2017中考數(shù)學(xué)《一元一次方程》專題復(fù)習(xí)考點(diǎn)講解(含答案)

1 一元一次方程 【培優(yōu) 圖解 】 【 技法透析 】 1一元一次方程的有關(guān)概念 (1)方程：含有未知數(shù)的等式叫方程：由方程的定義可知：判斷一個(gè)數(shù)學(xué)式子是否為方程，只需要看它是否具備以下兩個(gè)條件：這個(gè)式子必須是等式，這個(gè)等式中必須含有未知數(shù)，這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是方程方程必是等式，但等式不一定是方程 (2)方程的解：使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解 (3)解方程：求方程解的過程叫做解方程“解方程”是指確定方程的解的過程，也就 2 是把方程進(jìn)行變形的過程，因此，“解方程”與 “方程的解”是兩個(gè)完全不同的概念 (4)一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為 1，這樣的方程叫一元一次方程，判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程，必須具備以下三個(gè)條件：必須是整式方程；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的次數(shù)為 1，且系數(shù)不為 0如方程 x 2 3x是分式方程而不是整式方程，方程 3x 2y 1 中含有兩個(gè)未知數(shù)，方程 2x 5 1 中未知數(shù)的最高次數(shù)為 2（次），因此，這三個(gè)方程都不是一元一次方程像方程 5x 3 5（ x 1），從表面上看，好像 是一元一次方程，其實(shí)經(jīng)過化簡(jiǎn)后這個(gè)方程變?yōu)?3 5，就不是一元一次方程；而像方程 2x 3 5，表面上看它是一元二次方程，其實(shí)經(jīng)過化簡(jiǎn)后，這個(gè)方程變?yōu)?2x 8，所以實(shí)際上它是一元一次方程 2等式的性質(zhì) (1)等式的性質(zhì) 1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，所得的結(jié)果仍是等式，即：如果 a b，則 a c b c (2)等式的性質(zhì) 2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為 0 的數(shù)所得的結(jié)果仍是等式即：如果 a b，則 (c 0) 3解一元一次方程的一般步驟 (1)去分母：即在方程的左、右兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，去公母的依據(jù)是等式的性質(zhì) 2去分母時(shí)要防止漏乘不含分母的項(xiàng)，同時(shí)要把分子（如果含幾項(xiàng)）作為一個(gè)整體用括號(hào)括起來，以及分母約分后“ 1”省略不寫 (2)去括號(hào)：去括號(hào)的依據(jù)是去括號(hào)法則及乘法分配律去括號(hào)時(shí)先要分清括號(hào)前是“”還是“”號(hào)，不要弄錯(cuò)符號(hào)，還要防止漏乘括號(hào)里后面的項(xiàng) (3)移項(xiàng)：移項(xiàng)是解方程常用的一種變形移項(xiàng)的依據(jù)是等式的性質(zhì)一般是把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程 的左邊，把不含未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的右邊注意移項(xiàng)一定要變號(hào) (4)合并同類項(xiàng)：運(yùn)用合并同類項(xiàng)法則，將方程化為 b(a 0)的形式合并同類項(xiàng)的依據(jù)是乘法分配律 (5)系數(shù)化為 1：即在方程左、右兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù) a，得到方程的解為 x 數(shù)化為 1 的依據(jù)是等式的性質(zhì) 2，它是解一元一次方程的最后 _步變形，經(jīng)過系數(shù)化為 1 的變形就可以求出未知數(shù)的值，從而得到一元一次方程的解在系數(shù)化為 1 時(shí)，兩數(shù)相除不要寫反了，要明確哪個(gè)是被除數(shù)，哪個(gè) 是除數(shù)，不要顛倒了 在解方程時(shí)，需要我們既要學(xué)會(huì)按部就班（嚴(yán)格按步驟），又要能隨機(jī)應(yīng)變（可根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征靈活打亂步驟） 4含字母系數(shù)的一元一次方程 含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為： b 的形式當(dāng)字母 a、 b 的取值范圍未給出時(shí)，則要討論解的情況，其方法是： (1)當(dāng) a 0 時(shí)，方程有唯一解，即 x )當(dāng) a 0， b 0 時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解； 3 (3)當(dāng) a 0， b 0 時(shí)，方程無解 5解一元一次方程的常用技巧 (1)有多重括號(hào)時(shí)，去括號(hào)與合并同類項(xiàng)可交替進(jìn)行： (2)當(dāng)括號(hào)內(nèi)含有分?jǐn)?shù)時(shí)，常由外向內(nèi)去括號(hào)再去分母； (3)當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化為整數(shù)； (4)運(yùn)用整體思想，即把含有未知數(shù)的代數(shù)式看作是一個(gè)整體進(jìn)行變形 6列方程解應(yīng)用題的一般步驟 (1)審清題意，即弄清題目中已知什么，要求什么，明確各個(gè)數(shù)量之間是什么關(guān)系 (2)找相等關(guān)系，要善于從應(yīng)用題中發(fā)現(xiàn)直接的或隱含的表示已知數(shù)和未知數(shù)全部含義的相等關(guān)系 (3)設(shè)未知數(shù)，并列出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的表達(dá)式 ，設(shè)未知數(shù)有直接設(shè)法與間接設(shè)法 (4)列方程，將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程 (5)解方程，求出所列方程的解，求解的過程可以簡(jiǎn)化 (6)檢驗(yàn)并作答，檢驗(yàn)所解得的方程的解是否符合題意或?qū)嶋H問題，最后再作答“設(shè)”與“答”要帶單位，且單位要統(tǒng)一 【 名題精講 】 考 點(diǎn) 1 利用一元一次方程的定義解題 例 1 已知方程（ m 2） 1 16 0 是關(guān)于 x 的一元一次方程求 m 的值和方程的解 【切題技巧】 由一元一次方程的定義可知：關(guān)于 x 的一元一次 方程的條件是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為 1 且其系數(shù)不為 0，于是應(yīng)有： m 20， 11m 從而可求得 m 的值及相應(yīng)的方程的解 【規(guī)范解答】 【借題發(fā)揮】 一元一次方程必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：必須是整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為 1 且系數(shù)不為 0，利用定義法解題是數(shù)學(xué)解題的一種方法，從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)中的定理、公式、法則和性質(zhì)等，都是由定義和公理推演出來的巧用定義法解題必須對(duì)定義有透徹的理解 【同類拓展】 1已知 (1)(m 1)x 8 0 是關(guān)于 x 的一元一次方程 (1)求代數(shù)式 200(m x)（ x 2m） 10m 的值 4 (2)求關(guān)于 y 的方程 m 1y x 的解 考 點(diǎn) 2 一元一次方程的解法 例 2 解方程 3 2 1 1 11 2 22 3 4 2 2 觀察方程結(jié)構(gòu)特征： 32與 23互為倒數(shù)， 32 2 是整數(shù)，故解此方程時(shí)先不急于去分母，而應(yīng)先去中括號(hào)，再去小括號(hào)計(jì)算較簡(jiǎn)便 【規(guī)范解答】 去中括號(hào)得： 1 1 11 3 24 2 2 去小括號(hào)整理得： 1 3 14 2 2移項(xiàng)合并得： 1342x 系數(shù)化為 1 得： x 6 【借題發(fā)揮】 靈活解一元一次方程時(shí)常用到的方法技巧有：若有多重括號(hào)，應(yīng)根據(jù)方程中數(shù)據(jù)特征，靈活運(yùn)用去括號(hào)法則與合并同類項(xiàng)法則，交替進(jìn)行；若括號(hào)內(nèi)含分?jǐn)?shù)時(shí)，則由外向內(nèi)先去括號(hào)、再去分母；恰當(dāng)運(yùn)用整體思想，因此在解方程時(shí)，既要學(xué)會(huì)嚴(yán)格按步驟進(jìn)行，又要依據(jù)方程結(jié)構(gòu)特征靈活變通步驟 【同類拓展】 2如果 x 2 是 1 1 14 7 1 0 19 6 3 2 的解那么 a_ 考 點(diǎn) 3 含字母系數(shù)的一元一次方程 例 3 解關(guān)于 x 的方程： 2a(a 4)x 4(a 1)x 2a 4x 【切題技巧】 先將原方程整理為“ b”的形式，因?yàn)槭亲帜赶禂?shù)的一元一次方程，所以必須討論方程解的情況 【規(guī)范解答】 原方程整理得： a（ 2a 4） x a（ a 2） 當(dāng) a 0， a 2 時(shí)方程有唯一解， x 224 當(dāng) a 0 時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解； 當(dāng) a 2 時(shí)，方程無解 【借題發(fā)揮】 含字母系數(shù)的一元一次方程總能轉(zhuǎn)化為“ b”的形式，對(duì)于方程中字母系數(shù) a、 b 的值沒有明確給出時(shí)，則要對(duì) a、 b 的取值的可能 情況進(jìn)行討論，再討論 5 方程的解的情況，其方法為：當(dāng) a 0 時(shí)，方程有唯一解，即 x a 0， b 0 時(shí)，方程的解為無數(shù)個(gè)；當(dāng) a 0， b 0 時(shí)，方程無解 【同類拓展】 3如果 a、 b 為常數(shù)，關(guān)于 x 的方程： 2 23k x a x b ，無論 的解總是 1求 a、 b 的值 考 點(diǎn) 4 設(shè)元技巧 例 4 一只小船從甲港到乙港逆流航行需 2 小時(shí)，水流速度增加 1 倍后，再從甲港到乙港航行需 3 小時(shí)，水流速度增加后，則從乙港 返回甲港需航行 ( ) A 時(shí) B 1 小時(shí) C 時(shí) D 時(shí) 【切題技巧】 本題要求從乙港返回甲港所需的時(shí)間，則需要求甲、乙兩港間的距離及順?biāo)叫械乃俣?