矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用

矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用設(shè)矩陣的秩RANK，則存在M階可逆矩陣P和N階可逆陣Q，使MNAR，0REAQ我們把稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形熟知兩個(gè)同形矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩，即它們0RE具有相同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形能幫助我們解決許多問題例1每個(gè)方陣A均可寫成，其中B是可逆陣，C是冪等陣（即）2C證設(shè)A的秩RANK，則存在可逆陣P和Q，使記，R0REAQBP，顯然B是個(gè)可逆陣，是個(gè)冪等陣，并且10RECQ2例2設(shè)N階方陣A的秩RANK，證明存在可逆陣P，使的后行全是零R1ANR證存在可逆陣P和Q，使，從而的后行全10RE10REQPR是零例3設(shè)N階矩陣A的秩RANK，證明存在非零N階矩陣B，使RNA證由例1知存在可逆陣和冪等陣，使記，顯然，且12A1212E0B22210BAEE例4設(shè)N階矩陣A，B滿足，證明B證存在N階矩陣P，Q，使得，這里RANKA，我們斷言事實(shí)上，0RRRN從易知ABE，110REABPQB，1R由此顯然得到，此時(shí)，從而，進(jìn)而RN1PAQBE11BPABQBAE例5設(shè)N階冪等陣A（即）的秩RANK，證明存在可逆陣P，使2AR10REPA證存在可逆陣R和T，使，記，其中為R階方陣，則10R12TR1T，1111120REAR從即知，從而2A211R，21111000TTR因此，且，注意到的秩等于R，知R階方陣的秩RANK21T11R11T，必須，隨之得到RRE110RERA現(xiàn)令可逆陣，可驗(yàn)證10RNRRPE111111000RNRNRRRRNRNRERAARE例6設(shè)N階冪等陣A的秩等于R，證明（I）RANKRANK；E（II）TRRANKA；（III）任何實(shí)冪等陣均可分解為兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣的乘積證由例5知存在可逆陣P（當(dāng)A為實(shí)陣時(shí)，P亦可取為實(shí)陣），使得10RE（I）此時(shí)，這樣10NRERANKRANKAERN（II）TRTRRANKA1PR（III）易知，顯然111000RRREEEAPPPP和都是實(shí)對(duì)稱陣，從而也是實(shí)對(duì)稱陣0REP1例7若N階陣A滿足RANKRANK，AEN則A是個(gè)冪等陣證由例2知存在可逆陣P和，其中是R階方陣，RANKA，使得1234Q1R,121213400REP又從條件知的秩RANK，的秩也等于，必ANR1210RNREQPANR須，即，這時(shí)10REQ1RE22210RRQPAPA是個(gè)冪等陣，進(jìn)而A是個(gè)冪等陣?yán)?1設(shè)A是個(gè)N階對(duì)合陣（即），RANK，證明2EAR（I）存在可逆陣P，使1RNRPA（II）RANKRANKEAN（III）每個(gè)實(shí)對(duì)合陣均可表為兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣之積2若N階陣A滿足RANKRANK，則A是對(duì)合陣EN證注意到A是對(duì)合陣當(dāng)且僅當(dāng)是冪等陣，利用例57的結(jié)論即得12例9（I）設(shè)N階陣A的秩等于R，滿足，此處證明存在可逆陣P，使得2A01REPA（II）設(shè)A，B是如下的N階矩陣，1A0NB證明存在可逆陣P，使1B證（I）我們仿照例5的思路來進(jìn)行存在可逆陣R，使，1210AR其中是R階方陣從知，即12A211RAA，121212000A于是，且注意到，的秩RANK，因此，21AA1212,AA11R1RAAE20RERA記，P顯然是可逆的，并且210RNREAPRA221100RRRNRNRAEEAR（II）顯然A的秩RANK，又容易驗(yàn)證，故據(jù)（I）即知結(jié)論2例10設(shè)A是個(gè)矩陣，B是個(gè)矩陣，證明MMNEABEA證設(shè)A的秩RANK，存在M階可逆陣P和N階可逆陣Q，使，記分塊R0REPQ陣，其中為R階方陣，則有1234BQP1100RRMMMEEEAPQBPQBP123412100RRMMRRRBEEQBP，同理可得，1NRNEBAEB因此證明了進(jìn)一步地，MNMEABMNMNAEBA例11設(shè)矩陣A的秩等于R，證明對(duì)任意矩陣B，0是AB的至少重特征值，R0是BA的至少重特征值NR證從例10的證明直接推出例12計(jì)算行列式11212212NNNNXYXY解根據(jù)例10可知112112222121212,NNNNNNNXYXYXEYXY12NXXY例13設(shè)A是個(gè)N階可逆陣，和是兩個(gè)N維列向量證明RANK當(dāng)且僅當(dāng)AN1證由例10得，注意到1111NAEAE，的秩RANK當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，即0A00A1例14設(shè)均不為0，計(jì)算行列式12,NA123123NAANN解因均不為0，故對(duì)角陣是可逆的，由例13可得12,NA12NAA11223111223,