中，人們經(jīng)過長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐，總結(jié)出關(guān)于平面的一些基本性質(zhì)，我們把它作為公理這些公理是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ),基本性質(zhì)1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi),判定直線是否在平面內(nèi),A,l,點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)A在直線l外,直線l在平面外,直線l在平面內(nèi),平面經(jīng)過直線l,圖形、文字、符號(hào),用手指頭將一本書平衡地?cái)[放在空間某一位置，至少需要幾個(gè)手指頭？,思考：,這些手指需要滿足什么條件？,基本性質(zhì)2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面,存在性,唯一性,確定平面的主要依據(jù),平面公理,不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C所確定的平面，可以記成“平面ABC”,文字語言,圖形語言,符號(hào)語言,作用？,把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？,B,思考,平面公理,把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？,思考,平面公理,基本性質(zhì)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù),判斷點(diǎn)在直線上,平面公理,文字語言,圖形語言,符號(hào)語言,作用？,1.如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,（1）,（2）,解：在（1）中，,在（2）中，,隨堂練習(xí),D,隨堂練習(xí),3.用符號(hào)表示：點(diǎn)A在直線L上,L在平面外,是.,，,4.在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：,直線在平面內(nèi)；,錯(cuò)誤,隨堂練習(xí),在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：,(2)由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；,錯(cuò)誤,隨堂練習(xí),5、在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：,(1)由確定的平面是；,(2)由確定的平面與由確定的平面是同一個(gè)平面,正確,正確,隨堂練習(xí),基本性質(zhì)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).,基本性質(zhì)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.,基本性質(zhì)2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,平面的基本性質(zhì),想一想？,過一條直線L和直線外一點(diǎn)A的平面有幾個(gè)?,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,基本性質(zhì)2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.,分析：先在直線上任取兩點(diǎn),，這樣,三點(diǎn)就能確定一個(gè)平面，再證明在這個(gè)平面內(nèi),平面的基本性質(zhì)的推論,推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.,推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.,基本性質(zhì)2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,右圖是一張倒置的課桌，你能用所學(xué)的知識(shí)檢查一下桌子的四條腿是否在同一個(gè)平面內(nèi)？,隨堂練習(xí),有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)三條互相平行的直線必共面四條線段順次首尾連接，構(gòu)成平面圖形,2、下列命題正確的是,A、兩條直線可以確定一個(gè)平面B、一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C、空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面D、兩條相交直線可以確定一個(gè)平面,隨堂練習(xí),例1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)。(如圖),已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求證：直線AB，BC，AC共面,典型例題,證法二:因?yàn)锳直線BC上，所以過點(diǎn)A和直線BC確定平面.(推論1)因?yàn)锳，BBC，所以B.故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面.,證法三:因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面.(公理3)因?yàn)锳，B，所以AB.(公理1)同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直線共面.,分析：因?yàn)橹本€與點(diǎn)可以確定平面所以只需證明,都在平面內(nèi),隨堂練習(xí),例如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)，畫出由，三點(diǎn)所確定的平面與長(zhǎng)方體表面的交線,分析：因?yàn)辄c(diǎn)既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)，所以點(diǎn)P在平面與平面AB1的交線上.同理,點(diǎn)A1在平面與平面AB1的交線上,因此,PA1就是平面與平面AB1的交線.,作法:連結(jié)A1P,PC1,A1C1,它們就是平面與長(zhǎng)方體表面的交線.,典型例題,1.不共面的四點(diǎn)可以確定個(gè)平面,2.三條直線兩兩相交，它們能確定個(gè)平面,1或,隨堂練習(xí),共面與異面直線,例1如圖，平面ABEF記作，平面ABCD記作，根據(jù)圖形填寫：（1）A，B，E，C，D；（2）A，B，C，D，E，F(xiàn)；（3）=；,AB,例2如圖中ABC，若AB、BC在平面內(nèi)，判斷AC是否在平面內(nèi)？,解：AB在平面內(nèi)，A點(diǎn)一定在平面內(nèi)，又BC在平面內(nèi)，C點(diǎn)一定在平面內(nèi)，(點(diǎn)A、點(diǎn)C都在平面內(nèi)，)直線AC在平面內(nèi)（公理1）.,例3（1）不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面？（2）三條直線兩兩平行，但不共面，它們可以確定幾個(gè)平面？（3）共點(diǎn)的三條直線可以確定幾個(gè)平面？,4個(gè),3個(gè),1個(gè)或3個(gè),例4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為CC1和AA1上的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線.,解：在平面AA1D1D內(nèi)，延長(zhǎng)D1F，D1F與DA不平行，因此D1F與DA必相交于一點(diǎn)，設(shè)為P，,又D1F平面BED1F，P在平面BED1F內(nèi).,則PD1F，PDA，,AD平面ABCD，P平面ABCD，,又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)，連結(jié)PB，PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線.,例5.如圖所示，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面內(nèi)，它的三邊AB、BC、AC延長(zhǎng)線后分別交平面于點(diǎn)P、Q、R，求證：點(diǎn)P、Q、R在同一條直線上.,證明：由已知AB的延長(zhǎng)線交平面于點(diǎn)P，根據(jù)公理3，平面ABC與平面必相交于一條直線，設(shè)為l，,P直線AB，P面ABC，又直線AB面=P，P面.,P是面ABC與面的公共點(diǎn)，,面ABC面=l，Pl，,同理，Ql，Rl，,點(diǎn)P、Q、R在同一條直線l上.,知識(shí)小結(jié),平面的基本性質(zhì)、推論及應(yīng)用(共點(diǎn)、共線、共面）,經(jīng)過不共線三點(diǎn),確定平面的條件：,