高考球例題復(fù)習(xí)精講

1、典型例題4球與幾何體的切、接問(wèn)題例7一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺(tái))的體積等于球的體積，列式求解解：如圖作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)水面高，球取出后，水面高，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取出后水面下降到，水體積為又，則， 解得例8設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球

2、的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來(lái)解決的解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個(gè)球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離設(shè)，正四面體的一個(gè)面的面積為依題意得， 又即所以說(shuō)明：正四面體與球的接切問(wèn)題，可通過(guò)線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑例9把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的

3、四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2解：四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為例10如圖1所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可解：如圖2，球心和在上，過(guò)，分別作的垂線交于圖2則由得， （1）

4、設(shè)兩球體積之和為，則 =當(dāng)時(shí)，有最小值當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值作業(yè)1.正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為， 可以得到 由等體積法， 得：， 說(shuō)明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來(lái)求出，以球心的位置特點(diǎn)來(lái)抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的方法2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比分析：首先畫(huà)出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ， ，3 在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積分析：可畫(huà)出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球