21,NNAAANNAN11NIIA例15設(shè)A是個(gè)矩陣，B是個(gè)矩陣，證明下面的SYLVESTER秩不等式MNNLRANKABRANKRANKAB證設(shè)A的秩等于R，B的秩等于S，存在M階可逆陣P，N階可逆陣Q和R，L階可逆陣S，使得，0REAPQ0SERS記，其中是矩陣，則1234TQR1TRS，1000RSETABPQRSPS注意到P、T、S都是可逆陣，RANK，故TNRANKRANKRANK，101T而是T中去掉后行、后列所得的矩陣，而在矩陣中去掉一行（列），矩陣的秩最多減少1NRS1，因此RANKRANKAB1TNRSRN例16設(shè)A、B、C是任意三個(gè)矩陣，乘積ABC有意義，證明下面的FROBENIUS秩不等式RANKABCRANKRANKRANKBABC證設(shè)A是矩陣，B是矩陣，C是矩陣，且設(shè)RANK，則存在M階可逆陣LMPRP和N階可逆陣Q，使現(xiàn)作分塊陣，是矩陣，0REPQ12,P12QPR是矩陣，則1R，1121200RREB于是根據(jù)例15得到RANKRANKRANKRANKABC1PQ1AP1QCRRANKRANKRRANKRANKRANKB例17設(shè)矩陣A的秩等于R，證明存在可逆陣、使PA的后行全為零，AQMNMNMR的后列為零R證存在可逆陣P和Q，使得，顯然的后行為零，0RE10REPAQR而且的后列為零10REAQNR例18設(shè)A、B是兩個(gè)等秩的矩陣，若存在N階矩陣U，使，則存在可逆陣V，MAB使V證設(shè)A、B的秩等于R，從例17知存在可逆陣P和Q，使，1,0A1,0B其中，都是秩為R的矩陣現(xiàn)作適當(dāng)?shù)姆謮K，則有1N12,12，121,0PA，112,QBB從而，并且進(jìn)一步可得1AP，111APBUQP注意到的秩等于R，故R階方陣的秩也等于R，即是可逆的，于是有1AVV11111,0,00,NRNRBQAAPEE顯然是可逆的，我們把它的逆記為V，則10NRVPEB例19試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出齊次線性方程組的一種解法0MNAX解設(shè)A的秩等于R，存在M階可逆陣P和N階可逆陣Q，使，于是線性方0REP程組可化為0X，110REX記，則原方程組等價(jià)于121NYYQX，120RNYE即令，容易驗(yàn)證都是120RYY121,RQQQ12,RNQ的解，從而它們構(gòu)成的一基礎(chǔ)解系0AXAX下面是具體的操作過程首先構(gòu)造矩陣，NMABE然后對(duì)矩陣B作如下的初等變換（I）對(duì)A（即B的前M行）作初等的行變換，（II）對(duì)B作初等的列變換，則經(jīng)過有限次上述的初等變換后，B可變?yōu)椋?RNEABQ此時(shí)Q的后個(gè)列向量構(gòu)成的一基礎(chǔ)解系NR0X例20試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出非齊次線性方程組的一種解法MNAXB解下面僅給出具體的操作過程，至于其原理可按例19的方式得到首先構(gòu)造矩陣，10NMNBBE然后對(duì)矩陣B作如下形式的初等變換（I）對(duì)B的前M行作行的初等變換，,AB（II）對(duì)B的前N列作列的初等變換，E則經(jīng)過有限次上述變換后，B可變?yōu)椋?RNEABBBQ記，此時(shí)可得如下的結(jié)論有解當(dāng)且僅當(dāng)11RMBB121,RNQQQAXB；當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)120R120RMBB12RQBQB特解，是所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一基礎(chǔ)解系,RNQAXAX例21試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出可逆矩陣的逆矩陣的一種求法解設(shè)A是個(gè)N階可逆陣，A的秩等于N，存在可逆陣P和Q，使，進(jìn)E1APQ而這給出了求逆矩陣的一種方法1QP首先構(gòu)造矩陣，20NEB然后對(duì)B進(jìn)行如下形式的初等變換（I）對(duì)B的前N行進(jìn)行初等的行變換，,AE（II）對(duì)B的前N列進(jìn)行初等的列變換，則經(jīng)過有限次上述變換后，B可變?yōu)椋?AEPBQ由此求得1AQP例22設(shè)A是給定的矩陣，X是矩陣，求矩陣方程的所有解XMNNAX解設(shè)A的秩RANK，取定M階可逆陣P和N階可逆陣Q，使得R，0REA代入，得到X，00RRQPXQ，110RREE，110RRPXQ現(xiàn)記，其中是R階方陣，代入上式得到1234MNXPQ112123411242000RRXE，由此得到，因此我們解得了1X20，1340XPQ其中是R階對(duì)稱矩陣，是個(gè)任意的矩陣134,XMRN反過來，對(duì)任意矩陣，其中是對(duì)稱矩陣，我們?nèi)菀昨?yàn)證MN1340XPQ1X這樣我們就求出了的全部解AXA例23設(shè)，則矩陣方程,MNPQNQMPMBXMYAABC有解當(dāng)且僅當(dāng)和等價(jià)0AC證若X，Y滿足方程，則Y，0000MNPQEEXAAYBACB因此與等價(jià)0ABC反過來，如果與等價(jià)，那么它們具有相等的秩設(shè)RANK，RANK，0ABARBS存在可逆的，使得,MNPQPMQRMTA，0REA0SERT則有，00RSEPAQRBT，123400RSCCTE其中，為矩陣又記1234CPT1R