，故可考慮設(shè)輔助未知數(shù)，設(shè)甲、乙兩港的距離為 S，船在靜水中的速度為 水流速度為 題意有： 【規(guī)范解答】 B 【借題發(fā)揮】 恰當(dāng)、合理地設(shè)元是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，設(shè)什么為元，需要根據(jù)具體問題的條件來確定，對(duì)未知元的選擇，有時(shí)可將要求的量作為未知數(shù)（即問什么設(shè)什么）稱 此為直接設(shè)元；有時(shí)需要將要求的量以外的其它量設(shè)為未知元（即所設(shè)的不是所求的，但更易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系與相等關(guān)系）稱此為間接設(shè)元；有時(shí)應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對(duì)求解無直接聯(lián)系；但如果不指明這些量的存在，則難求其解因此需要把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，以便建立相等關(guān)系，稱此為輔助設(shè)元，輔助設(shè)元的目的不是為了求其值，而是為列方程創(chuàng)造條件 【同類拓展】 4 A 和 B 分別從甲、乙兩站于早上 8： 00 出發(fā)相向而行， 40 分鐘相遇，相遇后，兩人繼續(xù)向前， A 到達(dá)乙站后立即返回，又行走了全程的 1516后追上 B， A 追上 B 時(shí)是 _時(shí) _分 考 點(diǎn) 5 常見題型的應(yīng)用題 例 5 初一 (1)班有學(xué)生 60 名，其中參加數(shù)學(xué)小組的有 36 人，參加英語小組的人數(shù)比參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)少 5，并且這兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)比兩小組都參加的人數(shù)的 14多2，則同時(shí)參加這兩個(gè)小組的人數(shù)是 ( ) A 16 B 12 C 10 D 8 【切題技巧】 本題較復(fù)雜、數(shù)量較多， 我們可以把該班人數(shù)分四個(gè)部分，即：兩個(gè) 6 小組都參加，僅參加數(shù)學(xué)小組，僅參加英語小組，兩個(gè)小組都不參加于是可設(shè)同時(shí)參加這兩個(gè)小組的有 x 人，則僅參加數(shù)學(xué)小組的有 (36 x)人僅參加英語小組的有（ 36 5 x）人兩個(gè)小組都不符加的有 (14x 2)人，依題意有： x (36 x) (36 5 x) (14x 2)60 x 12 【規(guī)范解答】 B 【借題發(fā)揮】 常見題型的應(yīng)用題包括：行程與時(shí) 鐘問題，工程與比例分配問題，濃度與調(diào)配問題；數(shù)字與日歷、數(shù)表問題；市場(chǎng)營銷與方案決策問題；增長率等，這類應(yīng)用題在中考、競(jìng)賽中一直是熱點(diǎn)之一，需要我們認(rèn)真審題，分清各類應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用畫線段示意圖和列表格的方式來幫助分析題意，使題意變得直觀、清晰 5將連續(xù)的奇數(shù)： 1， 3， 5， 7，排成如右圖數(shù)表，用十字框任意框出 5 個(gè)數(shù)，十字框框出的五個(gè)數(shù)之和能等于 2000 嗎？能等于 2010 嗎？能等于 2055 嗎？若能，請(qǐng)寫出十字框框出的五個(gè)數(shù) 考 點(diǎn) 6 情景應(yīng)用題 例 6 某超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購 物，規(guī)定如下： (1)若一次性購物少于 200 元，則不優(yōu)惠； (2)若一次性購物滿 200 元，但不超過 500元，按標(biāo)價(jià)給予 9 折優(yōu)惠； (3)若一次性購物超過 500 元，其中 500 元以下部分（包括 500元）按標(biāo)價(jià)給予 9 折優(yōu)惠，超過 500 元部分按標(biāo)價(jià) 8 折優(yōu)惠李明兩次去超市購物，分別付款 198 元和 554 元現(xiàn)在王娟準(zhǔn)備一次性地購買和李明分兩次購買同樣多的物品，她需付多少元？ 【切題技巧】 先根據(jù)兩次購物的付款情況分別對(duì)購物款作一個(gè)初步估計(jì)，因?yàn)榈谝淮胃犊顬?198 元，有可能未享受優(yōu)惠，也有可能是打九折后的付款，故有 兩種情況，而第二次付款為 554 元，顯然第二次的購物款超過了 500 元，再分別求出兩次的實(shí)際購物款 【規(guī)范解答】 7 【借題發(fā)揮】 解數(shù)學(xué)情景應(yīng)用題要在讀懂材料并理解題意的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察問題，理解題意，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，解決問題本例中要分情況討論，購物超過 500 元時(shí)，應(yīng)分段累計(jì)付款，“打 n 折”的含義為按標(biāo)價(jià)的 n