高數(shù)習(xí)題答案- 微分方程自測(cè)題

1、填空題1）是階微分方程。34210YX32）曲線族（為任意常數(shù)）所滿足的一階微分方程是。COSC21Y3）已知二階線性齊次方程的兩個(gè)解為，則該方程為12,XXYE。20Y4）方程適合初值條件的解為。X2XYE2XYE5）設(shè)都是方程221233,Y6XYXYXY的解，則方程得通解為。2213CE2、求下列微分方程的通解1）0XXYYEDD解把看著函數(shù)，原方程可化為，令X110XXYYEXUYUUU變量分離兩邊積分得11LNLNUUUECDYEYEYXYC2）3DYX解把看著函數(shù)，原方程可化為，這是一階線性微分方程21XY利用公式得1122DYDYYXEC3）210XY解容易看出，原方程可化為，所以210XY21XYC在變量分離兩邊積分得1122ARCTNCDY4）1XYE解原方程可化為12XXXYYYEEC21XXCD5）9SIN3YX解1）求的通解。0Y解特征方程得2R123,RII對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為SNCOS3YCX2）因?yàn)椋栽匠逃刑亟庑问?0,9,PQSICSYXABXDX代入原方程整理可得126IN3126O3INCDB比較系數(shù)可得10,2AC原方程通解為12SIN3COSSIN3OS61XYCXX6）2X解容易看出，原方程可化為121XYYXCX32211CXYXD7）243XYE解求的通解。0Y解特征方程得24R12R對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為XYCE2）因?yàn)槭嵌靥卣鞲?，所以原方程有特解形式，?2XYAE2233XXYDE原方程通解為221XXC3、以質(zhì)量為船以速度行駛，在時(shí)，動(dòng)力關(guān)閉，假設(shè)水的阻力正比例于，取其M0V0TNV中唯一常數(shù)，為瞬時(shí)速度，求速度與滑行距離的函數(shù)關(guān)系式。NV解1）建立微分方程設(shè)滑行距離為，它關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為XXT利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有NDVVFMAKVMT0XV2）解微分方程變量分離兩邊積分得由初值條件可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以2N20NVC0LNV當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。2N20NVKXM0KXME4、設(shè)函數(shù)在實(shí)軸上連續(xù)，存在，且具有性質(zhì)，試求YY212LNNKXCNKMVDX。X解因?yàn)?，所以，或者?00101）如果，則對(duì)任給的實(shí)數(shù)有X0X2）如果，令，則有1YXXXXX兩邊同除以，并使可得000LIMLIM0XXX設(shè)可得初值問(wèn)題，解微分方程可得。Y01Y0XXYE5、設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，過(guò)曲線上任一點(diǎn)作X,PY該曲線的切線及周的垂線，上述兩直線與所圍成的三角形面積記為，區(qū)間上X1S0X以為曲邊的曲邊梯形面積為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方Y(jié)X2S12SY程。解1）建立微分方程，在點(diǎn)切線方程為,PXYYXX其與軸交點(diǎn)為，因?yàn)楹銥?，所以X,0YX12S0XYTD兩邊關(guān)于求導(dǎo)得X22YY可得初值問(wèn)題201Y2）解微分方程以