線性代數(shù)總復習.ppt

線性代數(shù)總復習,一、行列式,二、矩陣,三、向量之間的關系,四、線性方程組的解,五、特征值與特征向量,一、行列式,1、二階三階行列式的計算,2、n階行列式的計算,性質1行列式與它的轉置行列式相等.,性質2互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,性質3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.,性質行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,(1)利用行列式的性質計算,（化為三角形）,性質5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.,性質把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變,例計算行列式,解,(2)利用行列式展開計算,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即,例,二、矩陣,1、矩陣的逆的求法,（1）公式法（伴隨法）,（2）初等變換法,行的初等變換,例1求方陣的逆矩陣.,解,（公式法）,故,（初等變換法）,即,初等行變換,2、矩陣的秩,矩陣秩的求法,把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.,例,解,三、向量之間的關系,1、線性組合,向量能由向量組線性表示,定義,存在矩陣，,使得,判定,線性表示,存在矩陣，,使得,解,陣,有相同的秩。,下面把矩陣化為行最簡形：,法一,向量可由向量組線性表示。,從而,其中為任意常數(shù)。,法二,設,即,也即,其中為任意常數(shù)。,解得其通解為,故向量可由向量組線性表示，且,其中為任意常數(shù)。,定義,則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關,2、線性相關性,定理,判定,例1,解,3、最大無關組及向量組的秩,設有向量組，,滿足下面兩個條件：,如果能在中選出個向量,（1）向量組線性無關；,線性表示。,（2）向量組中的每一個向量都能由向量組,則稱向量組為向量組的最大無關組。,最大無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩。,向量組的秩的求法,最大無關組的求法,且列向量組的一個最大無關組為,因此,四、線性方程組的解,定理,元線性方程組,1),有唯一解,2),無解,3),無窮多解,定理,元齊次線性方程組有非零解,則齊次線性,其中為任意實數(shù)。,非齊次線性方程組的通解,例求解非齊次方程組,解：,令,則,為任意常數(shù)）,法1：,法2：,令,得,又原方程組對應的齊次方程組的通解是,令,得基礎解系,所以原方程組的通解是,為任意常數(shù)）,五、特征值與特征向量,（1）如何求的特征值？,解特征方程,特征方程的根即為矩陣的特征值。,（2）如何求屬于特征值的特征向量？,解齊次線性方程組,其非零解即為屬于特征值的特征向量,1、特征值與特征向量的求法,解,得基礎解系為：,使得,則,若存在可逆矩陣，,（1）為矩陣的特征值,（2）為對應于特征值的特征向量。,2、方陣的對角化,解,解之得基礎解系,所以可對角化.,注意,即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應,3、實對稱矩陣的對角化,利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣,2.,1.,具體步驟為：,解：,當時，齊次線性方程組為,得基礎解系,令,再單位化：令,當時，齊次線性方程組